應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模

應(yīng)用題的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建模第一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六引言與現(xiàn)狀

二三四五六一第二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六“船長的年齡問題”：“在一條船上，有75頭牛，32只羊，請問船長幾歲？”有多少學(xué)生把兩個數(shù)直接相加減？20年前，90％；20年后，？62％背景說明……第三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六10道應(yīng)用題的測試結(jié)果……問題通過率1水果店運來蘋果和梨共650千克，蘋果10箱，每箱20千克，梨15箱，梨每箱多少千克？94％2一張凳子售價25元，桌子的售價比一條凳子售價的4倍少1元，一張桌子售價多少元?94％3一個工程隊用同樣的速度修兩條水泥路，第一條長256米，第二條長448米，修完第一條路用了4天。照這樣的速度，修第2條路用的時間比修第一條路用的時間多多少天？81％4有一個煤礦，原來計劃上半年660萬噸，實際每個月比計劃多產(chǎn)22萬噸，實際多少月完成？67％5工廠食堂有4噸大米，7天用了1120千克，照這樣計算，這些大米還可以用多少天？66％第四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六10道應(yīng)用題的測試結(jié)果……問題通過率6電視機(jī)廠原計劃20天生產(chǎn)一批電視機(jī)，實際每天生產(chǎn)25臺，提前4天完成了任務(wù)。原計劃平均每天生產(chǎn)多少臺？66％7600元錢去買玩具，買了24個玩具后還剩120元，照這樣計算，一共可以買多少個玩具？65％8某煤廠原計劃每天運煤498噸，15天可運完。實際運了18天才運完，求每天比原計劃少運多少噸煤？58％9甲乙兩人同時從相距168千米的公路兩端相向而行，甲騎車每小時行20千米，乙行4小時后兩人相遇，求乙每小時比甲多行多少千米？50％10一條公路長2400米，AB兩支施工隊同時從公路的兩端往中間鋪柏油路，A隊的施工速度是B隊的2倍，4天后這條公路全部鋪完。A,B兩隊每天鋪路多少米？41％第五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六應(yīng)用題的教學(xué)現(xiàn)狀“中國數(shù)學(xué)教育在實踐上肯定比美國好”數(shù)學(xué)大家陳省身。張奠宙，王善平著第六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六報告提綱1233引言與現(xiàn)狀什么是數(shù)學(xué)應(yīng)用題數(shù)學(xué)應(yīng)用題的本質(zhì)是什么“問題解決”與應(yīng)用題教學(xué)什么關(guān)系應(yīng)用題要不要講類型應(yīng)用題教學(xué)與學(xué)生生活什么關(guān)系小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型有哪些435637第七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六三四五六七二什么是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題第八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六文字題問題解決數(shù)學(xué)應(yīng)用綜合應(yīng)用解決問題習(xí)題應(yīng)用題第九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六應(yīng)用題的淵源應(yīng)用題的出現(xiàn)淵遠(yuǎn)流長。古埃及的紙草書、中國的《算數(shù)書》等古代數(shù)學(xué)典籍，都是應(yīng)用題的匯編。數(shù)學(xué)的發(fā)展有兩個原動力，一是要解決大自然和社會現(xiàn)實提出的數(shù)學(xué)問題，二是要解決數(shù)學(xué)內(nèi)部生成的數(shù)學(xué)問題。前者的研究成果是應(yīng)用數(shù)學(xué)，后者的研究成果成為純粹數(shù)學(xué)。第十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)分為

純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)

哥德巴赫猜想漢字排版技術(shù)

陳景潤作出“1+2”的領(lǐng)先成果王選將數(shù)學(xué)和計算機(jī)結(jié)合引發(fā)印刷革命第十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六小學(xué)數(shù)學(xué)中的純數(shù)學(xué)問題和應(yīng)用數(shù)學(xué)問題小學(xué)的純粹數(shù)學(xué)問題：數(shù)與運算規(guī)則。交換律、分配律，通分……

