第06課時(shí)空間角與距離I（解析版）

第6課時(shí)空間角與距離I編寫：廖云波【回歸教材】1.兩條異面直線所成角的求法設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則l1與l2所成的角θa與b的夾角β范圍eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))[0，π]求法cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)2.直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，a與n的夾角為β，則sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).【典例講練】題型一異面直線所成的角【例1-1】如圖，在直三棱柱中，為上一點(diǎn)，平面分三棱柱為上下體積相等的兩部分，則與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】作于點(diǎn)，結(jié)合直棱柱可證平面，則即為四棱錐的高，同理可說明即為四棱錐的高，根據(jù)體積相等可求得，取中點(diǎn)為，則，根據(jù)異面直線夾角的定義可知即為所求角，結(jié)合Rt△運(yùn)算求解．【詳解】作于點(diǎn)，則平面且，設(shè)，則可證平面，則，平面分三棱柱為兩個(gè)體積相等的四棱錐和，即取中點(diǎn)為，則即為所求角，故選：A．【例1-2】在正方體中，直線與AC所成角的余弦值為______．【答案】##【分析】利用向量法求得直線與AC所成角的余弦值.【詳解】空間一組基底為，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，．．因?yàn)椋灾本€與AC所成角的余弦值為．故答案為：歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】如圖，已知在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)如圖，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，由線面平行的判定定理即可證明；(2)由(1)可知為異面直線與所成角的平面角，利用勾股定理分別求出的值，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可.(1)連接AC，交BD于點(diǎn)O，則O為AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，連接，則，∵平面EBD，平面EBD，平面EBD；(2)由(1)知，，所以為異面直線與所成角的平面角，在中，，，由余弦定理，得，故異面直線與所成角的余弦值為.題型二定義法求線面角【例2-1】如圖，在四棱錐中，面，，為線段的中點(diǎn)，.(1)證明：平面(2)求與平面所成的角的正切值.【答案】(1)證明見詳解；(2).【分析】（1）由面得到，再由，則是的垂直平分線，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）由（1）中的結(jié)論容易判斷即為與面所成的角，再分別求出的長(zhǎng)度即可求出的正切值.（1）在四棱錐中，面，面，所以，因?yàn)椋瑒t是的垂直平分線，即，又，面，所以平面；（2）由（1）知平面于，連，故即為與面所成的角，；因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則且，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以，即與所成的角的正切值為..歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，為的中點(diǎn)，平面，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)求直線與平面所成角的正切值.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）連接,利用線面平行的判定定理，證明即可；（2）由線面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合，由面面垂直的判定即可得解；（3）求出點(diǎn)M到平面ABCD的距離，再由線面角的概念可得解.（1）如圖所示，連接，因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，是中點(diǎn)，所以是平行四邊形的對(duì)角線，所以是中點(diǎn)，又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是中位線，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫嫫矫嫠裕?，所以，因?yàn)?平面PAC,所以平面PAC,又平面PAD,所以平面平面；（3）由（2），且，所以,又點(diǎn)M到平面ABCD的距離，所以直線與平面所成角的正切值為.題型三向量法求線面角【例3-1】如圖，三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明出平面，進(jìn)而可得；（2）以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用線面角公式代入計(jì)算可得答案．（1）在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因?yàn)?，，，則，所以，又，平面，平面，所以平面，平面，所以.（2）以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，故，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】如圖，在四棱錐中，底面BCDE是平行四邊形，，，，點(diǎn)F為棱BE的中點(diǎn)，．(1)證明：平面ABF；(2)若，求直線DF與平面ADE所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面平面BCDE，再證明，即得平面ABF；（2）求出平面ADE的法向量，根據(jù)即可求解.（1）證明：因?yàn)镕為棱BE的中點(diǎn)，，所以，又，且BE，平面BCDE，，所以平面BCDE，又因?yàn)槠矫鍭BF，所以平面平面BCDE．由，四邊形BCDE是平行四邊形，得，又，由余弦定理得：，滿足，則，又平面平面，所以平面ABF．（2）由（1）知，，若，則為等邊三角形，所以．如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線EB，EC分別為x軸、y軸，過點(diǎn)E作平行于AF的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，所以，，，設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為，則，令，則，，即．設(shè)直線DF與平面ADE所成的角為θ，則，即直線DF與平面ADE所成角的正弦值為．【完成課時(shí)作業(yè)（四十八）】【課時(shí)作業(yè)（四十八）】A組礎(chǔ)題鞏固1．如圖，在三棱錐中，，，，則異面直線OB與AC所成的角是（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】B【分析】由異面直線的向量求法求解即可【詳解】∵，，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，又異面直線所成角的取值范圍∴異面直線OB與AC所成的角為60°．故選：B2．如圖，正四棱柱中，，若直線與直線所成的角為，則直線與平面所成的角為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】連接與交于點(diǎn)，先利用線面垂直的條件證得平面，可知即為直線與平面所成的角，從而得出答案.【詳解】連接與交于點(diǎn)，，所以即為直線與直線所成的角，即．該幾何體為正四棱柱，，可得，所以．連接，易得，平面，平面，所以平面，所以即為直線與平面所成的角，，所以．故選：A.3．在三棱錐A—BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，且，則直線AB與平面ACD所成的角為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】作BE⊥AC，垂足為E.判斷出∠BAE是直線AB與平面ACD所成的角，即可求解.【詳解】因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又CD⊥BC，，平面ABC，平面ABC，所以CD⊥平面ABC．又平面ACD，所以面平面ABC作BE⊥AC，垂足為E.則平面ACD.所以∠BAE是直線AB與平面ACD所成的角.在直角三角形ABC中，因?yàn)?，所以．故選：C4．如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，且，底面，若點(diǎn)到平面的距離為，則（）A．