基礎統(tǒng)計復習資料

基礎統(tǒng)計復習資料概論統(tǒng)計學中慣用基本概念總體X有X1,X2,X3,…,XN個單元隨機抽取n個組成樣本單元：x1,x2,x3,…,xn則：N——總體容量n——樣本容量統(tǒng)計資料整理一、數(shù)據(jù)分組、整理寫出最大值Xmax、最小值Xmin求出極差d=Xmax－Xmin分組，算出組距、組中值據(jù)樣本單元數(shù)，求出分組數(shù)經(jīng)驗值為：樣本單元數(shù)40-5050-100100-200200-500＞500分組數(shù)6-87-109-1212-1717-20上限：每一組數(shù)據(jù)中最大變量值下限：每一組數(shù)據(jù)中最小變量值組距=極差÷分組數(shù)=上限－下限組中值=（上限+下限）÷2計算頻數(shù)和頻率頻數(shù)=各組分配統(tǒng)計單元數(shù)頻率=各組單元數(shù)占總體單元數(shù)比重=頻數(shù)÷各單元數(shù)之和（n）作頻率分布圖例題例：設以不重復抽樣方式從1600塊面積為0.4公頃林地所組成總體中等概地抽取50塊林地組成樣本，樣本各單元蓄積量值為：1.5010.34.34.1711.18.5011.8.58.811.812.5312.32.78.73.5.17.4105.411.31.6010.75.4.77.64.97.611.24.2.5.32.9605.73.16.77.79.62.94.216.65.84.66.4試進行數(shù)據(jù)整理解：1.Xmax=16.6Xmin=02.求出d=16.6－0=16.63.分組，計算組距、組中值分為10組，組距=16.6÷10=1.66≈1.74.計算頻數(shù)（fi）、頻率分組組中值劃正（上限排外）頻數(shù)fi頻率0–1.70.85正正一110.221.7–3.42.55正50.13.4–5.14.25正┬70.145.1–6.85.95正┬70.146.8–8.57.65正50.18.5–10.29.35正50.110.2–11.911.05正┬70.1411.9–13.612.75┬20.0413.6–15.314.450015.3–17.016.15一10.02共計5014.作頻率分布圖靜態(tài)分析指標一、平均指標計算算術平均數(shù)X=(x1+x2+x3+…+xn)÷n=(∑xi)÷n加權平均數(shù)X=(x1f1+x2f2+x3f3+…+xnfn)÷n=(∑xifi)÷(∑fi)眾數(shù)=總體中出現(xiàn)次數(shù)最多或最普遍標志值中位數(shù)Me當n為偶數(shù)時：中位數(shù)=(Xn/2+Xn/2+1)÷2當n為奇數(shù)時：中位數(shù)=X(n+1)/2二、標志變異指標計算極差d=Xmax－Xmin總體方差σ2=[∑（Xi－X）2]÷n=（∑Xi2）÷n－X2樣本方差S2=[∑（Xi－X）2]÷(n－1)總體標準差σ=√σ2樣本標準差S=√S2離散系數(shù)（變異系數(shù)）V=σ÷X三、例題測量10株苗木高度（單位：cm），得以下數(shù)據(jù)：52.7，50，55.4，61.2，55.4，49.5，50，55.4，55.4，61.2求這10株苗木算術平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差、標準差和變異系數(shù)。解：把數(shù)據(jù)整理為：數(shù)據(jù)52.75055.461.249.5出現(xiàn)次數(shù)（頻數(shù)）12421則：算術平均數(shù)=（52.7×1＋50×2＋55.4×4＋61.2×2＋49.5×1）÷10=54.62（cm）眾數(shù)=55.4中位數(shù)=（X5＋X6）÷2=(55.4＋49.5)÷2=52.45極差=61.2－49.5=11.7方差=16.1616標準差=4.0201變異系數(shù)=4.0201÷54.62=0.0736設有以下在胸徑標志樣本分組資料，試計算其平均胸徑、胸徑方差、標準差、極差、中位數(shù)、變異系數(shù)。