質(zhì)數(shù)與合數(shù)；無限循環(huán)小數(shù)；平行線；……小學(xué)應(yīng)用性數(shù)學(xué)問題:

現(xiàn)實的應(yīng)用：買賣中的貨幣計算科學(xué)的應(yīng)用：路程、速度、時間的關(guān)系模擬的應(yīng)用：雞兔同籠第十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六純數(shù)學(xué)問題與應(yīng)用問題之間的聯(lián)系小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)的擴(kuò)展以及相應(yīng)的運算規(guī)則，屬于純粹數(shù)學(xué)范圍，將這些規(guī)則和現(xiàn)實相聯(lián)系，并應(yīng)用于現(xiàn)實，則是小學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的范圍。數(shù)學(xué)是由問題驅(qū)動的。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)，體現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生與此相關(guān)的數(shù)學(xué)思維模式。第十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六應(yīng)用數(shù)學(xué)是永存的如果說，應(yīng)用數(shù)學(xué)是永存的，那么數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)也是永存的。只不過要“與時俱進(jìn)”，不斷改革而已。“誰用的好，誰就贏了”（姜伯駒語）。20世紀(jì)下半葉以來，數(shù)學(xué)最大的進(jìn)步是應(yīng)用，計算機(jī)技術(shù)出現(xiàn)之后，應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個進(jìn)展，是對一個個的具體問題建立一個個的數(shù)學(xué)模型。因此，用建立數(shù)學(xué)模型的觀點加以詮釋，是改革小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)的參照基點第十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六什么是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題？1.算術(shù)方法求解（包括一些簡易代數(shù)的思考）；解小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題主要是用算術(shù)方法，目前也使用一些簡易的代數(shù)思想。2.用自然語言表達(dá)，即用文字?jǐn)⑹龅膯栴}。西方有時把小學(xué)應(yīng)用題稱作“文字題（wordproblem）”，即用自然語言表達(dá)的數(shù)學(xué)問題。文字題需要將自然語言文字翻譯為“數(shù)學(xué)符號構(gòu)成的算式”，然后再用數(shù)學(xué)方法求解。

第十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六什么是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題？3.具有比較復(fù)雜的情景。應(yīng)用題必須表達(dá)一種具體“情景”，無論是體現(xiàn)生活實際的，或者合理地虛擬編制的，都必須反映一種生動的具體情境，不能是純粹的數(shù)學(xué)問題。情境往往有一些特定的常識性規(guī)律，在解題時需要加以剖析和運用。作為一種具有較高思維價值的問題，“應(yīng)用題”所呈現(xiàn)的情境，應(yīng)當(dāng)具有挑戰(zhàn)性，不同于課本引進(jìn)新內(nèi)容時所呈現(xiàn)的簡單情景。第十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六四五六七三數(shù)學(xué)應(yīng)用題的本質(zhì)是什么第十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六什么是數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)建模是20世紀(jì)下半葉，隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展而形成的數(shù)學(xué)思想方法。目前已經(jīng)成為數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本模式。數(shù)學(xué)模型，一般地說，乃是針對或參照某種事物系統(tǒng)的實際特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)符號和語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。第十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)內(nèi)容本身就是一種數(shù)學(xué)模型自然數(shù)是表述有限集合“數(shù)數(shù)”過程的數(shù)學(xué)模型。加法是“合并”、“添加”等活動的數(shù)學(xué)模型分?jǐn)?shù)是平均分派物品的數(shù)學(xué)模型；元角分的計算模型是小數(shù)的運算。雞兔同籠問題的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程；第十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六模式應(yīng)用：問：你們學(xué)校每個年級幾個班？答：2個班；問：每個班大約多少學(xué)生？答：40人問：你們學(xué)校一共有多少人？答：400多人；問：你們學(xué)校有沒有兩個人是同一天生日的？答：我們班里好像沒有的，我要到其他班問一問。數(shù)學(xué)老師：有，一定有。第二十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六應(yīng)用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)建模，是在狹義的意義下進(jìn)行的。數(shù)學(xué)建模，專指對一個個比較復(fù)雜的具體情境，建立一個特定的專用數(shù)學(xué)模型，并用模型來解決非常具體問題。應(yīng)用題對應(yīng)的數(shù)學(xué)建模第二十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六應(yīng)用題求解與數(shù)學(xué)模型比較

