第一講實(shí)數(shù)與實(shí)函數(shù)

第一講實(shí)數(shù)與實(shí)函數(shù)1.1實(shí)數(shù)與實(shí)函數(shù)的基本概念實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù).有理數(shù)，就是能夠表示成?巳形式的數(shù)，其中p是整數(shù)，qq是不為零的整數(shù).如果用小數(shù)表示，有理數(shù)都可以表示成有限小數(shù)，或無限循環(huán)小數(shù).無理p數(shù)，就是不能表示成《形式的數(shù)，也就是無限不循環(huán)的小數(shù).如果將有限小數(shù)也表示成無q限小數(shù)，例如：數(shù)1可表示為1=1.000…；也可以表示為1=0.999…（注：這是實(shí)無限的觀點(diǎn)），為唯一性起見，數(shù)學(xué)上作了一個約定，就是不以零為循環(huán)節(jié).數(shù)1約定的表示為1=0.999…，因此，實(shí)數(shù)就是一個可以用無限小數(shù)表示的數(shù).二、 實(shí)數(shù)的性質(zhì).實(shí)數(shù)集合R是一個阿基米德有序域（1）在實(shí)數(shù)集合R上定義加法“+”和乘法“X”兩種運(yùn)算，對兩種運(yùn)算分別滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法關(guān)于加法的分配律；對加法，有“零元”和“負(fù)元”對乘法有“單位元”和“逆元”；R成為一個“域”.（2）在集合R上定義了一種序關(guān)系“<”，且滿足傳遞性：即對Va,b,ceR，若a<b,b<c，則a<c；三歧性：即對Va,beR,，關(guān)系a<b,a=b,a>b三者必居其一，也只居其一R是一個全序集.（3）R中的元素滿足阿基米德性：對R中的任意兩個正數(shù)a,b，必存在自然數(shù)n，使得na>b..實(shí)數(shù)集合R是一個完備集定義1.1（距離空間）設(shè)X是一個集合，定義映射P:XxX—R+，滿足（1）非負(fù)性：對Vx,yeX,pG,y）=0。x=y;（2）對稱性：pG,y）=P（y,x）；（3）三角不等式：pG,y）<p（x,z）+p（z,y）；則稱p是點(diǎn)集X上的一個距離.如果X是一個線性空間，稱（X,p）是一個距離空間。在實(shí)數(shù)集R上定義距離pG,y）=|x-y|（可以驗(yàn)證滿足定義中的三條），則（R,p）是一個距離空間.定義1.2設(shè)七｝是距離空間（X,p）中的點(diǎn)列，若對Vs>0,BN>0，當(dāng)m,n>N時，恒有pVx〃,x"<￡，則稱亳傀X中的柯西列.定義1.3若距離空間X中的任意柯西列都在X中收斂，則稱X是完備的距離空間.由柯西收斂準(zhǔn)則很容易知道，作為距離空間的實(shí)數(shù)集R是完備的.有6個刻劃實(shí)數(shù)集R完備性的且彼此等價(jià)的定理，它們分別是(1)確界原理：設(shè)S是非空數(shù)集.若5有上界.則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界.(2)單調(diào)有界原理：單調(diào)有界點(diǎn)列(函數(shù))必存在極限.(3)區(qū)間套定理：若也〃,bn]｝是一個區(qū)間套，則存在唯一的實(shí)數(shù)&,使得&g\a,b]n=1,2,…，即a獎<b,n=1,2,…。