胸徑分組0-11-22-33-44-55-66-77-88-99-10∑株數(shù)311118231613852100組中值0.51.52.53.54.55.56.57.58.59.5解：平均胸徑=（0.5×3＋1.5×1＋2.5×11＋3.5×18＋4.5×23＋5.5×16＋6.5×13＋7.5×8＋8.5×5＋9.5×2）÷100=4.91方差=3.7219標準差=1.9292極差=9中位數(shù)=4.5變異系數(shù)=0.3929抽樣推斷抽樣推斷包含了隨機抽樣、統(tǒng)計估量和假設檢驗三方面內(nèi)容。一、關于概率論知識事件隨機事件：在相同條件下每次試驗可能出現(xiàn)，可能不出現(xiàn)事件。必定事件：每次試驗中必定出現(xiàn)事件。不可能事件：每次試驗中不可能出現(xiàn)事件。概率在大量重復試驗中，事件A發(fā)生頻率穩(wěn)定地在固定常數(shù)p附近擺動，則稱p為事件A概率，表示為P(A)=p。不可能事件概率為0，必定事件概率為1。隨機變量數(shù)學期望與方差隨機變量數(shù)學期望E(X)=隨機變量以概率為權數(shù)加權平均數(shù)=X隨機變量方差D(X)=σ2正態(tài)分布（常態(tài)分布）隨機變量X在其平均值附近概率分配較多，而遠離平均值概率分配極少最常見分布規(guī)律。記為：X~N(μ,σ2)，其概率密度分布為:f（X）=EXP[－(X－X)2÷(2σ2)]÷(σ√2π)E(X)=μ,D(X)=σ2標準正態(tài)分布當E(X)=0,D(X)=1時正態(tài)分布，記為：N（0，1）二、慣用統(tǒng)計量無偏估量、漸近無偏估量無偏估量：樣本某統(tǒng)計量數(shù)學期望等于其估量總體參數(shù)，則這個估量統(tǒng)計量就叫做該總體參數(shù)無偏估量。樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)無偏估量，即E（x）=X。樣本方差是總體方差漸近無偏估量，即E（S2）=σ2。三、估量值誤差限和可靠性若統(tǒng)計量X為未知參數(shù)x估量，則：絕對誤差Δ=|X－x|相對誤差Δ＇=Δ÷X估量精度A=1－Δ＇可靠性1－α，其中α為危險率四、求點估量（定值估量）與區(qū)間估量步驟點估量：求出平均數(shù)X、標準差S計算絕對誤差Δ下結論：以1－α可靠性求出平均值為X，絕對誤差為Δ區(qū)間估量：求出平均數(shù)X、標準差S計算絕對誤差Δ，置信區(qū)間[X－Δ,X＋Δ]下結論：以1－α可靠性求出估量值為X，絕對誤差為Δ，置信區(qū)間為[X－Δ,X＋Δ]五、總體平均數(shù)μ抽樣估量條件：正態(tài)：總體均服從（或近似服從）正態(tài)分布獨立：總體是相互獨立等方差：各總體方差相等方法：重復抽樣不重復抽樣大樣本（n≥50或σ2已知）求平均數(shù)X、標準差S計算絕對誤差Δ，置信區(qū)間Δ=uα×S÷√(n-1)3.結論：以1－α可靠性求出估量值為X，絕對誤差為Δ，置信區(qū)間為[X－Δ,X＋Δ]1.求平均數(shù)X、標準差S2.計算絕對誤差Δ，置信區(qū)間Δ=uα×S×√[(N–n)/N]÷√(n-1)3.結論：以1－α可靠性求出估量值為X，絕對誤差為Δ，置信區(qū)間為[X－Δ,X＋Δ]小樣本（n＜50或σ未知1.求平均數(shù)X、標準差S2.計算絕對誤差Δ，置信區(qū)間Δ=tα×S÷√(n-1)3.