應(yīng)用題求解：對于一種相對比較復(fù)雜的情境，采用形式化的符號語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的步驟：

了解情境分析數(shù)量關(guān)系形式化符號化的結(jié)構(gòu)用數(shù)學(xué)方法求解結(jié)構(gòu)中的未知數(shù)驗證。第二十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六實際情景

實際問題

數(shù)學(xué)問題（模型）

數(shù)學(xué)結(jié)果

檢驗數(shù)學(xué)結(jié)果

實際結(jié)果

⑴觀察、加工、整理⑵分析抽象，作數(shù)學(xué)化處理

⑶求解數(shù)學(xué)問題⑷結(jié)合實際（5）數(shù)學(xué)結(jié)果合乎實際數(shù)學(xué)結(jié)果不合乎實際，修正、改進(jìn)、重建數(shù)學(xué)模型。審題列式解答檢驗第二十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六應(yīng)用題與數(shù)學(xué)建模的步驟對照

數(shù)學(xué)建模步驟解應(yīng)用題步驟以行程問題為例背景考察：搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征審題。對問題設(shè)置的情景仔細(xì)揣摩體察。弄清問題的目標(biāo)。知道速度，路程，時間的關(guān)系；適度簡化：如假定為勻速行駛在直線型的道路上，等。構(gòu)作模型根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。列式將問題中用自然語言表述的情景，翻譯成數(shù)學(xué)語言，借助數(shù)學(xué)符號、圖象、邏輯等手段，構(gòu)成可以反映問題本質(zhì)的算式。根據(jù)情景，尋找數(shù)量規(guī)律。例如找出一些不變量，借以構(gòu)成數(shù)學(xué)等式。根據(jù)行程問題的不同情景進(jìn)行思考。例如，相互距離為c的甲乙二者同時啟動，分別以速度a、b相對而行，由于二者相遇時所用的時間x相同，據(jù)此列出等式ax+bx=c，或者算術(shù)地說明各量間的相等關(guān)系。第二十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六應(yīng)用題與數(shù)學(xué)建模的步驟對照模型求解：采用各種數(shù)學(xué)方法，求得滿足模型的解答。求解：對算式進(jìn)行變換和計算，求得結(jié)果。x=c/（a+b），或算術(shù)地求解。答案分析檢驗?zāi)Ｐ褪欠裾_，解答是否符合實際。驗證：驗證解答是否正確，能否符合題意。將x代入原式進(jìn)行驗算。模型改進(jìn)對模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，反思考察解題過程中使用的數(shù)學(xué)思想方法總結(jié)本題的思考方法，對行程問題的關(guān)節(jié)點進(jìn)行反思，尤其是弄清在行駛變化過程中，哪些是變化的，那些是不變的。

數(shù)學(xué)建模步驟解應(yīng)用題步驟以行程問題為例第二十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六應(yīng)用題學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)每一道小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教育價值，在于能將情境“數(shù)學(xué)化”；將文字的表述，轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)符號或圖像的表示；將蘊藏在情景內(nèi)的數(shù)量關(guān)系列為算式；用數(shù)學(xué)演算求得算式的答案，最終通過檢驗肯定“解答”的適切性。這些數(shù)學(xué)活動，為日后學(xué)習(xí)更復(fù)雜的“數(shù)學(xué)建?！?，做好必要的準(zhǔn)備第二十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六五六七四“問題解決”與應(yīng)用題教學(xué)第二十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六成功需要基礎(chǔ)問題解決回到基礎(chǔ)新數(shù)運動2008198019701960美國式的折騰：第二十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六美國數(shù)學(xué)教育界提出的所謂“問題解決”，專指解決“非常規(guī)問題”。目的是為了培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和創(chuàng)新精神。在學(xué)生的認(rèn)知水平上，要解決非常規(guī)問題，沒有現(xiàn)成數(shù)學(xué)問題求解模式可以模仿，需要獨立思考，通過自己的探索獲得解決問題的途徑。這是具有一定創(chuàng)新意義的數(shù)學(xué)思維過程。是一個時期數(shù)學(xué)教育的導(dǎo)向性口號，并非針對應(yīng)用題改革而提出。

