概率練習(xí)冊第三章答案

試求試求(1)系數(shù)c； (2)X和Y各自的邊緣密度函數(shù);X\Y123Pi.101/61/121/421/61/61/61/231/121/601/4P?j1/41/21/42.一II袋中有四個球，它們依次標(biāo)有數(shù)字122,3。從這袋中任取一球后，不放回袋中，再從袋中任取一球。設(shè)每次取球時，袋中每個球被取到的可能性相同。以X、Y分別記第一、二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字，求(X,y)的分布律與關(guān)于X和Y的邊緣分布率及P(x=r)o解：P{x=Y}=P{X+1,Y=1}+P{X=2,y=2}+P{X=3,/=3}=0+丄+0=丄663.設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：cxy20(0<x<2,0<y<1),(其他).I:/(^y)dxdy=1HRMG曲)=(2)fx(x)=Cf(x,y)dy?r—Xi3鳥曲兒0＜丫＜2=0,其他j-,0<x<2fo,其他f23 .fy(y)=匸TV,y)dx=p02可dx,Q<y<{=<0,其他3v\0<y<10,其他⑶P(X<Y)=\；^dydx=[x4〔2Tdx=0.154?求在D上服從均勻分布的隨機(jī)變量(X“)的密度函數(shù)，其中D為x軸、y軸及直線y=2x+l圍成的三角形區(qū)域；并寫出關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)。4,--<x<0,0<y<2x+l2 0,其他氏⑴=匸/(忑刃dy4dy--<x<0_J8x+4-—<x<0人(y)=p7(x,y)dx=<k0,其/I 0,人(y)=p7(x,y)dx=<k4d”0<y<1J2(l-y),0<y<10,其他 l。其他5?設(shè)國際市場上甲、乙兩種產(chǎn)品的需求量(單位：噸)是服從區(qū)域G上的均勻分布，G={(x,y)|2000<x<4000,3000<y<6000},試求兩種產(chǎn)品需求量的差不超過1000噸的概

率?解:皿吒十“ ■ 『40000rx+iooop(r-x<iooo}= dydx=-6000000' 3JJ/(xOp(r-x<iooo}= dydx=-6000000' 3y<.v+1000習(xí)題3-2 獨(dú)立性與條件分布1.袋中有2個紅球，3個白球?，F(xiàn)隨機(jī)地抽取2次，每次抽取一個，定義1第一次取到紅球 1第二次取到紅球X—< 9Y— 90第一次取到白球 0第二次取到白球分別就有放回和無放回抽樣兩種情況,求(XV)的分布律和關(guān)于X#的邊緣分布律,并判斷是否相互獨(dú)立。［解］(1)有放回抽樣：rx,Y丿的分布律和出邊緣分布為:X、/相互獨(dú)立。TOC\o"1-5"\h\z3 2 3 3 2 3(2)無放回抽樣：p{x=o.r=o}=-x-=—,p{x=o,r=i}=-x-=—'5 4 10 5 4 102 3 3 2 1 1P{X=l”=0}=—x—= P{X=1』=1}=—x—=—5 4 10 5 4 10(X、)的分布律和邊緣分布為:顯然,P{X=O,Y=O}=—hP{X=O}P{Y=O}=—10 25X、Y不相互獨(dú)立。2.2.甲、乙兩人獨(dú)立地各進(jìn)行兩次射擊，假設(shè)甲的命中率為0.2,乙的命中率為0.5,以X和Y分別表示甲和乙命中的次數(shù)。試求X和Y的聯(lián)合概率分布。解：因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立P{X=m,y=n}=P{X=m}P{Y=n}=CT0.2m0.S2'mC^.5n0.52~n,m,n=0,1,2.所以X和Y的聯(lián)合概率分布律為：Y\X01200.160.080.0110.320.160.0220.160.080.013?設(shè)隨機(jī)變量X在1、2、3、4四個整數(shù)中等可能地取值，而隨機(jī)變量Y在1?X中等可能地取一個整數(shù)?求：(1)X=2時，丫的條件分布律；(2)Y=1時，X的條件分布律.解：1234P?j11/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/161/4840001/161/16(2))2(2))2Pi?1/41/41/41/4P{X=2}=l/4P{Y=yjP{Y=yj\X=2}=P{X—兀}P{X=2}故X=2時“的條件分布律k1234P^Y=k\X=2)0.50.500P{y=l}=25/48P{X=XiP{X=Xi\Y=l}=P{Y=1}故Y=1時，X的條件分布律為:k1234P(X=k\Y=l)0.480.240.160.124.設(shè)二維隨機(jī)變量(Xf)的聯(lián)合密度函數(shù)為/(^y)=x>0/(^y)=x>0、y>0其他求：(1)系數(shù)S(2)P(0<X<l,0<y<2)：(3)證明X與丫相互獨(dú)立。解：(1)J'-KCf-HX-xJ_ock^e-ixk^e-ixdx^e-4ydy=k+ooko=n=1^=12P(0<X<L0<y<2)=12(k'dxfe~4ydy=12丿0〔4o=(l-e-3)(l-e-s)fx(x)=^f(x9y)dy『ne-ixe~4ydy,x>00,x<0「3嚴(yán)x>00/50f+Xfy(y)=\f(^y)dxV—X12廣f+Xfy(y)=\f(^y)dxV—X12廣ZTydx』>0OjYO21x2y\0,0<x<y<1

