結構力學第四章

●§4-1.結構位移計算目的●§4-2.結構的外力虛功和虛變形功§4-3.虛功原理§4-4.單位荷載法§4-5.圖乘法及其應用§4-6.其他外因引起的位移計算§4-7.互等定理第四章結構的位移計算DisplacementofDeterminateStructures§4-1.結構位移計算目的一、結構的位移(DisplacementofStructures)AFP線位移，角位移，相對線位移、角位移等統(tǒng)稱廣義位移線位移角位移相對線位移CDFP相對角位移制造誤差等鐵路工程技術規(guī)范規(guī)定:

二、計算位移的目的引起結構位移的原因1、剛度要求如：荷載、溫度改變

T、支座移動c、在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。3、理想聯(lián)結(IdealConstraint)。三、本章位移計算的假定

(2)超靜定、動力和穩(wěn)定計算(3）施工要求疊加原理適用（principleofsuperposition)1、線彈性(LinearElastic),2、小變形(SmallDeformation),§4-2.結構的外力虛功和虛變形功一、功(Work)、實功(RealWork)和虛功(VirtualWork)兩種狀態(tài)力狀態(tài)位移狀態(tài)FPFP/2FP/2（虛）力狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）無關（虛）位移狀態(tài)q注意：（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應滿足變形協(xié)調(diào)條件；力狀態(tài)應滿足平衡條件。（1）屬同一體系；一些基本概念：實功：廣義力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功功：力×力方向位移之總和廣義力：功的表達式中，與廣義位移對應的項功：廣義力×廣義位移之總和虛功：廣義力與廣義位移無關時所作的功W=FP×Δ/2W=FP1×Δ11/2orW=FP2×Δ22/2W=FP1×Δ12orW=FP2×Δ21變力功微段拉伸微段剪切微段彎曲平面桿系結構k狀態(tài)微段外力、m狀態(tài)的變形為整個平面桿系結構，結構的虛變形功為微段受力二、結構的虛變形功Ude

=Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds§4-3.虛功原理原理的表述：任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功Wex，恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和Ude。也即恒有如下虛功方程成立一、變形體的虛功原理Wex=Ude

任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意一個虛位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功Wex,恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和Ude。變形體虛功原理的證明:1.利用變形連續(xù)性條件計算所有微段的外力虛功之和Wex微段外力分為兩部分體系外力相互作用力微段外力功分為兩部分體系外力功dWe相互作用力功dWn微段外力功dW=dWe+dWn所有微段的外力功之和:Wex

=∫dWe+∫dWn=∫dWe=δWe2.利用平衡條件計算所有微段的外力虛功之和Ude微段外力功分為兩部分在剛體位移上的功dWg在變形位移上的功dWi微段外力功dW=dWg+dWi所有微段的外力功之和:Ude

=∫dWi=δWi微段位移分為兩部分剛體位移變形位移故有Wex

=Ude成立。幾個問題:1.虛功原理里存在兩個狀態(tài)：力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)條件。2.原理的證明表明:原理適用于任何(線性和非線性)的變形體，適用于任何結構。3.原理可有兩種應用：實際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，將平衡問題化為幾何問題來求解。實際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設的平衡力狀態(tài)，將位移分析化為平衡問題來求解。Wex=Ude=Σ∫[FNkδεm+FQkδγm+Mkδθm]ds二、虛功原理的兩個運用

1、虛功原理用于虛設的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)與實際的平衡力狀態(tài)之間。例.求A端的支座反力(ReactionatSupport)。解：去掉A端約束并代以反力X，構造相應的虛位移狀態(tài).ABaC(a)bPX(b)P(c)直線待分析平衡的力狀態(tài)虛設協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)由外力虛功總和為零，即：將代入得:通常取單位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1)對靜定結構，這里實際用的是剛體虛位移原理，實質(zhì)上是實際受力狀態(tài)的平衡方程(2)虛位移與實際力狀態(tài)無關,故可設(3)求解時關鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關系。(4)用幾何法來解靜力平衡問題例.求A端支座發(fā)生豎向位移c時引起C點的豎向位移.

2、虛功原理用于虛設的平衡力狀態(tài)與實際的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)之間。解：首先構造出相應的虛設力狀態(tài)。即，在擬求位移之點（C點）沿擬求位移方向（豎向）設置單位荷載。ABaCbc1ABC由求得：解得：這是單位荷載法

(Dummy-UnitLoadMethod)它是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，故也稱為Maxwell-MohrMethod(1)所建立的虛功方程,實質(zhì)上是幾何方程。(2)虛設的力狀態(tài)與實際位移狀態(tài)無關，故可設單位廣義力P=1(3)求解時關鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關系。(4)是用靜力平衡法來解幾何問題。虛功方程為：單位位移法的虛功方程平衡方程單位荷載法的虛功方程幾何方程第一種應用一些文獻稱為“虛位移原理”，而將第二種應用稱為“虛力原理”。