(4)有限覆蓋定理：設(shè)H是對閉區(qū)間巨，習(xí)的一個任意開覆蓋，則從H中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋a,b](5)聚點(diǎn)定理：實(shí)軸上的任一有界無限點(diǎn)集S至少有一個聚點(diǎn).推論(致密性定理)：有界點(diǎn)列必有收斂子列.(6)柯西收斂準(zhǔn)則：數(shù)列收斂的充要條件是數(shù)列是柯西列.關(guān)于上述六個定理的等價(jià)性證明可參考文獻(xiàn)L].三、關(guān)于實(shí)數(shù)點(diǎn)集的一些重要概念.有界點(diǎn)集S是一實(shí)數(shù)點(diǎn)集，若3M>0使對VxgS恒有XI〈M，則稱S是有界點(diǎn)集..無界點(diǎn)集S是一實(shí)數(shù)點(diǎn)集.若對VM>0，女gS使得|x|>M，則稱S是無界點(diǎn)集..有界函數(shù)f(x)是定義在點(diǎn)集I上的函數(shù)，若3M>0使對Vxg/恒有|fG)<M，則稱f(x)在I上有界..無界函數(shù)f(x)是定義在點(diǎn)集I上的函數(shù)，若對VM>0，女gI使得|fG)>M.則稱f(x)在I上無界、例i?i證明函數(shù)fG)=1在(0,1)上無界X證明：對VM>0，3x0=M^yg(0,1)使得f(X)=M+1>M故f(x)=X在(0,1)上無界。.上確界設(shè)E為一個實(shí)數(shù)點(diǎn)集，a為一是實(shí)常數(shù)，若滿足：①對VxgE，恒有x<?(即a為E的上界）；②對Vs>0,存在％gE,使得％>a—￡。（即a是e的最小的上界），則稱a為e的上確界，記作a=supE.下確界設(shè)E為一個實(shí)數(shù)點(diǎn)集，P為一是實(shí)常數(shù)，若滿足：①對VgE,恒有x<P（即&為E的下界）；②對Vs>0，存在兩x0gE，使得x0>P+8（即。是E的最大的下界），則稱P為E的下確界，記作6=infE.注：點(diǎn)集E的上確界或下確界可以屬于E，也可以不屬于E命題（1）a=supE，則agEoa=maxE.(2)6=infE，則PgE0。=minE.證明顯然，請讀者自證.例1.2設(shè)A、B皆為非空有界集，定義數(shù)集A+B=izIz=x+y,xgA,ygb}證明：（1）sup（A+B）=supA+SupB;（2）inf（A+B）=InfA+infB.證明：（1）由已知，A、B非空有界，可知A+B也是非空有界集.根據(jù)確界原理，它們的上、下確界都存在.對VzgA+B，由定義，存在xgA及ygB使得z=x+y<supA+supB即實(shí)數(shù)supA十supB是數(shù)集A+B的上界；又對VzgA+B，3x'gA,y'gB，使得￡ Sx'>supA——,，y'>supB一一nx'+y'>supA+supB—￡2 2記z'=x'+y'gA+B則z'>supA+supB一￡:.由定義可得sup(A+B)=SupA+supB(2)證明與(1)類似，從略.例1.3設(shè)f在區(qū)間I上有界.記M=supf(x)m=inffG)()()?心證明：sup|fx)-ft"彳=M—mxgI證明：對Vx',x"gI，有m<fC')<M,m<fC'')<M,