結論：以1－α可靠性求出估量值為X，絕對誤差為Δ，置信區(qū)間為[X－Δ,X＋Δ]注：S2=樣本方差=（n-1）×σ2÷n(重復抽樣情況下)=[N×(n-1)]×σ2÷[n×(N-1)](不重復抽樣情況下)σ2=總體方差uα=查附表2：標準正態(tài)概率雙側臨界值表。如α=0.05時，u0.5=1.96；α=0.1時，u0.01=1.64tα=查附表3：t分布臨界值表。如α=0.05，n=5時,t0.05（5-1）=t0.05（4）=2.776例1：用重復抽樣方法測得30株馬尾松人工林胸徑數(shù)據(jù)以下：13.611.210.28.59137.18.214.511.78.75.110.511.510.911.110.212.67.210.59.49.78.712.210.21210.810.39.512.5試以0.95置信度求林分平均胸徑所在范圍解：1.求平均數(shù)X、標準差SX=10.35S=2.012.查附表3得t0.05（30-1）=t0.05（29）=2.0453.計算絕對誤差Δ，置信區(qū)間Δ=tα×S÷√(n-1)=2.045×2.01÷√29=0.76X－Δ=9.59X＋Δ=11.124.下結論：以0.95可靠性求出估量值為10.35，絕對誤差為0.76，置信區(qū)間為[9.59，11.12]六、總體頻率抽樣估量重復抽樣不重復抽樣大樣本（n≥50）求頻率pp=樣本具備某特點單元數(shù)÷樣本總單元數(shù)=m÷n查附表2得uα求絕對誤差限Δ、置信區(qū)間Δ=uα×√[p×(1-p)÷n]4.下結論：以1－α可靠性求出總體頻率估量值為p，絕對誤差為Δ，置信區(qū)間為[p－Δ,p＋Δ]1.求頻率pp=具備某特點單元數(shù)÷總單元數(shù)=m÷n2.查附表2得uα3.求絕對誤差限Δ、置信區(qū)間Δ=uα×√[p×(1-p)×(N-n)÷n÷（N-1）]4.下結論：以1－α可靠性求出總體頻率估量值為p，絕對誤差為Δ，置信區(qū)間為[p－Δ,p＋Δ]例：為估量某針闊混交林中針葉林地面積所占百分比，用重復抽樣方式抽取了100個點進行觀察。觀察結果有68個點為針葉林。試以0.95可靠性估量該混交林中針葉林面積所占百分比置信區(qū)間解：1.求頻率pp=68÷100=0.681－p=0.322.查附表2得u0.05=1.963.求絕對誤差限Δ、置信區(qū)間Δ=u0.05×√[0.68×0.32÷100]=0.09p－Δ=0.59,p＋Δ=0.774.下結論：以0.95可靠性求出總體頻率估量值為0.68，絕對誤差為0.09，置信區(qū)間為[0.59，0.77]第八章顯著性檢驗（統(tǒng)計假設檢驗）總體平均數(shù)μ顯著性檢驗重復抽樣不重復抽樣大樣本（n≥50或σ2已知）假設：H0：μ=μ0，即總體平均值無顯著差異H1：μ≠μ0，即總體平均值有顯著差異計算統(tǒng)計量U=（X－μ）×√n÷σ=（X－μ）×√(n-1)÷S3.查附表2得uα下結論：若|U|＞uα則拒絕H0，即總體平均值有顯著差異若|U|＜uα則接收H0，即總體平均值無顯著差異1.假設：H0：μ=μ0，即總體平均值無顯著差異H1：μ≠μ0，總體平均值有顯著差異2.計算統(tǒng)計量U=（X－μ）×√[N(n-1)]÷σ÷√(N-n)=（X－μ）×√[N(n-1)]÷S÷√（N-n）查附表2得uα下結論：若|U|＞uα則拒絕H0，即總體平均值有顯著差異若|U|＜uα則接收H0，即總體平均值無顯著差異小樣本（n＜50假設：H0：μ=μ0，即總體平均值無顯著差異H1：μ≠μ0，即總體平均值有顯著差異計算統(tǒng)計量T=（X－μ）×√(n-1)÷S查附表3得tα(n-1)下結論：若|T|＞tα(n-1)則拒絕H0，即總體平均值有顯著差異若|T|＜tα(n-1)則接收H0，即總體平均值無顯著差異注：X=計算出來樣本平均數(shù)μ=題目給出總體平均數(shù)σ=題目給出總體標準差S=計算出來樣本標準差總體成數(shù)（頻率）顯著性檢驗大樣本：n≥50或σ2已知1.