“問題解決”的提出第二十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六我國在常規(guī)應(yīng)用題的教學(xué)上，成績很好。例如用分?jǐn)?shù)求解一些現(xiàn)實生活中“平均分配物品”的問題，加減乘除四則運算的一步或兩步應(yīng)用題，掌握得也很不錯。但是，在提出問題，分析發(fā)展問題，靈活地處理應(yīng)用性問題上面，比起歐美諸國的教學(xué)，有一些弱點。在非常規(guī)的應(yīng)用問題教學(xué)上，我國積累了一些按照問題情景分類的教學(xué)。例如行程問題、工程問題等等，有專門的訓(xùn)練，基本面也是好的。但是，總體上較窄、較難，較偏?！皢栴}解決”的借鑒與啟示第三十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六

問題解決教學(xué)是應(yīng)用題教學(xué)的上位概念。彼此是包含關(guān)系。“用問題”的共性，取代了“應(yīng)用題”的特性

問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)全局性理念；應(yīng)用題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的部分課題。問題解決應(yīng)用題教學(xué)問題解決不能代替應(yīng)用題教學(xué)第三十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六問題解決是針對“回到基礎(chǔ)”提出來的口號。意思是強(qiáng)調(diào)“探究”、“發(fā)現(xiàn)”、“創(chuàng)新”。美國又提出“成功需要基礎(chǔ)”，又強(qiáng)調(diào)其基礎(chǔ)了。所以，應(yīng)用題教學(xué)，不能只強(qiáng)調(diào)“探究創(chuàng)新”，還要注意“打好基礎(chǔ)”。沒有基礎(chǔ)怎么創(chuàng)新？問題解決不能代替應(yīng)用題教學(xué)第三十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六五六七四應(yīng)用題要不要講類型？第三十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題可以有三種分類。1.按數(shù)學(xué)模型分類；隨機(jī)模型，統(tǒng)計模型；四則運算模型；分?jǐn)?shù)、小數(shù)模型，一元一次方程模型；二元一次整數(shù)方程等等。2.按情景熟悉程度分類。如日常生活情景模型，模擬現(xiàn)實情景模型，科學(xué)技術(shù)模型等等3.按特定情境的數(shù)量關(guān)系分類。如行程問題，工程問題，流水問題，折扣問題等等，

應(yīng)用題的分類是否少了圖形與幾何的內(nèi)容？第三十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六微積分課程里要討論瞬時速度問題，切線問題，曲邊梯形問題；微分方程課程里有熱傳導(dǎo)方程，電磁波方程；中學(xué)數(shù)學(xué)也要研究拋物問題、單擺問題、等周問題，投影問題，擲骰子問題等；小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用按照情境內(nèi)容分類，也是情理之中。按情境內(nèi)容分類第三十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六不是我們要不要分類的主觀決定。數(shù)學(xué)應(yīng)用題分類是客觀世界不同數(shù)量關(guān)系的反應(yīng)。行程問題路程=速度×?xí)r間工程問題工作量=工作時間×工作效率價格問題總價格=單價×數(shù)量利息問題利息=本金×利率利潤問題利潤=成本×利潤率折扣問題金額=價格×折扣率百分?jǐn)?shù)問題數(shù)量=總量×百分比這些內(nèi)容不屬于數(shù)學(xué)范圍，但是數(shù)學(xué)課要教！

