第9課時函數(shù)與方程（解析版）

第9課時函數(shù)與方程編寫：廖云波【回歸教材】1、函數(shù)的零點對于一般函數(shù)，我們把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．注意函數(shù)的零點不是點，是一個數(shù).2、函數(shù)的零點與方程的根之間的聯(lián)系函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標即方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點．3、零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個也就是方程的根.注：上述定理只能判斷出零點存在，不能確定零點個數(shù).4、二分法對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值．【必記結(jié)論】①若連續(xù)不斷的函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點；②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號；③函數(shù)有零點方程有實數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點；④函數(shù)有零點方程有實數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點，其中為常數(shù).【典例講練】題型一零點所在區(qū)間【例1-1】函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在性定理判斷即可【詳解】函數(shù)是上的連續(xù)增函數(shù),,可得,所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選：C【例1-2】【多選題】函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)a的可能取值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點存在定理可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi)，得，解得,故選：BC【例1-3】已知是函數(shù)的零點，則_______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)零點定義可得，整理可得，根據(jù)此時可得成立，代入化簡即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，整理可得，可得當，即成立，又，代入可得.故答案為：.歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】已知函數(shù)，則________，函數(shù)的零點為________．【答案】

【解析】【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)求出函數(shù)值即可，再直接求出方程的解作答.【詳解】依題意，，由得，即，解得，或，無解，所以數(shù)的零點為.故答案為：；【練習(xí)1-2】設(shè)函數(shù)在區(qū)間(k，k+1)()內(nèi)有零點，則k的值為（）A．-1B．0C．1D．2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理確定零點的區(qū)間，即可得結(jié)果.【詳解】由解析式知：在定義域上遞增，又，，所以在內(nèi)存在零點，結(jié)合題設(shè)知：.故選：C【練習(xí)1-3】函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)零點存在定理去判斷的零點所在的區(qū)間即可.【詳解】為上的遞增函數(shù)，，，，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間為故選：B題型二零點個數(shù)【例2-1】函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】【分析】由得，再在同一坐標系下畫出函數(shù)的圖像，觀察函數(shù)的圖像即得解.【詳解】解：令得，在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，由圖象知，兩函數(shù)的圖象恰有3個交點，即函數(shù)有3個零點，故選：C.【例2-2】已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對任意，都有成立，當，且時，都有，有下列四個結(jié)論：①②點是函數(shù)圖象的一個對稱中心；③函數(shù)在上有2023個零點；④函數(shù)在上為減函數(shù)；則所有正確結(jié)論的序號為___________.【答案】①②③【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性對個結(jié)論進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意是定義在上的奇函數(shù)，由于當，且時，都有，即所以在區(qū)間上遞增，由，以替換得，由，令得，所以，所以，所以是周期為的周期函數(shù).所以，，以此類推可知，，，以此類推可知，所以，①正確.由上述分析可知，所以，所以關(guān)于對稱，結(jié)合是周期為的周期函數(shù)可知關(guān)于點對稱，②正確.對于③，由，以替換得，所以關(guān)于直線對稱，是奇函數(shù)，，在上遞增在上遞增；則在上遞減.結(jié)合是周期為的周期函數(shù)，以及，可知函數(shù)在上有2023個零點，③正確.對于④，結(jié)合上述分析可知，在上遞增，在上遞減.由于是周期為的周期函數(shù)，所以在，即上遞增，所以④錯誤.故答案為：①②③【例2-3】定義域為的函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解，，，，，則所有實數(shù)，，，，之和為（）A．12B．16C．20D．24【答案】C【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解，得到的取值情況，結(jié)合圖象利用對稱性，即可求出結(jié)論．