(*)(**則If(x)-f(x)<M-m(*)(**又對旌〉0,叫%^/使得f(x)>M-2,f(x)<m+2可得|f(x1)-f(X2)>(M-m)-e由式(*),式(**)可知sup|fX)-f(x巾M-mx'x"e/7.聚點(diǎn)定義1.4(點(diǎn)集的聚點(diǎn))：設(shè)E是一個點(diǎn)集，&是一個點(diǎn)，若在&的任意鄰域內(nèi)都含有E的無窮多個點(diǎn)，則稱&為點(diǎn)集E的聚點(diǎn).命題設(shè)E是一個點(diǎn)集，&是一個點(diǎn)，下列說法等價(jià):(1)&為點(diǎn)集E的聚點(diǎn).(2)在&的任意鄰域內(nèi)都含有E的異于&的一個點(diǎn).(3)在E中存在互異的點(diǎn)列?｝使得limx〃=&n—s證明：(1)n(2).顯然.(2)n(3).取"=1，在D&；七))內(nèi)，3xieE\Q，取￡=miJWjx—&||>0，在D&；￡)內(nèi)，3xeE\±..一，般地，取2I2 1I 1 2=min[—,l=min[—,lxInn-1—&|[>0在u@;￡〃)內(nèi)，，3xeE\七｝n=1,2,...n且是互異的，同時顯然有l(wèi)imx=&nn—s(3)n(1).對Vs>0，BN>0，當(dāng)n>N時，｝uU￡點(diǎn)).注意到nxneE,n=1,2,...,，即&為點(diǎn)集E的聚點(diǎn).注：(1)從定義可知，有限點(diǎn)集必?zé)o聚點(diǎn).(2)點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E.例如，設(shè)A是開區(qū)間(0,1)中的所有有理點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則閉區(qū)間h】］中的所有點(diǎn)都是a的聚點(diǎn)

定義1.5（點(diǎn)列的聚點(diǎn)）：設(shè)匕〃｝是一個點(diǎn)列，&是一個點(diǎn)，若在&的任意鄰域內(nèi)都含有4〃｝的無窮多項(xiàng)，則稱&為點(diǎn)列匕」的聚點(diǎn).注意：點(diǎn)集的聚點(diǎn)與點(diǎn)列的聚點(diǎn)不同，例如｝=11）｝作為點(diǎn)列，它有兩個聚點(diǎn):n-i和i，但是如果把它們看做點(diǎn)集，則它是一個僅含有兩個元素的集合L1,1｝，無聚點(diǎn).把點(diǎn)列的最大（?。┚埸c(diǎn)，叫做點(diǎn)列的上（下）極限，分別記作lim七和-七.ns ns8.覆蓋設(shè)H=｛\心Iaer｝是一個開區(qū)間集，其中r是一個指標(biāo)集，△.是開區(qū)間.設(shè)I是一個點(diǎn)集，如果對VxeI，總存在AgH，使得xgA，稱H覆蓋了I，或稱H是I的一個開覆蓋.如果H是有限集而覆蓋了I，則稱H是I的一個有限開覆蓋；如果H是一個無限集合而覆蓋了I，則稱H是I的一個無限開覆蓋.前面提到的有限覆蓋定理，是一個十分重要的定理.它可以推廣到一般的距離空間上去，這里就不多說了.例1.4?｝是單調(diào)數(shù)列，證明：若?｝存在聚點(diǎn)，則必是唯一的，且是?｝的確界.證明：不妨設(shè)｝是單調(diào)遞增數(shù)列.假設(shè)A,B都是它的一個聚點(diǎn)，且不等.不妨設(shè)A>B，n由聚點(diǎn)的定義，取￡=WB>0，在U（A;￡），含有｛x｝的無窮多項(xiàng)，假設(shè)A-B，又根據(jù)A-B，又根據(jù)｛x｝是單調(diào)遞增的2n{x"(a,e)，nA+B、，，貝gx-A<A-n0即在U（B；8）內(nèi)至多含有｛x｝的有限項(xiàng)，與B是聚點(diǎn)矛盾.