虛位移原理:一個力系平衡的充分必要條件是:對任意協(xié)調(diào)位移,虛功方程成立.虛力原理:一個位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是:對任意平衡力系,虛功方程成立”?！?-4.單位荷載法一.單位荷載法求k點豎向位移.由變形體虛功方程:變形協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)(m)平衡的力狀態(tài)(k)Wex=Ude適用于各種桿件體系(線性,非線性).求k點豎向位移.適用于線彈性直桿體系,對于由線彈性直桿組成的結構，有：荷載作用下，m換成p注：無支座移動例杜1：騙已知丸圖示澡粱的受E、G,求A喜點的略豎向吧位移礎。解：似構造石虛設扶單位綿力狀蹄態(tài).l對于虹細長臂桿,拔剪切斤變形對位時移的禾貢獻量與彎卻曲變形相冤比可伐略去疏不計匹.位移獸方向叛是如何確治定的榨?例質(zhì)2：臟求曲掀梁B點的怖豎向障位移佛(EI、EA、GA已知嫁)ROBAP解：牽構造犯虛設岡的力拾狀態(tài)禿如圖俗示P=1RθPRθ小曲胃率桿順可利找用直件桿公巨式近似計猜算;放軸向仙變形需,剪稻切變兆形對頌位移的頑影響冊可略亡去不魔計在桿單件數(shù)新量多源的情附?jīng)r下頂,不丈方便石.筆下面岸介紹儀計算功位移距的圖類乘法欠.4-吐5圖乘意法及惰其應馬用(G鞠ra鉤ph仍ic成M李ul芽ti封pl湯ic銷at狀io湊n山Me棚th荷od施a深nd荷i肺ts緒A晚pp兄li趙ca旋ti島on谷s)剛架騎與梁舍的位州移計執(zhí)算公墾式為趟：一、奏圖乘揮法(對藝于等截面筆桿)(對豪于直紐奉桿)圖乘酬法求巡壽位移將公式廊為:圖乘席法的適用輛條件肝是什么區(qū)?圖乘麗法是發(fā)Ve路re憲sh墓ag固in悼于19冤25華年提未出的洪，他暮當時為莫帥斯科悉鐵路艱運輸宵學院的學生。例.堅試皇求圖床示梁毛B端鐮轉角駕.解:MPMk為什討么彎撞矩圖桑在桿件蒙同側旁圖乘言結果為軌正?例.揭試漫求圖瞧示結茫構B固點豎弦向位眾移.解:MPMk二、控幾種殺常見菜圖形報的面虜積和姐形心機位置睡的確壟定方于法二次拋物線h圖（

）圖BAq例:求圖示梁(EI=常數(shù),跨長為l)B截面轉角解:三、諸圖形喬分解求MPMi三、忠圖形弱分解求MPMi當兩婆個圖身形均為直煙線圖坦形時乒,取秀那個圖燦形的極面積馳均可毫.MP三、償圖形婦分解求Mi取yc的圖嬸形必葬須是直線舟,不悟能是定曲線或折沸線.能用Mi圖面助積乘MP圖豎扛標嗎餐?三、垮圖形跪分解求MPMi三、派圖形尚分解求MPMi三、兵圖形丸分解求C謠截面勾豎向死位移MPMi三、夫圖乘鴿法小攪結1.妨圖熊乘法值的應鑼用條子件：（1帶）等藏截面矩直桿腥，EI為常面數(shù)；（2剛）兩之個M圖中駝應有店一個燙是直快線；（3）應取自直線圖中。2.若與在桿件的同側，取正值；反之，取負值。3.灑如希圖形僅較復哪雜，冬可分砍解為織簡單陽圖形金.例1.已知EI為常數(shù)，求C、D兩點相對水平位移。三、幼應用至舉例lqhqMP解：腎作荷臂載彎委矩圖僵和單沒位荷開載彎攤矩圖例2.已知EI為常數(shù)，求鉸C兩側截面相對轉角。三、稻應用捕舉例解：作荷嘉載彎午矩圖虜和單帽位荷蹈載彎怎矩圖lqllqMP例固3.魔已功知EI為常休數(shù)，惡求A鑰點豎欲向位賴移滑。三、吧應用踢舉例解：財作荷筐載彎艇矩圖銜和單集位荷閥載彎扣矩圖qlllqMP例吼4.護圖魂示梁EI為常丈數(shù)，鍵求C點豎歉向位蘇移。三、煤應用飲舉例l/2ql/2MP例乳4.逃圖熊示梁EI為常麗數(shù)，赤求C點豎豈向位叫移鍋。三、禿應用逐舉例l/2ql/2MP例夜4.白圖命示梁EI為常優(yōu)數(shù)，像求C點豎幣向位尋移臟。l/2ql/2MP注：寨C處梁剪力茫不為巡壽零。lPlPl圖示果結構EI為常熱數(shù)，匆求AB兩點枯(1遠)相嚴對豎飲向位移,幻玉(2還)相撕對水寬平位碑移,菜(3草)相地對轉木角棟。MP練擦習1111對稱堅彎矩練圖反對異稱彎岔矩圖對稱殼結構鑒的對趁稱彎鄉(xiāng)豐矩圖稍與其反亦對稱泉彎矩窯圖圖誘乘,拖結果為零貪.11作變司形草她圖PP11繪制尤變形泊圖時素，應獸根據(jù)是彎矩延圖判口斷桿童件的塔凹凸先方向置，注鋤意反批彎點售的利餐用。達如：求B當點水礦平位公移。練習解：作荷完載彎公矩圖友和單司位荷煩載彎崗矩圖MPll注意伍:各泳桿剛援度可能酸不同

已知EI為常數(shù)，求C、D兩點相對水平位移,并畫出變形圖。MP解：煙作荷鋪載彎