【詳解】設(shè)，則關(guān)于的方程等價為，作出的圖象如圖：由圖象可知當時，方程有三個根，當時方程有兩個不同的實根，∴若關(guān)于的方程恰有5個不同的實數(shù)解，，，，，則等價為有兩個根，一個根，另外一個根，不妨設(shè)，對應(yīng)的兩個根與，與分別關(guān)于對稱，則，則，且，則，故選：C．歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】函數(shù)的零點個數(shù)，即為的方程根，也就是函數(shù)和的圖象交點個數(shù)，分別畫出函數(shù)圖象可得答案．【詳解】函數(shù)的零點個數(shù)，即為的方程根，化簡可得，分別畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示：由圖可知，函數(shù)和有兩個交點，所以函數(shù)有兩個零點，故選：B【練習(xí)2-2】函數(shù)的零點個數(shù)為___________.【答案】2【解析】【分析】當時，令，直接解出零點即可；當時，先判斷單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理即可判斷.【詳解】當時，令，解得，，此時有1個零點；當時，，顯然單調(diào)遞增，又，由零點存在定理知此時有1個零點；綜上共有2個零點.故答案為：2.【練習(xí)2-3】已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．【答案】C【分析】先畫出函數(shù)的圖象，令，由題意中的恰有個不同的實數(shù)解，確定方程的根的取值情況，繼而求出的范圍【詳解】，則當時，，單調(diào)遞增當時，，單調(diào)遞減如圖所示：令，則有即解得故即故選題型三零點性質(zhì)的應(yīng)用【例3-1】已知函數(shù)，，且，則____________（填>，<，≥，≤）.【答案】【解析】【分析】由進行化簡，結(jié)合圖象判斷出的大小關(guān)系.【詳解】由得，.由得，.畫出的圖象如下圖所示，由圖可知,.所以，故答案為：【例3-2】已知函數(shù)，則的所有零點之和為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零點定義求出零點后可得．【詳解】時，由得，時，由得或，所以四個零點和為．故選：D．【例3-3】已知是函數(shù)的零點，若，則（）A．B．C．D．的符號不確定【答案】B【解析】根據(jù)題意判斷得函數(shù)的定義域，分析函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)零點的定義可得，利用單調(diào)性即可判斷出.【詳解】函數(shù)的定義域為，已知函數(shù)，，在上是減函數(shù)，所以可判斷函數(shù)在上是減函數(shù)，又因為是函數(shù)的零點，即，根據(jù)單調(diào)性可得，當，.故選：B.歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】把方程變形，把零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)圖象與另一函數(shù)圖象的交點個數(shù)，根據(jù)函數(shù)的對稱性計算可得．【詳解】解：因為，令，即，當時顯然不成立，當時，作出和的圖象，如圖，它們關(guān)于點對稱，由圖象可知它們在上有4個交點，且關(guān)于點對稱，每對稱的兩個點的橫坐標和為，所以4個點的橫坐標之和為．故選：C．【練習(xí)3-2】已知函數(shù)，函數(shù)，若有兩個零點，則m的取值范圍是（）．A．B．C．D．【答案】A【分析】存在兩個零點，等價于與的圖像有兩個交點，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】存在兩個零點，等價于與的圖像有兩個交點，在同一直角坐標系中繪制兩個函數(shù)的圖像：由圖可知，當直線在處的函數(shù)值小于等于1，即可保證圖像有兩個交點，故：，解得：故選：A.題型四二分法【例4-1】下列函數(shù)圖象與x軸都有交點，其中不能用二分法求其零點的是___________.（寫出所有符合條件的序號）【答案】（1）（3）【解析】【分析】根據(jù)二分法所求零點的特點，結(jié)合圖象可確定結(jié)果.【詳解】用二分法只能求“變號零點”，（1），（3）中的函數(shù)零點不是“變號零點”，故不能用二分法求故答案為：（1）（3）【例4-2】在用二分法求方程在上的近似解時，構(gòu)造函數(shù)，依次計算得，，，，，則該近似解所在的區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二分法可得答案.【詳解】根據(jù)已知，，，，，根據(jù)二分法可知該近似解所在的區(qū)間是．故選：C.【練習(xí)4-1】利用二分法求的零點時，第一次確定的區(qū)間是，第二次確定的區(qū)間是___________.【答案】(1，1.5)##(1，)【解析】【分析】根據(jù)二分法的原理，判斷兩個端點函數(shù)值正負以及兩個端點的中點處函數(shù)值正負即可得到答案．【詳解】由題可知f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，∵f()＝f(1.5)＝1.375＞0，∴f(x)零點應(yīng)該在(1，1.5)上．故答案為：(1，1.5).【請完成課時作業(yè)（十五）】【課時作業(yè)（十五）】A組基礎(chǔ)題1．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)零點存在定理即可判斷.【詳解】解：因為為上的增函數(shù)，又，，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是，故選：B.2.用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次計算，得，，第二次應(yīng)計算，則等于（）A．1B．C．0.25D．0.75【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二分法的定義計算可得；【詳解】解：因為，，所以在內(nèi)存在零點，根據(jù)二分法第二次應(yīng)該計算，其中；故選：C3．函數(shù)在上的所有零點之和為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】求出的零點，然后利用等差數(shù)列的求和公式可得答案.【詳解】由得，，故在上的零點從小到大排成首項為、公差為的等差數(shù)列．