n再證A=sup｛xn｝：首先證明對Vn,x〃<A事實(shí)上，假設(shè)有某一項(xiàng)x^>A，插人80，使x>8>A.由｛x｝的單增性，當(dāng)n>n時，x>x>8>A.此與A為聚點(diǎn)% 0 n 0 n° n° 0矛盾.與唯一性的證明類似，可以證明A必是最小的上界，即A=sup｛x｝.n注：此題可有一個推論：若｛xn｝是單調(diào)數(shù)列，且有聚點(diǎn)，則必收斂.若｛xn｝是單調(diào)增，則limx=supx；若｛x｝是單調(diào)減的，則limx=infx.n n n n nnT8 nT8四、實(shí)函數(shù)（1）要理解函數(shù)的定義，一定要搞清楚映射的定義，而一元實(shí)函數(shù)實(shí)際上就是一個從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，這里不去贅述.確定一個函數(shù)的基本要素是定義域和對應(yīng)法則，當(dāng)然函數(shù)的值域也是函數(shù)的要素之一，但它是隨定義域與對應(yīng)法則而定的.（2）函數(shù)的運(yùn)算包括：①四則運(yùn)算；②復(fù)合運(yùn)算；③極限運(yùn)算；④微分運(yùn)算；⑤積分運(yùn)算；⑥取大(小)運(yùn)算(max{fG)gG)}血{fG)gG)})等.這里需要特別強(qiáng)調(diào)的是，要注意它們的定義域，使得上述運(yùn)算有意義.(3)幾種具有特性的函數(shù)：①有界函數(shù)(上節(jié)已給出定義)；②單調(diào)函數(shù)；③奇、偶函數(shù)；④周期函數(shù).這些函數(shù)的基本概念不再贅述.(4)初等函數(shù)與非初等函數(shù).六類基本初等函數(shù)：常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù).初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù).非初等函數(shù)：不是初等函數(shù)的函數(shù)，稱為非初等函數(shù).]1,x>0一般的分段函數(shù)，都是非初等函數(shù)，例如符號函數(shù)sgnx=]0,x=0就是非初等函—1,x<01x>0 _數(shù)，但是分段函數(shù)|x|={0,x=0可以看做初等函數(shù)，因?yàn)閨x|=Jx2是兩個冪函數(shù)的—1,x<0復(fù)合下面幾個非初等函數(shù)都很重要：康)[1,x為有理數(shù)狄利克雷(Dirichlet)函數(shù)QG)={|0,x為無理數(shù)黎曼(Riemann)函數(shù)R(x)=<-1,x=—[p,qg黎曼(Riemann)函數(shù)R(x)=<0,x=0,1和(0,1內(nèi)的無理數(shù)取整函數(shù)[x]:不超過x的最大整數(shù).勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式XG)=C'' nndxn它們的一些性質(zhì)，將在后面詳細(xì)討論.有些函數(shù)乍一看好像不是初等函數(shù)，例如了xx(x>0)，把它叫做冪指函數(shù)，利用對數(shù)恒等式，xx=exlnx是由一些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，所以它也是初等函數(shù).1.2實(shí)數(shù)與實(shí)函數(shù)的典型問題討論例1.5設(shè)函數(shù)f(x)在a,']月有定義，且在每一點(diǎn)處的極限存在，證明了f(x)在[a,b]上有界.證法1：對Vx'g\a,b]，因limf(x)存在，由局部有界性，3m'>0及6'>0，使得xTx