假設：H0：p=p0，即總體頻率無顯著差異H1：總體頻率有顯著差異2.計算統(tǒng)計量U=(p－p0)×√n÷√[p0(1-p0)]=(m－n×p0)÷√[n×p0(1-p0)]其中：m=具備某特點樣本個數(shù)n=樣本總容量p0=題目給出總體成數(shù)（頻率）p=m÷n查附表2得uα下結論：若|U|＞uα則總體頻率有顯著差異若|U|＜uα則總體頻率無顯著差異兩總體平均數(shù)顯著性檢驗1.假設：H0：μ1=μ2，即兩總體平均數(shù)無顯著差異H1：兩總體平均數(shù)有顯著差異2.計算統(tǒng)計量大樣本：U=(X1－X2)÷σ÷√（1/n1＋1/n2）=(X1－X2)×√(n1＋n2－2)÷√[(n1S12＋n2S22)×（1/n1＋1/n2）]小樣本：T=(X1－X2)×√(n1＋n2－2)÷√[(n1S12＋n2S22)×（1/n1＋1/n2）]其中：X1、X2分別為兩個樣本平均數(shù)n1、n2分別是兩個樣本容量S1、S2分別是兩個樣本標準差3.查附表2或3得uα或tα(n1＋n2－2)4.下結論：大樣本：若|U|＞uα則兩總體平均數(shù)有顯著差異若|U|＜uα則兩總體平均數(shù)無顯著差異小樣本：若|T|＞tα(n1＋n2－2)則兩總體平均值有顯著差異若|T|＜tα(n1＋n2－2)則兩總體平均值無顯著差異兩總體頻率（成數(shù)）顯著性檢驗1.假設：H0：p1=p2，即兩總體頻率無顯著差異H1：兩總體頻率有顯著差異2.計算統(tǒng)計量U=(p1－p2)÷√[P(1-P)(1/n1＋1/n2)]其中：p1、p2分別為兩樣本頻率n1、n2分別為兩樣本容量m1、m2分別為兩樣本具備某種特征個數(shù)p1=m1÷n1p2=m2÷n2P=（m1＋m2）÷(n1＋n2)3.查附表2得uα4.下結論：若|U|＞uα則兩總體頻率有顯著差異若|U|＜uα則兩總體頻率無顯著差異兩個總體方差顯著性檢驗1.假設：H0：兩個總體方差無顯著差異H1：兩個總體方差有顯著差異2.計算統(tǒng)計量F=n1×S12×(n2－1)÷n2÷S22÷(n1－1)其中：n1、n2分別是抽自兩個正態(tài)總體樣本容量S12、S22分別是兩個樣本方差，且S12＞S223.查附表5(F分布臨界值表)得Fα(n1－1,n2－1)4.下結論：若F＞Fα(n1－1,n2－1)則兩個總體方差有顯著差異若F＜Fα(n1－1,n2－1)則兩個總體方差無顯著差異例題：例1：已知某煉鐵廠鐵水含量在正常情況下有正態(tài)分布N(4.55,0.1082)?，F(xiàn)在測了五爐鐵水，其含碳量分別為：4.28，4.4，4.42，4.35，4.37。問：若標準差不改變，總體平均值有沒有改變？（α=0.05）解：1.假設：H0：總體平均值無顯著差異H1：總體平均值有顯著差異2.計算統(tǒng)計量X=4.364μ=4.55σ2=0.1082U=(4.364－4.55)×√5÷0.108=-3.85103.查附表2得u0.05=1.964.下結論：因為|U|＞1.96，所以總體平均值有顯著差異。例2：某廠生產(chǎn)樂器用合金弦線，其抗拉強度服從均值為10560（千克/厘米2）正態(tài)分布?，F(xiàn)從一批產(chǎn)品中抽取10根，測得其抗拉強度為：10512，10623，10668，10554，10776，10707，10557，10581，10666，10670。問：這批產(chǎn)品抗拉強度有沒有顯著改變？（α=0.05）解：1.假設：H0：總體平均值無顯著差異H1：總體平均值有顯著差異2.計算統(tǒng)計量X=10631.4千克/厘米2μ=10560千克/厘米2S=76.8404千克/厘米2T=（10631.4－10560）×√（10－1）÷76.8404=2.78763.