由得，即該數(shù)列共有項，所以所有零點之和為，故選：D．4．函數(shù)有（）個不同的零點A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】【分析】由結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出零點的個數(shù).【詳解】易知在上單調(diào)遞增，，即函數(shù)在上只有一個零點；當時，，由得出，即，，，解得，即在上有4個零點.綜上，有5個零點.故選：C5．函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】【分析】由得，再在同一坐標系下畫出函數(shù)的圖像，觀察函數(shù)的圖像即得解.【詳解】解：令得，在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，由圖象知，兩函數(shù)的圖象恰有3個交點，即函數(shù)有3個零點，故選：C.6．已知是函數(shù)的零點，若，則的值滿足（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點定義及函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合零點存在定理即可判斷的符號.【詳解】因為是函數(shù)的零點則且為上單調(diào)遞增函數(shù)由零點存在定理可知當故選:B【點睛】本題考查了函數(shù)零點存在性的判定,函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7．已知函數(shù)，則方程的解的個數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】【分析】令，則方程的解的個數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點的個數(shù)．作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，即可得到兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)．【詳解】解：令，得，則方程的解的個數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的圖象的交點的個數(shù)．作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，可知兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)為2，故方程的解的個數(shù)為2個．故選：C8．函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．個B．個C．個D．個【答案】D【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性，數(shù)形結(jié)合可得出函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，考慮函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)，令，可得，作出函數(shù)、在上的圖象如下圖所示，由圖可知，函數(shù)、在上的交點個數(shù)為，故函數(shù)在上的零點個數(shù)為，因此，函數(shù)的零點個數(shù)為.故選：D.9．若函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點，則常數(shù)m的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的單調(diào)性，再結(jié)合已知列不等式，即可求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在區(qū)間上只有一個零點，因此，解得，所以常數(shù)m的取值范圍為.故選：D10．函數(shù)的零點是___．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)零點定義解方程可得.【詳解】由得，解得，即的零點為8.故答案為：811．函數(shù)的零點個數(shù)為___________.【答案】2【解析】【分析】當時，令，直接解出零點即可；當時，先判斷單調(diào)性，再結(jié)合零點存在定理即可判斷.【詳解】當時，令，解得，，此時有1個零點；當時，，顯然單調(diào)遞增，又，由零點存在定理知此時有1個零點；綜上共有2個零點.故答案為：2.12．若，，，則x、y、z由小到大的順序是___________.【答案】【解析】【分析】把給定的三個等式作等價變形，比較函數(shù)的圖象與曲線交點的橫坐標大小作答.【詳解】依題意，，，，，因此，成立的x值是函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，成立的y值是函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，成立的z值是函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)，的圖象，如圖，觀察圖象得：，即，所以x、y、z由小到大的順序是.故答案為：【點睛】思路點睛：涉及某些由指數(shù)式、對數(shù)式給出的幾個數(shù)大小比較，可以把這幾個數(shù)視為對應(yīng)的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)與另外某個函數(shù)圖象交點橫坐標，利用圖象的直觀性質(zhì)解決.B組能力提升能1．已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先把原命題轉(zhuǎn)化為由兩個零點，再數(shù)形結(jié)合分析得到的取值范圍.【詳解】令，所以.當時，在上單調(diào)遞增，則當時，，此時函數(shù)的圖象如圖:函數(shù)有兩個零點,即方程有兩個實數(shù)根.所以故選:C.2．已知若，則在內(nèi)的零點個數(shù)為（）A．8B．9C．10D．11【答案】B【解析】【分析】畫出以及的圖像，直接由圖像即可求得交點個數(shù).【詳解】作出的圖像，則在內(nèi)的零點個數(shù)為曲線與直線在內(nèi)的交點個數(shù)9.故選：B.3．已知是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，則的值為________．【答案】