B．C．1D．2【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】設(shè)為中點(diǎn)，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為4的菱形，且，所以,而,所以；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，的方向分別為x，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，.設(shè)是平面的法向量，因?yàn)椋?，則，令，得.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，.因?yàn)椋?，?故選：D.5．如圖，已知所有棱長(zhǎng)均相等的直三棱柱，，?分別為?和的中點(diǎn)，則下列陳述不正確的是（）A．?平面?B．?C．與?所成角的正切值為?D．?與平面?所成角的正切值為2【答案】B【分析】對(duì)于A：取?的中點(diǎn)?，利用三角形的中位線、基本事實(shí)4、平行四邊形的判定和性質(zhì)得到，再利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明；對(duì)于B：先假設(shè)，再利用線面垂直的判定和性質(zhì)得到，進(jìn)而推得矛盾；對(duì)于C、D：作出輔助線，利用異面直線所成的角、線面角的定義得到所求角，再利用直角三角形進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A：如圖，取?的中點(diǎn)?，連接?.因?yàn)椋?，且，，所以，且，則?為平行四邊形，故而?.又平面，平面，所以?平面?，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：假設(shè)，又因?yàn)椋?，又，，所?平面，則，與為等邊三角形矛盾，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D：取?的中點(diǎn)?，連接?，則?平面?，且，所以為?與?所成的角，且為?與平面?所成的角.則，，即選項(xiàng)C、D正確?.故選：B.6．【多選題】如圖為一正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，有下列四個(gè)命題：①；②與成角；③與成異面直線且夾角為.其中正確的是（）A．①B．②C．③D．①②③【答案】BC【分析】還原正方體直觀圖，根據(jù)直觀圖直觀可判斷①；利用正三角形性質(zhì)和線線平行可判斷②③.【詳解】將正方體紙盒展開圖還原成正方體，如圖知與不平行，故①錯(cuò)誤；連接、，因?yàn)闉檎切危?，則與成角，故②正確；同理成角，由圖可知成異面直線，故③正確.故選：BC7．若空間向量，平面的一個(gè)法向量為，則直線AB與平面所成角______．【答案】##【分析】結(jié)合線面角的空間向量的坐標(biāo)計(jì)算公式即可求出結(jié)果.【詳解】，因?yàn)榫€面角的范圍是，所以，故答案為：.8．四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，為的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求與平面所成的角的正切值；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由平面幾何知識(shí)證明，由線面垂直的性質(zhì)定理得，由線面垂直的判定定理得線面垂直，從而可得面面垂直；（2）由（1）得是PC與平面PAD所成角的平面角，求出這個(gè)直角三角形（需證明）中兩直角邊長(zhǎng)，然后可得結(jié)論．（1）∵四邊形ABCD為菱形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，在中，E是AD中點(diǎn)，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，∵，平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，∵平面PCE，∴平面平面PAD.（2）∵平面PAD，∴斜線PC在平面內(nèi)的射影為PE，即是PC與平面PAD所成角的平面角，∵平面ABCD，平面ABCD，∴，在中，，在中，，∵平面PAD，平面PAD，∴，在中，，∴PC與平面PAD所成角的正切值為.9．如圖，在四棱錐中，平面，∥，，，，，．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求證：平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）由題意可得或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角，然后在中求解即可，（2）由已知線面垂直可得，再由∥，可得，再結(jié)合，利用線面垂直的判定可證得結(jié)論，（3）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接，可得與平面所成的角等于與平面所成的角，則為直線和平面所成的角，在中求解即可.（1）因?yàn)椤嗡曰蚱溲a(bǔ)角即為異面直線與所成的角．因?yàn)锳D⊥平面，平面，所以．在中，由已知，得，故．所以異面直線與所成角的余弦值為．（2）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椤?，所以，又，，平面，所以平面；?）過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，連接，則與平面所成的角等于與平面所成的角．因?yàn)槠矫妫詾樵谄矫嫔系纳溆?，所以為直線和平面所成的角．所以∥，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以，由已知，得．因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)椤危?，，在中，可得．所，直線與平面所成角的正弦值為．B組挑戰(zhàn)自我1．如圖，正方體中，，，，當(dāng)直線與平面所成的角最大時(shí)，（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用坐標(biāo)法，利用線面角的向量求法，三角函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，∴，令，可得，又，設(shè)直線與平面所成的角為，則，又，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，即直線與平面所成的角最大.故選：C.2．如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中不正確的是（）A．B．BD⊥平面ACC?C．向量與的夾角是60°D．直線BD?與AC所成角的余弦值為【答案】C【分析】利用空間向量法，通過計(jì)算線段長(zhǎng)度、向量夾角、線線角以及證明線面垂直等知識(shí)確定正確答案.【詳解】以為空間一組基底.，，所以，A選項(xiàng)正確.由于四邊形是菱形，所以，，，所以，即，由于，所以平面，B選項(xiàng)正確.，三角形是等邊三角形，由圖可知與的夾角為鈍角，也即與的夾角為鈍角，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，，所以.，，所以..設(shè)直線與直線所成角為，則，D選項(xiàng)正確.故選：C3．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，若平面平面ABCD，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為的正三角形，底面ABCD是矩形，，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是______．（填序號(hào)）①平面PAD；②PC與平面AQC所成角的余弦值為；③三棱錐B-ACQ的體積為；④四棱錐Q-ABCD外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為．【答案】②④【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則由已知可得平面，而底面為矩形，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量依次求解即可.【詳解】解：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槿切螢榈冗吶切危?因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，所以平面，因?yàn)椋詢蓛纱怪?，所以，如下圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別