當(dāng)xgU〈'；5')時，恒有F(Im'.當(dāng)x跑遍a,b\,在每一點(diǎn)x處都具備上述性質(zhì).令H=U(x;5^)|xg",b］｝,則H是偵b］的一個開覆蓋，據(jù)有限覆蓋定理，必存在有限的子覆蓋.即存在",b］上的有限個點(diǎn)，不妨設(shè)為x,x，…,x這k個點(diǎn)就有昌UU(x;5)n",b］1 2k iii=1注意到對每個U(x;5)都存在相應(yīng)的M>0,使當(dāng)xgU(x;5)時，恒有ii i ii\f(x)<M(i=1,2,...,k).記M=maxM,M，…,M｝，貝對Vxg",b］恒有|f(x)<M，即函數(shù)f(x)在",b］上有界.證法2:(反證法)假設(shè)f(x)在［a,b］上無界，則對VM>0，3￡g",b］，使得/—V一一fx>M讓M=1,2,…，N，k…，則相應(yīng)地3x,x,...,x，…g",b]，/—V一一fx>M讓M=1,2,…，N，k｛x｝u",b｛x｝u",b］為有界數(shù)列，據(jù)聚點(diǎn)定理n必有收斂子列，即存在子列I｝，使nklimx=xg",b]?由已知，f(x)在xEnk 0 0點(diǎn)的極限存在，記limfG)=A，由歸結(jié)原則，應(yīng)有l(wèi)imfI,)=A，但是由?｝的取法可知|fI,)x—8nk nf(x)在",b］上有界.xs‘>n—+8,(k—8)，矛盾，即nk k例1.6試用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理.證明：設(shè)S是一個有界無窮點(diǎn)集.下面用有限覆蓋定理證它必有聚點(diǎn).因S有界，必有一個閉區(qū)間",bLS對Vs>0，uUGQn",bLS，由有限覆蓋定理，必xg［",b］有有限的子覆蓋，即存在有限個點(diǎn)x,x,...,xg",b］，使Uu(x;s)D",bLS.又因S12k i=1 i是無窮點(diǎn)集，在這k個點(diǎn)中，至少有一個點(diǎn)s一鄰域內(nèi)含有S的無窮多個點(diǎn)，若記該點(diǎn)為xg｛x,x,...,x｝，則X就是S的聚點(diǎn).1 2k例1.7討論狄利克雷函數(shù)的周期性.解：狄利克雷函數(shù)以任意有理數(shù)為周期的周期函數(shù)，因?yàn)闆]有最小的正有理數(shù)，所以它沒有基本周期.事實(shí)上，任取一個有理r，，當(dāng)x是有理數(shù)時，r+x還是有理數(shù)；當(dāng)x是無理數(shù)時，r+x是無理數(shù)，因此(x)D(x)+'1。，x為無理數(shù)例1?8證明定義在對稱區(qū)間(-1,l)上的任何函數(shù)fG)都可以唯一地表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和.

證明：令H(x)=1f(x)+f(—x)]G(x)=1f(x)—f(—x)]2 “ 2則f(x)=H(x)+G(x)，且容易驗(yàn)證H(—x)=H(x),H(x)是偶函數(shù)；G(—x)=—G(x),G(x)是奇函數(shù).下面證明唯一性.假設(shè)還存在偶函數(shù)H下面證明唯一性.假設(shè)還存在偶函數(shù)H10和奇函數(shù)G5,，fG)=H1G)+G](x)，則有(*)H(x)-H1(x)=G(x)-G1(x(*)用—x代x得H(—x)—H(—x)=G(—x)—G1(—x)，即(**)H(x)-H1(x)=g(x)-G(x(**)將式(*)、式(**)相加，得H(x)=H]i^)，再由式(*)可得，G(x)=G1(x)，唯一性得證.例1.9設(shè)f(x"+:'*<0求/((x)).11,x>0解”(f(^))=11:(tf(￥)<°，而x<—1時，fG)<0；x>—1時，f(x)>0)[1,fvx)>0故有f(f。))="'^<—1[1,x>—1例1.10設(shè)f和g為區(qū)間(a,b)上的增函數(shù)，證明：中(*)=max｛f(x)g(x)｝；中(*)=血｛f(x)g(*)｝都是偵疽上的增函數(shù).證明：任取氣,x2g(a,b)且x1>x2，由于f,g在偵b)上單調(diào)遞增，所以有

f(x)<f(x)g(x)<g(x)證明：即有即中G)在中[])=max{f(x1),g(x1)}<max{f(x2)g(x2)}=①(x2)(a,b)上單調(diào)遞增.即中G)在例1?11函數(shù)f在a,n月上無界，求證存在一點(diǎn)cga,b〕，使對任意的5>0，f在(c—5,c+8)nla,b]上無界.

