人教A選修反證法

1．知識(shí)與技能了解反證法是間接證明的一種基本方法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)．2．過(guò)程與方法感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用．本節(jié)重點(diǎn)：反證法概念的理解以及反證法的解題步驟．本節(jié)難點(diǎn)：應(yīng)用反證法解決問(wèn)題．用反證法證明問(wèn)題，一般由證明p?q，轉(zhuǎn)向證明?q?r?…?t，t與假設(shè)矛盾或與某個(gè)真命題矛盾，從而到判斷?q為假，得出q為真．反證法，不是從已知條件去直接證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實(shí)性．1．反證法證明數(shù)學(xué)命題的四個(gè)步驟第一步：分清命題的條件和結(jié)論；第二步：做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)；第三步：由假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用演繹推理方法，推出矛盾的結(jié)果；第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開(kāi)始所做的假設(shè)不真，于是原結(jié)論成立，從而間接地證明了命題為真．常見(jiàn)的主要矛盾有：(1)與數(shù)學(xué)公理、定理、公式、定義或已被證明了的結(jié)論相矛盾；(2)與假設(shè)矛盾；(3)與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾．2．反證法適宜證明存在性、唯一性、帶有“至少有一個(gè)”或“至多有一個(gè)”等字樣的一些數(shù)學(xué)問(wèn)題．3．用反證法證明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面為“<”；“≤”的反面為“>”；“>”的反面為“≤”；“<”的反面為“≥”；“≠”的反面為“＝”；“＝”的反面為“≠”或“>及<”．4．反證法屬于邏輯方法范疇，它的嚴(yán)謹(jǐn)體現(xiàn)在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論(假設(shè))”；第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”．反證法屬于“間接證明方法”，書(shū)寫格式易錯(cuò)之處是“假設(shè)”錯(cuò)寫成“設(shè)”．1．反證法的定義一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)

，最后得出

，因此說(shuō)明假設(shè)

，從而證明了原命題

，這樣的證明方法叫做反證法．反證法是

的一種基本方法．2．反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與

矛盾，或與

矛盾，或與定義、公理、

、

矛盾等．正確的推理矛盾錯(cuò)誤成立間接證明已知條件假設(shè)定理事實(shí)[例1]

求證：若兩條平行直線a，b中的一條與平面α相交，則另一條也與平面α相交．[證明]

不妨設(shè)直線a與平面α相交，b與a平行，從而要證b也與平面α相交．假設(shè)b不與平面α相交，則必有下面兩種情況：(1)b在平面α內(nèi)．由a∥b，a?平面α，得a∥平面α，與題設(shè)矛盾．(2)b∥平面α.則平面α內(nèi)有直線b′，使b∥b′.而a∥b，故a∥b′，因?yàn)閍?平面α，所以a∥平面α，這也與題設(shè)矛盾．綜上所述，b與平面α只能相交．[點(diǎn)評(píng)]

直接證明直線與平面相交比較困難，故可考慮用反證法，注意該命題的否定形式不止一種，需一一駁倒，才能推出命題結(jié)論正確．已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2.[證明]

假設(shè)p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，將p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即6(q－1)2<0.這與6(q－1)2≥0矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．所以p＋q≤2.[點(diǎn)評(píng)]本題已知為p，q的三次冪，而結(jié)論中只有p，q的一次冪，若直接證明，應(yīng)考慮到用立方根，同時(shí)用放縮法，但很難證，故考慮采用反證法.[點(diǎn)評(píng)]該命題中有“至少……”，直接方法很難證明，故可采用反證法．類題解法揭示：當(dāng)命題中出現(xiàn)“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“沒(méi)有……”、“唯一”等指示性詞語(yǔ)時(shí)，宜用反證法．注意“至少有一個(gè)”、“至多有一個(gè)”、“都是”的否定形式分別為“一個(gè)也沒(méi)有”、“至少有兩個(gè)”、“不都是”．求證：一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°.[證明]

