【第一方案一輪復(fù)習(xí)】對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

第七節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)點擊考綱1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用．2.理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點．3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)(a＞0，且a≠1).關(guān)注熱點1.對數(shù)運算是高中學(xué)習(xí)的一種重要運算，而對數(shù)函數(shù)又是最重要的一類基本初等函數(shù)，因此該節(jié)內(nèi)容是高考的重點．2.考查熱點是對數(shù)式的運算和對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時考查分類討論、數(shù)形結(jié)合思想方法.1．對數(shù)的概念(1)對數(shù)的定義如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作

，其中

叫做對數(shù)的底數(shù)，

叫做真數(shù)．(2)幾種常見對數(shù)x＝logaNaN2.對數(shù)的性質(zhì)與運算法則(1)對數(shù)的性質(zhì)①alogaN＝

；②logaaN＝

(a>0且a≠1)．(2)對數(shù)的重要公式對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為a(a>0且a≠1)

常用對數(shù)底數(shù)為

.

自然對數(shù)底數(shù)為

.

logaNlgNlnNe10NNlogad

logaM＋logaN

logaM－logaN

nlogaM

3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：

.(2)值域：R(3)過點

，即x＝

時，y＝

.(4)當(dāng)x>1時，

.當(dāng)0<x<1時，

.(4)當(dāng)x>1時，

.當(dāng)0<x<1時，

.(5)是(0，＋∞)上的

.(5)是(0，＋∞)上的

.(0，＋∞)(1,0)10y>0y<0y<0y>0增函數(shù)減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)

互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線

對稱．y＝xy＝logax如何確定圖中各函數(shù)的底數(shù)a，b，c，d與1的大小關(guān)系？提示：作一直線y＝1，該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)，∴0<c<d<1<a<b.1．對于a>0且a≠1，下列結(jié)論正確的是(

)①若M＝N，則logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，則M＝N；③若logaM2＝logaN2，則M＝N；④若M＝N，則logaM2＝logaN2.A．①③

B．②④C．②

D．①②④解析：當(dāng)M＝N＝0時，①、④均錯誤；當(dāng)M＝2，N＝－2時，排除③.答案：C答案：B答案：A4．已知loga(3a－1)有意義，那么實數(shù)a的取值范圍是________．答案：1【解析】

(1)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3lg22－lg6＋lg6－2＝3lg5lg2＋3lg5＋3lg22－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝1.【方法探究】

對數(shù)式的化簡與求值的常用思路(1)先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運算法則化簡合并．(2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運算．在運算中要注意對數(shù)化同底和指數(shù)與對數(shù)的互化．【思路導(dǎo)引】

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，限定每個對數(shù)值的取值區(qū)間，借助于中間數(shù)0,1等結(jié)合不等式的傳遞性來比較大?。痉椒ㄌ骄俊?/p>

比較對數(shù)值大小的類型及相應(yīng)方法：若底數(shù)為字母時要分類討論，對一些較復(fù)雜的對數(shù)式大小比較，還常用作差法、特殊值法．

已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)．(1)當(dāng)x∈[0,2]時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，并且最大值為1，如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由．【思路導(dǎo)引】

函數(shù)f(x)為復(fù)合函數(shù)，且含參數(shù)a，要結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)具體分析找到正確的解題思路，是否存在性問題，分析時一般先假設(shè)存在再證明．【方法探究】

這是一道探索性問題，注意函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，問題的處理，一般是先假設(shè)存在，再結(jié)合條件進行轉(zhuǎn)化求解，如推出矛盾，則不存在，反之存在性成立．3．設(shè)a＞0且a≠1，函數(shù)f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，求不等式loga(x2－5x＋7)＞0的解集．解析：首先根據(jù)函數(shù)有最大值確定范圍，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將求解不等式去對數(shù)符號，轉(zhuǎn)化成解代數(shù)不等式，一定注意對數(shù)的真數(shù)大于零．∵lg(x2－2x＋3)＝lg[(x－1)2＋2]，又f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0＜a＜1.由loga(x2－5x＋7)＞0得0＜x2－5x＋7＜1，解得2＜x＜3，故不等式的解集是{x|2<x<3}．(1)證明：當(dāng)x≥7時，掌握程度的增長量f(x＋1)－f(x)總是下降；(2)根據(jù)經(jīng)驗，學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121]，(121,127]，(127,133]．當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應(yīng)的學(xué)科．(取e0.05≈1.051)【思路導(dǎo)引】

利用給定的函數(shù)研究實際問題，根據(jù)實際問題情景的含義，第(1)題實質(zhì)是判斷函數(shù)f(x＋1)－f(x)是減函數(shù)，第(2)題實質(zhì)是對數(shù)方程的求解．【評價探究】

對于指、對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用，不僅重視指、對數(shù)函數(shù)內(nèi)在的綜合聯(lián)系，還要重視函數(shù)與其他知識的綜合滲透，以及在實際問題中的應(yīng)用．【考向分析】從近兩年的高考試題看，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是高考的熱點，題型一般為選擇題、填空題，屬中低檔題，主要考查利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較對數(shù)值大小，求定義域、值域、最值以及對數(shù)函數(shù)與相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．預(yù)測2012年高考仍將以對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)為主要考點，重點考查運用知識解決問題的能力．1．設(shè)函數(shù)f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若f(x1x2…x2010)＝8，則f(x12)＋f(x22)＋…＋f(x20102)＝(

)A．4 B．8C．16 D．2loga8解析：∵f(x1x2…x2010)＝f(x1)＋f(x2)＋…＋f(2010)＝8，∴f(x12)＋f(x22)＋…＋f(x20102)＝2[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x2010)]＝2×8＝16.答案：C2．(2011·福建福州)三個對數(shù)函數(shù)圖象如圖所示，若ax1＝bx2＝cx3>1，則x1、x2、x3的大小關(guān)系是(

)A．x1>x2>x3B．x3>x2>x1C．x3>x1>x2D．x2>x1>x3解析：由圖知：0<b<a<1<c，又ax1＝bx2＝cx3>1，x1<x2<0，x3>0，故x3>x