證法l(反證法)：假設(shè)結(jié)論不成立，即對Vce\a,b\,至〉0,使f在(c-8,c+8)nla,b］上有界，即存在常數(shù)M>0，使當(dāng)xe(c-5,c+8)nla,b］時，有fg)<Mc。讓c跑遍a,對，這樣每一點(diǎn)的相應(yīng)的5鄰域就構(gòu)成a,。］的一個開覆蓋，由有限覆蓋定理，存在有限個點(diǎn)：記為X,x，…,xe\a,b］，它們的5(i=1,2,...,k)鄰域之并1 2k i就覆蓋了a,。］.因?yàn)樵诿恳粋€u(xi；5i)na,b］上都存在相應(yīng)的m>0，使得xeuG；5i)n1a,b］時，If(x)<Mt(i=1,2,...,k)，令M=maxM1,m2,...,mJ，則對Vxe［a,b］，恒有If(x)<M，即fG)在a,b］上有界.與已知矛盾.證法2(直接證法)：由已知f在a,b］上無界，將a,b］二等分，得兩個子區(qū)間a,a±b，a,%則f至少在其中一個子區(qū)間上無界，把它記為a1,b1］再將a1,b1］二等分，選其中一個使得f無界的那個子區(qū)間記為ta2,b2］.將上述步驟一直進(jìn)行下去，就得到一閉區(qū)間列｛a,b］｝,n=1,2,...,滿足：(i)它是一個區(qū)間套，實(shí)因：①a,blnn nna1,b1］，n=1,2,...,②b-a="之?！?。?！?).(2)f在每個a,b】上都是無界的.由區(qū)間套定理：3cea,b］ua,b1n=1,2,...,，且對V5>0，BN>0，當(dāng)n>N時，恒有a,b］u(c-5,c+5)由(2)知f在其上無界.例i.12舉出一個函數(shù)的例子，它在h1］上每一點(diǎn)都有定義，且取有限值，但是函數(shù)在￡,1〕上每一點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)都是無界的.解：為定義在|0,1］且每一點(diǎn)都取/\q,x=—,p,q為互質(zhì)的正整數(shù)令f(x)=^ q解：為定義在|0,1］且每一點(diǎn)都取0,x為無理數(shù)，或尤=0,x=1有限值的函數(shù).下面證明它在|0,1］上的每一點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)都是無界的.事實(shí)上，對Vx0",1］,Ve>0，由有理數(shù)的稠密性，在鄰域uG°；°內(nèi)總有有理點(diǎn)，不妨取r=%eU(x；8)，其中p,q都是互質(zhì)的正整數(shù).對VM>1,總有某一個自然數(shù)k，0q 0 0 0#0

使得有理數(shù)r= r=咒MGU(x;￡)(因?yàn)閘imr=r)且注意到r的分kMJ+10qkMJ+q0 kT800 0子和分母是互質(zhì)的，這時f(r)=q0k\m〕+q0>M，即fG)在UG。；^)內(nèi)無界.例1?13若數(shù)集A有上界，但無最大數(shù)，證明在A中必能找到嚴(yán)格單調(diào)增加的數(shù)列｛x｝使得limx=supA?n nsn證明：根據(jù)確界原理，supA存在，記a=supA。由己知aWA，由上確界的定義，e=1>0,3xgA，使得a>x>a-1，對￡=上>0，必存在xgA，使得11 1 22 2rara>x>maxa-—I捉1〔一般地，對￡=->0(n=1,2,...)存在xgA，使得，易知這樣選取的數(shù)列匕｝即滿足要求-n=1，存在G>0，當(dāng)|x|>G時，恒有|f(x)<1，=1，存在G>0，當(dāng)|x|>G時，恒有|f(x)<1，又f(x)證明:因limx3e-x3=0所以exs在LG,G］上連續(xù)，從而有界，即存在M>0，使當(dāng)XgLG,G］時，有|f(x)<M，取K=max1,M］，則對VxG(-8,+8)，恒有If(x)<K，即f在(-8,+8)上有界.例1?15設(shè)函數(shù)fG)在偵b］上單調(diào)遞增(未必連續(xù))，若f(a)>a,f(b)<b，則必存在x0gla,b］，使得f10)=x0.證明：若了f(a)=a或f(b)=b，則問題已經(jīng)得證，不妨設(shè)f(a)<a,f(b)<b.作直線L:y=x，則點(diǎn)(a,f(a))在L的上方，而點(diǎn)(b,f(b))在L的下方.取c=色羅考查(c,f^c))點(diǎn)，若在L上，則問題得證；否則若(c,f^c))在L的上方，就記c,b］=la1,bjnn n+1n+1 nn②