應(yīng)用題的分類與數(shù)量關(guān)系第三十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六科技書有20本，故事書比科技書的2倍還多2本，故事書有多少本？看到“倍”想到“乘”，看到“多”想到“加”?？萍紩?0本，比故事書的2倍還多2本，故事書有多少本？以情境中的字詞為特征來分類是表面的。要類型，但不要類型化。第三十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六按步數(shù)分：一步，兩步和多步應(yīng)用題；按內(nèi)容和難易來分，可分為一般應(yīng)用題、復(fù)合應(yīng)用題和典型應(yīng)用題。典型應(yīng)用題中就有和差問題、和倍、差倍問題；追及問題、盈虧問題、相遇問題傳統(tǒng)應(yīng)用題的分類第三十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六這些分類，都是從教學(xué)需要出發(fā)的。由易到難，循序前進(jìn)，總要按部就班地排除一個次序來。因此是教學(xué)需要的，有必要的。不過，這種分類不涉及數(shù)學(xué)應(yīng)用題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)生并不需要知道。對于數(shù)學(xué)的困難生，為了辨別各種不同的算式，可能起一定的作用。如果試圖通過題型的類別訓(xùn)練達(dá)到“機(jī)械自動化”的程度，并不能反映數(shù)學(xué)的思想與方法，也并能真正解決數(shù)學(xué)問題。傳統(tǒng)應(yīng)用題的分類第三十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六只有被廣泛承認(rèn)和使用的分類才有“知識性”價值。否則只是在小范圍使用，不過是一種臨時使用“標(biāo)簽”而已，不需要長期記住。打個比方，作為地理學(xué)知識，中國，分為?。ㄉ綎|），省分為市（煙臺），就為止了。至于煙臺下面分為各個區(qū)，就不是大眾需要的知識，是地方的標(biāo)簽，大眾不需要長期記憶。傳統(tǒng)應(yīng)用題的分類第四十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六七六應(yīng)用題與現(xiàn)實生活的關(guān)系第四十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六緊密聯(lián)系學(xué)生的日常生活

小學(xué)生的日常生活內(nèi)容十分有限。主要圍繞“買東西”活動展開。單價、總數(shù)，折扣，差額，比例……“賣”的意識也很少。所以成本、利潤、效率，都不是日常生活實際能夠接近的。國際上有一種“現(xiàn)實數(shù)學(xué)”，實驗失敗告終。不能除了超市，就是商場，需要拓展情境內(nèi)容。應(yīng)用題教學(xué)中，大量使用的是科學(xué)模型，例如，行程問題中速度、時路程之間的關(guān)系，乃是物體運動的在物理模型。另一種是模擬現(xiàn)實模型。比如雞兔同籠問題，完全是一種假想的模擬情景。第四十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六關(guān)于虛擬的“真實”

兒童的思維情境，包括客觀現(xiàn)實反映和虛擬想象兩大部分。虛擬想象中有一部分成為“虛擬真實”。孫悟空，黑貓警長，圣誕老人，白雪公主，魔法石，變形金剛。利用虛擬的真實：外星巨人的手印。第四十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六過于真實，不利于教學(xué)。

