世界頂級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題

世界頂級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題世界頂級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題是高難度的，需要考生在數(shù)學(xué)知識(shí)、邏輯思維和解題技巧上都有較高的水平。以下是幾個(gè)典型的世界頂級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題。

1.IMO（國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽）2019題目選段

問題1題干：給定平面上的$n$個(gè)不同點(diǎn)$(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)$，它們的任意三點(diǎn)不共線。設(shè)$f(n)$是平面上所有滿足以下兩個(gè)條件的三角形數(shù)量：它們的三個(gè)頂點(diǎn)都是給定的$n$個(gè)點(diǎn)中的某個(gè)點(diǎn)，它們的外心不在這$n$個(gè)點(diǎn)中。證明對(duì)于所有的正整數(shù)$n$，都有$f(n)>2^n$。

解題思路：根據(jù)題目給出的條件，可以使用計(jì)數(shù)原理來(lái)求解。首先考慮選擇三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形的方案數(shù)，可以得到$C_{n}^{3}$種。然后，考慮三角形的外心位置，可以得到運(yùn)用不等式$f(n)>\frac12C_{n}^{3}-3C_{n}^{4}+\cdots>2^n+\frac12n-2$來(lái)證明。

2.IPhO（國(guó)際物理奧林匹克競(jìng)賽）2019題目選段

問題2題干：在靜電學(xué)情況下，考慮幾個(gè)導(dǎo)體和一個(gè)靜止點(diǎn)電荷。證明在任意規(guī)則排列的$n$個(gè)導(dǎo)體和一靜止電荷的組合中，產(chǎn)生量最大的導(dǎo)體的幾何中心都在該組合的中心點(diǎn)上。

解題思路：考慮符號(hào)化方法，讓一個(gè)隨機(jī)靜電涂層的點(diǎn)電荷作為表述，并使用分割的方法解決該問題。在碰觸界面上將整個(gè)組合分割為$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$個(gè)小組，然后對(duì)每個(gè)小組進(jìn)行結(jié)論識(shí)別。根據(jù)最小化能量的性質(zhì)，可以得出解決這個(gè)問題的提示。

3.IChO（國(guó)際化學(xué)奧林匹克競(jìng)賽）2019題目選段

問題1題干：給定四種組元素$A,B,C$和$D$的標(biāo)準(zhǔn)自由能$\DeltaG_{\rmf}^{\rmo}(A),\DeltaG_{\rmf}^{\rmo}(B),\DeltaG_{\rmf}^{\rmo}(C)$和$\DeltaG_{\rmf}^{\rmo}(D)$。已知反應(yīng)$A+C\rightarrowB+D$的標(biāo)準(zhǔn)自由能變化量$\DeltaG_{\rmr}^{\rmo}$，要求證明反應(yīng)的平衡常數(shù)$K_{\rmc}=\frac{[B]\cdot[D]}{[A]\cdot[C]}$滿足：

$$

\frac{K_{\rmc}^2}{(1-K_{\rmc})^5}=\frac{{\rme}^{(5\DeltaG_{\rmr}^{\rmo}-2\Delta_G{\rmf}^{\rmo}(A)-2\Delta_G{\rmf}^{\rmo}(C))/RT}}{{\rme}^{(2\Delta_G{\rmf}^{\rmo}(B)+2\Delta_G{\rmf}^{\rmo}(D))/RT}}

$$

解題思路：該題目難度較高，需要運(yùn)用化學(xué)熱力學(xué)方面的知識(shí)來(lái)解決。首先注意到，膜電位、離子摩爾比、熱力學(xué)因素等都必須考慮到，才能獲得具體的解決方案。然后，運(yùn)用合適的化學(xué)方程及相關(guān)化學(xué)量的定義，將其合并到方程式中，并運(yùn)用邏輯推斷以及自相異構(gòu)物的性質(zhì)，即可獲得結(jié)論。最后，使用數(shù)學(xué)技巧將方程式轉(zhuǎn)化為相等的形式，即得到了問題的解決方案。

總之，世界頂級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的難度較高，需要考生在數(shù)學(xué)知識(shí)