假設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C都小于60°，即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°.相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C都小于60°的假定不能成立，從而，一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°.[例3]已知：一點(diǎn)A和平面α.求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A只能有一條直線和平面α垂直．[分析]

[證明]

根據(jù)點(diǎn)A和平面α的位置關(guān)系，分兩種情況證明．(1)如圖，點(diǎn)A在平面α內(nèi)，假設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A至少有平面α的兩條垂線AB、AC，那么AB、AC是兩條相交直線，它們確定一個(gè)平面β，平面β和平面α相交于經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的一條直線ɑ.因?yàn)锳B⊥平面α，AC⊥平面α，a?α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A有兩條直線都和直線a垂直，這與平面幾何中經(jīng)過(guò)直線上一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾．(2)如圖，點(diǎn)A在平面α外，假設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A至少有平面α的兩條垂線AB和AC(B、C為垂足)那么AB、AC是兩條相交直線，它們確定一個(gè)平面β，平面β和平面α相交于直線BC，因?yàn)锳B⊥平面α，AC⊥平面α，BC?α，∴AB⊥BC，AC⊥BC在平面β內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A有兩條直線都和BC垂直，這與平面幾何中經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)只能有已知直線的一條垂線相矛盾．綜上，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)A只能有平面ɑ的一條垂線．已知直線m與直線a和b分別交于A，B且a∥b，求證：過(guò)a、b、m有且只有一個(gè)平面．[證明]

∵a∥b，∴過(guò)a、b有一個(gè)平面α.又m∩α＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，∴m?α.即過(guò)a、b、m有一個(gè)平面α假設(shè)過(guò)a、b、m還有一個(gè)平面β異于平面α.則a?α，b?α，a?β，b?β這與a∥b，過(guò)a、b有且只有一個(gè)平面相矛盾．因此，過(guò)a、b、m有且只有一個(gè)平面．[例4]求證：當(dāng)x2＋bx＋c2＝0有兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)根時(shí)，bc≠0.[證明]

假設(shè)bc＝0，則有三種情況出現(xiàn)：(1)若b＝0，c＝0，方程變?yōu)閤2＝0；x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的根，這與已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程變?yōu)閤2＋c2＝0，但當(dāng)c≠0時(shí)x2＋c2≠0與x2＋c2＝0矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程變?yōu)閤2＋bx＝0，方程的根為x1＝0，x2＝－b，這與已知條件：方程有兩個(gè)非零實(shí)根矛盾．綜上所述，bc≠0.一、選擇題1．“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定為(

)A．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)B．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)C．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)[答案]

D[解析]

恰有一個(gè)偶數(shù)的否定有兩種情況，其一是無(wú)偶數(shù)，其二是至少有兩個(gè)偶數(shù)．[答案]

C3．命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是(

)A．有兩個(gè)內(nèi)角是直角B．有三個(gè)內(nèi)角是直角C．至少有兩個(gè)內(nèi)角是直角D．沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是直角[答案]

C[解析]

“最多”與“至少”互為否定，“一個(gè)”對(duì)應(yīng)“兩個(gè)”．4．a(chǎn)＋b＞c＋d的必要不充分條件是(

)A．a(chǎn)＞c

B．b＞dC．a(chǎn)＞c且b＞d D．a(chǎn)＞c或b＞d[答案]

D[解析]

A，B是既不充分也不必要條件，C是充分不必要條件，只有D正確，可用反證法證明；若a＞c或b＞d不成立，則a≤c且b≤d，相加得，a＋b≤c＋d，與a＋b＞c＋d矛盾，故條件是必要的．又取a＝10，b＝1，c＝4，d＝8知條件是不充分的．二、填空題5．有下列命題：①空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則這四點(diǎn)必共面；②空間四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)不共線，則這四點(diǎn)不共面；③垂直于同一直線的兩直線平行；④兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形．其中真命題是________．[答案]

①6．和兩條異面直線AB、CD都相交的兩條直線AC、BD的位置關(guān)系是________．[答案]異面三、解答題7．如圖所示，在△ABC中，AB>AC，AD為BC邊上的高，AM是BC邊上的中線，求證