其它4嚴(yán)」>0o,y<o顯然f（x,y）=fx（x）fY（y）,所以，X與Y相互獨(dú)立5.己知（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為214 0,其他fY(y)=^f^y)dx￡2lx214 0,其他fY(y)=^f^y)dx￡2lx2yzdx,0<y<1° 0,其他7y\0<y<10,其他fx\y(x\y)=/(x,y)_f3x2/y3A()0Io0<x<y<1

其他（1） 求在Y=y的條件下X的條件概率密度函數(shù)（2） X與Y是否相互獨(dú)立？說明理由。⑶求P{o<x<l|r=l}［解］⑴人（切=廣/（兀刃心「21亍)卩心,0<x<l一(x2-x6)fl<x<1=Jx =SI((3)(2)顯然/(X,刃H/x(x)人(刃，X與Y不相互獨(dú)立p{o<x<-,y=i}J L__=ip{o<x<l,r=l}習(xí)題3-3 二維K機(jī)交量函數(shù)的0布設(shè)x與y相互獨(dú)立，且同服從參數(shù)為九的泊松分布，即P{X=k}=P{Y=k}= ,k=0丄2,…，久>0,k\(1)求Z=X+Y的分布律：⑵求M=max(X,Y)的分布律；⑶求N=min(X")的分布律。解：(1)P{X+Y=n}=P{X=O.K=n}+P{X=1\Y=n-1}+…+…+P{X=厲丫=0}=(2兄化①n\(2)P{M=m}=P{X=m,Y=m}+P{X=m9Y=m-1}+P{X=m-UY=m}+-+P{X=O.Y=m}J岳"2,…P{M=n}=P{X=n,Y=n}+P{X=n,Y=n+l}+P{X=n+l,Y=n}+?…\-￡品Y>0設(shè)…,X”相互獨(dú)立，且具有公共分布函數(shù)F(x)=? 0, x<0求丫=n[min(X1,X?,X”)]的分布函數(shù)。解：設(shè)Z=n1ni(X1,X2，-,XJFx(刃=P{y5刃=P{〃Z<y}=P{Z<2}=1_[1一1+異:]“,y〉00,yW0_1-嚴(yán)』>0一〔0,y<0Y?E(A)設(shè)隨機(jī)變量X,丫相互獨(dú)立，其概率密度分別為QQ,y>00, y<0求隨機(jī)變量Z=2X+/概率密度函數(shù)。解:心):諾>°Fz(Z)=P{2X+Y<z}0,z<0=<0"<2JoJo0^<0r；+1+r0,z<0加）=尺⑵=”廠，0"<24.設(shè)隨機(jī)變量(X』)在正方形G={^y)\l<x<\l<y<3}±服從均勻分布，試求隨機(jī)變量Z=\X-Y\的概率密度fz⑵oW：/U,y)=H4-x-34-}，-30,其他先求Z的分布函數(shù)代(Z)=P{Z<Z)=P{|X-r|<z}=\\f^y)dxdy\^-y\<z^l<x<3,l<y<3,Si0<|x-y|<2,因此，當(dāng)？<0時E⑵=0當(dāng)Z>2時Fz⑵=1當(dāng)0"<2時，代(2)=2[4-(2-乙)']=乙一1疋4 4■Z-^z\0<z<2故錢⑵R0二<0.1,2〉2于是隨機(jī)變量u=|x_丫|的概率密度fA^=F:\z)=\i~2Z,Q~z~20,其他第三章復(fù)習(xí)題一填空題(X,y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，用(X")的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)表示下列概率:p(a<X<b,Y<c)= ;p(X<a,Y<b)= ;p(O<Y<ci)= ;p(X>a,Y<b)= 答案：答案p(a<X<b,Y<c)=F(b,c)-F(a9c)p(X<a,Y<b)=F(a,b)(3)p(0<Y<ci)=F(+s,d)-F(+s,O)(4)p(X>a,Y<b)=F(+oo,b)-F(a,b)隨機(jī)變量(X“)的分布率如下表，則匕0應(yīng)滿足的條件是 X12311/61/91/1821/3aP若X』相互獨(dú)立，則&= 0= 設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=丄及直線y= = =/所|韋］成，二維隨機(jī)變量(XV)在區(qū)域xTOC\o"1-5"\h\zD上服從均勻分布，則(X,Y)的聯(lián)合分布密度函數(shù)為 。答案：1 t f 1廠?“ 一 l<x<e",O<y<-/(X")=2 x0 其他(01、 34?設(shè)隨機(jī)變^X^X2.X3相互獨(dú)立且服從兩點(diǎn)分布，貝=月艮從、0?80.2丿 ;=1分布 O答案：二項(xiàng)分布b-(3,0.2)