查附表3得t0..05（10－1）=2.2624.下結論：因為|T|＞2.262，所以總體平均值有顯著差異，即這批產(chǎn)品抗拉強度有顯著改變。例3：林場與4個管理區(qū)訂協(xié)議，造林成活率達成85%時認為達成要求，然后把4個管理區(qū)造林，用重復抽樣方式分別各調(diào)查200株，其中第一管理區(qū)成活180株；第二管理區(qū)成活185株；第三管理區(qū)成活168株；第四管理區(qū)成活170株。這4個管理區(qū)造林成活率是否達標？（α=0.05）解：1.假設：H0：總體頻率無顯著差異2.計算統(tǒng)計量p1=180÷200=0.9p2=185÷200=0.925p3=168÷200=0.84p4=170÷200=0.85U1=(0.9－0.85)×√200÷√(0.85×0.15)=1.9803U2=(0.925－0.85)×√200÷√(0.85×0.15)=2.9704U3=(0.84－0.85)×√200÷√(0.85×0.15)=-0.3961U4=(0.85－0.85)×√200÷√(0.85×0.15)=03.查附表2得u0.05=1.964.下結論：因為|U1|＞1.96，|U2|＞1.96，|U3|＜1.96，|U4|＜1.96，所以，只有第一、二管理區(qū)造林成活率達成要求。例4：兩臺機床加工同一個圓筒，抽樣測量產(chǎn)品內(nèi)徑，結果以下：第一臺機床：n1=100,X1=33.75,S1=0.1第二臺機床：n2=100,X2=34.15,S2=0.15試檢驗兩臺機床所加工圓筒內(nèi)徑均值有沒有顯著差異（α=0.05）解：1.假設：H0：兩臺機床所加工圓筒內(nèi)徑無顯著差異2.計算統(tǒng)計量U=(33.75－34.15)×√(100＋100－2)÷√[(100×0.12＋100×0.152)×（1/100＋1/100）]=-22.07683.查附表2得u0.05=1.964.下結論：因為|U|＞1.96，所以兩臺機床所加工圓筒內(nèi)徑有顯著差異。例5：為了估量兩個工廠所生產(chǎn)產(chǎn)品質(zhì)量，取出樣品n1=200和n2=300件產(chǎn)品，在這兩個樣品中，分別出現(xiàn)m1=20和m2=15件廢品。在顯著水平0.05下，檢驗關于兩個工廠生產(chǎn)廢品率相等零假設：H0：p1=p2,備擇假設H1：p1≠p2解：1.假設：H0：p1=p2H1：p1≠p22.計算統(tǒng)計量p1=20÷200=0.1p2=15÷300=0.05P=(20＋15)÷(200＋300)=0.071－P=0.93U=(0.1－0.05)÷√[0.07×0.93×(1/200＋1/300)]=2.14673.查附表2得u0.05=1.964.下結論：因為|U|＞1.96，所以兩個工廠生產(chǎn)廢品率有顯著差異。例6：依照抽自正態(tài)總體X1和X2容量n1=9和n2=6兩個獨立樣本，求得樣本方差S12=14.4和S22=20.5，在顯著水平0.1下，檢驗關于總體方差相等零假設H0：σ12=σ22解：1.假設：H0：σ12=σ22H1：σ12≠σ222.計算統(tǒng)計量∵S12＜S22∴F=6×20.5×8÷9÷14.4÷5=1.51853.查附表5得F0.05(5,8)=3.694.下結論：因為|F|＞3.69,所以，在顯著水平0.1下，兩總體方差相等。第九章相關與回歸一、一元線性回歸方程建立x=自變量y=因變量X=(∑xi)÷nY=(∑yi)÷nLxx=(∑xi2)－(∑xi)2÷n=n×Sx2Lyy=(∑yi2)－(∑yi)2÷n=n×Sy2Lxy=∑xiyi－(∑xi)×(∑yi)÷n一元線性回歸方程為：y=a＋bx其中：b=Lxy÷Lxxa=Y－bX二、樣本相關系數(shù)樣本相關系數(shù)r=Lxy÷√(L