路程問題：想象在一條直線上，自始至終一一種速度在奔跑。有這樣筆直的道路嗎？怎樣能夠使得起跑時速度和到終點的速度一樣？雞兔同籠好？還是三條腿凳子和四條腿椅子好？退位減法，被減數(shù)個位不夠減，向十位借一，有學(xué)生就很貼近生活地說“十位不肯借怎么辦？”數(shù)學(xué)是需要抽象概括的。第四十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六有一個水池，打開進(jìn)水管注滿水池要3小時，打開出水管放出整池水要2小時，現(xiàn)在同時打開進(jìn)水管和出水管，要多少時間才能把一池水放完？被曲解的經(jīng)典題第四十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六飛機(jī)的能源消耗與補(bǔ)充、排隊進(jìn)場與出場、草場里草的生長與割去、人體的新陳代謝、社會人口的增減、湖泊的污染與治理，家庭的收入與支出；動態(tài)平衡的問題。數(shù)學(xué)模型客觀存在第四十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六爭論：相遇問題在現(xiàn)實生活中并不多見；楊樂院士：導(dǎo)彈防御系統(tǒng)里面蘊含著相遇問題；道路建設(shè)，工程問題。現(xiàn)實與數(shù)學(xué)模型第四十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六30年代，小學(xué)數(shù)學(xué)教材里都有和尚饅頭問題：“一共有100個和尚和100個饅頭。大和尚一人吃三個饅頭，小和尚三個人吃一個饅頭，問各有大小和尚幾人”?，F(xiàn)在不見了，如果是因為不能聯(lián)系學(xué)生的實際，那太遺憾了。充滿童趣的素材第四十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六七小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型有哪些第四十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六算術(shù)和代數(shù)算術(shù)中的基本對象是數(shù)，包括數(shù)的表示、數(shù)的意義、數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)的運算等。算術(shù)模型是一串“數(shù)字”的運算流程。代數(shù)中的基本對象除了數(shù)，還出現(xiàn)了更具廣泛意義的基本對象：符號。代數(shù)模型是方程或函數(shù)，包含未知數(shù)符號的等式關(guān)系或其他結(jié)構(gòu)。第五十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六從算術(shù)向代數(shù)過渡，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中極為重要的轉(zhuǎn)變階段．學(xué)生從“數(shù)的運算”過渡到“式的運算”，好象人發(fā)明了汽車那樣，運行速度大幅提高。代數(shù)運算的通性通法，取得了極高的思維效率，就像人不能每時每刻都在坐車，走路仍然是必須的、基本的。算術(shù)和代數(shù)第五十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六有一個煤礦，原來計劃上半年660萬噸，實際每個月比計劃多產(chǎn)22萬噸，實際多少月完成？典型問題為例第五十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六算術(shù)建模，是給出一種算法：(“計算表征”)實際每月完成數(shù)是(660÷6)+22，于是有答案：完成時間=660÷[(660÷6)+22]=5這是通過一串已知數(shù)字的運算組合，最后得到結(jié)果。解法一第五十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六代數(shù)建模。是給出一個算式。(“數(shù)量關(guān)系表征”)設(shè)實際完成月數(shù)是□，那么（660÷□）是每月實際完成數(shù)。

110=每月計劃完成數(shù)=（660÷□）-22于是得到有符號的算式——代數(shù)模型：（660÷□）-22=110（1）無法直接計算出□，但可以進(jìn)行“式”的運算：（660÷□）=110+22=132（2）（660÷132）=□=5（3）解法二第五十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六用符號的算術(shù)模型。設(shè)實際完成月數(shù)是□，那么□=660÷（實際完成數(shù)）

=660÷（計劃完成數(shù)+22）

=660÷（110+22）

=5這里也有符號代表數(shù)，卻完全是算術(shù)思維，與代數(shù)無關(guān)。解法三第五十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六用代數(shù)方法啟發(fā)算術(shù)思維。由（3）式：（660÷132）=□=5可知：□=（660÷實際每月完成數(shù)）=（660÷[(660÷6)+22）]=5最后二者是統(tǒng)一的。解法四第五十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六算術(shù)模型和代數(shù)模型的區(qū)別算術(shù)思維和代數(shù)思維思考的方向不一樣。打個比方，如果未知數(shù)在對岸，那么算術(shù)方法，好象摸著石頭過河找到未知數(shù)，代數(shù)方法好象用繩索將對岸的未知數(shù)捆好拉過河來，二者的思考方向剛好相反。第五十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六算術(shù)模型和代數(shù)模型的區(qū)別很多數(shù)學(xué)家回憶自己的學(xué)習(xí)生涯，感覺到小學(xué)里用算術(shù)方法解決問題培養(yǎng)了自己的能力，盡管這些問題后來用代數(shù)變得簡單。第五十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六“今有雞兔同籠，上有35頭，下有94腳，問雞兔各幾何?”（波利亞）金雞獨立解法的思路是，如果籠中的雞全部獨立單腳著地，做“金雞獨立”狀，而這時籠中所有兔也學(xué)雞立起前兩腳而只有后兩腳著地……（張景中）假設(shè)雞的兩只翅膀也變成了兩只“腳”……