5.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為/(禺刃=肩°+2刃’0<X<1，0<}<1,則當(dāng)0 , 其他Ovxvl時，X的邊緣概率密度函數(shù)fx(x)= °2答案：彳(X+1)12-301-3則卜?列各式成12-301-3則卜?列各式成1.設(shè)兩個隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立且同分布，均服從兩點(diǎn)分布立的是( )⑷X=Y (C)p(X=Y)=1(B) p(X=r)=| (￡?p(X=Y)=O(A)(扛)(B)(C)(12)(A)(扛)(B)(C)(12)[1015;(D)答案：c因?yàn)?101/92/91294/92.設(shè)兩個隨機(jī)變量x與丫的聯(lián)合分布如下X-1101/15p1q1/52153/10則當(dāng)(/“)=( )時，隨機(jī)變量x與丫獨(dú)立。答案：C因?yàn)?P{X=2}=l/5+3/10=l/2P{X=2"=—1}=P{X=2}P{Y=—1}即1/5=1/2P{Y=-1}P{Y=-l}=2/5P{X=2,Y=l}=P{X=2}P{Y=1}即3/10=l/2P{Y=1}P{Y=l}=3/5

P{X=O,y=-l}=P{X=0}P{Y=—1}即1/15=2/5P{X=0}P{X=0}=l/61 3 1P{X=0,Y=1}=P{X=0}P{Y=1}即p=-x-=—P{X=1,Y=]}=P{X=1}P{Y=1}即l/5=3/5P{X=1}P{X=l}=l/3P{X=_1』=1}=P{X=-i}P{Y=1}即z15設(shè)兩個隨機(jī)變量x與丫相互獨(dú)立且同分布p{x=-i}=p{y=-i}=l,P{X=1}=P{F=1}=丄貝IJ( )(A)P{X=Y}=- (B)P{X=Y}=1(C)P{X+Y=0}=#(D)p{xy=i}=l答案：A3 4設(shè)X和丫為兩個隨機(jī)變量，且P{X>0,r>0}=-,p{X>0}=P{Y>0}=-,則P{niax(X.r)P{niax(X.r)>0}=()3 4(A) - (B)-7 7(C)-7答案：C,因?yàn)?D) 1P{max(X,y)>0}=P{X>0或Y>0}=P{X>0}+P{Y>0}->0,y>0}=|5?設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X?NgQY?Ng応,則X+Y仍具有正態(tài)分布，其分布為（ ）（A） +加）； （B）N（“+/z2,cr1cr2）;（C）N（“i+“2，“'穴）; （D） +穴）答案：D三將兩封信投入編號為1,2,3的三個郵筒。設(shè)X,Y分別表示投入第1,2號郵筒的信的數(shù)目。（1）求（XM）的分布律；（2）問X』是否相互獨(dú)立？