還有更多經(jīng)典問題：雞兔同籠第五十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六列方程時的數(shù)學(xué)思維，主要還得用算術(shù)方法過渡。沒有算術(shù)的第一步，就難有代數(shù)的第二步。如果使得算術(shù)與代數(shù)完全脫離，使得學(xué)生沒有對比，看不出算術(shù)的缺點和代數(shù)的優(yōu)點，體會不到代數(shù)方法的優(yōu)越性，那么代數(shù)也是很難學(xué)好的。算術(shù)方法與代數(shù)方法第六十頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)應(yīng)用題是否要集中教學(xué)？數(shù)學(xué)建模是一種特殊思維活動，有特定內(nèi)容，需要單獨、集中學(xué)習(xí)領(lǐng)會。一些基本的數(shù)學(xué)模型反映基本的數(shù)量關(guān)系，是學(xué)生發(fā)展的必要基礎(chǔ)。需要集中演練，形成技能。解數(shù)學(xué)應(yīng)用題，需要將各種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行比較。集中教學(xué)，避免分散割裂。處處都有，有時也容易變成處處都沒有。第六十一頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六有一桶油，第一次取出這桶油的20％，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？可能的困難：不會轉(zhuǎn)化百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)？不會計算？不會列方程？不會分析數(shù)量關(guān)系？還是……就是不會做從不會到會，需要什么

第六十二頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六有一桶油，第一次取出這桶油的20％，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？畫線段圖：畫草圖：怎樣讓學(xué)生學(xué)會？這桶油的20％，12千克這桶油的1/2第六十三頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六有一桶油，第一次取出這桶油的20％，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？第一次＝這桶油×20％第二次＝12千克兩次一共＝這桶油×1/2這桶油×20％＋12＝這桶油×1/2怎樣讓學(xué)生學(xué)會？第六十四頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六有一桶油，第一次取出這桶油的20％，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？對應(yīng)關(guān)系：1－－這桶油20％－－第一次取出1/2－－兩次取出？－－第二次取出12千克怎樣讓學(xué)生學(xué)會？第六十五頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六有一桶油，第一次取出這桶油的20％，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？列方程設(shè)這桶油為x千克；20％x＋12＝1/2x1/2x－20％x＝12怎樣讓學(xué)生學(xué)會？第六十六頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六有一桶油，第一次取出這桶油的20％，第二次取出12千克，兩次共取出這桶油的1/2，這桶油共多少千克？畫線段圖：畫草圖：對應(yīng)關(guān)系：方程；還有什么方法？怎樣讓學(xué)生學(xué)會？第六十七頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六基本策略嘗試猜想；畫圖制表；實際操作；應(yīng)用規(guī)律；等量替換從簡入手；整理數(shù)據(jù)；可逆思考；用方程解；邏輯推理理解題意做解題計劃；按計劃解答；回答和檢驗。一般策略特殊策略第六十八頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？

策略1：嘗試與猜想：1只雞，7只兔，腿的總條數(shù)是30，腿多了，減少兔子的數(shù)量，再嘗試；策略2：列表嘗試：雞兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加雞的數(shù)量，再嘗試；策略3：用畫圖的方法，先按照都是雞畫好，再在此基礎(chǔ)上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。第六十九頁，共八十頁，編輯于2023年，星期六策略4：假設(shè)全是雞，也可以假設(shè)全是兔，也可以假設(shè)一半是雞一半是兔；策略5：方程思路：用□表示