（3）求當(dāng)Y=0時，X的條件分布律；分布律；(4)求Z=2X+Y分布律:(5)求A/=max(X,y)與N=min(X』)012P-J01/92/91/94/912/9012P-J01/92/91/94/912/92/904/921/9001/9Pi?4/94/91/9的分布律。(6)求第3個郵筒里至少投入一封信的概率解：(1)(2)因?yàn)閜{x=o,丫=0}=￡工P{x=o}P{Y=°}=普X|(Y=0)012Pk1/41/21/4故(4)P{Z=k}=P{2X+Y=k}Z=2X+Y的分布律:z01234Pa1/92/93/92/91/9(5)因?yàn)镻{M=k}=P{X=k或丫=燈=P{X=k}+P{Y=k}-P{X=k.Y=k}故耐=故耐=max(X.r)的分布律為:012Pk1/96/92/97P{W=0}=P{X=0}+P{Y=0}_P{X=0,Y=0}=g2P{/V=l}=l—P{/V=0}=§故W=min(XV)的分布律為:N0故W=min(XV)的分布律為:N01Pk7/92/9四設(shè)(X,Y)?f(x.y)=Cxe^\0,0vxvyvs其它（1）求常數(shù)c；（2）求（x,Y）關(guān)于x,Y的邊緣概率密度AW.ACy）：（3）求/沖3）'）』屮（）技）；（4）求（XM）的分布函數(shù)y）:（5）求Z=X+Y的概率密度；（6）求M=max（XY）,N=min（X』）的概率密度;（7）求P{X+Y<1}.解：（1）因?yàn)閰[匸/（X，）'）dxdy=l(2)fxfX>解：（1）因?yàn)閰[匸/（X，）'）dxdy=l(2)fxfX>=匸i(x,y?dy=x>0xVOfY<y)=匸i(x,y?dy=^2y6y>0y<02x

y"o,0<x<y<oo其它fv\xOHX)=fx⑴I0,0<x<y<oo

其它x<x<0或)y00<y<x<+oo0<x<y<+oo(4)F(x,y)=jf(u,v)dudv0.=<￡￡ue~vdudv,ffue~'dvdu.JoJ”0, x<0或yv0=<l-(y2/2+y+l)e~\ 0<y<x<+ool-(x+1)廣丫-x2e'v/2,0<x<y<+^U=vXXoX>yX<y(5)/z⑵=j^f(x,z-x)dx當(dāng)Z<0時，/(x,z-x)=0=>/z⑵=0當(dāng)z>0時，xvy即xvz—兀故0vxv上2fz⑵=^xe-^dx即fzfz>=fl+ -l>ez/2/e'zo,z<0w■[1+(|-i)^k\z>o

⑹2<時&⑵=0Z>0時?⑵=P{M<z}=P{X<z,Y<Z}=JohQdv=1一(*，+?+1)廠0,2<0|-^-(7)P{X+y<1}=dx^~xxe--(7)P{X+y<1}=dx^~xxe-ydy=U 丿M=max(X")的概率密度為丄/m丄/m⑵=尸;⑵=<2z>oz<o時仏⑵=o=1乙>o時F,v(z)=P{N<z}=i-P{N>z}=i-P{X>z,Y>Z}ue^du=1+(z，+2?+2)e=1o,z<0l+(z，+2z+2?=znoN=min(XN)的概率密度為N=min(XN)的概率密度為z>0z<02五設(shè)(X,Y)?幾兀刃」弓A|vl,|y|vl2[