插值與擬合方法

插值與擬合方法第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六

作為一個模型，它要與模型的實際背景接軌，而數(shù)據(jù)資料就是數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實問題接軌的重要途徑和手段。因此在建模過程中處理好數(shù)據(jù)資料和模型的關(guān)系是非常重要的。在建模的過程中數(shù)據(jù)資料以下面幾種方式對數(shù)學(xué)模型起作用：（1）在建模過程中，特別是在建模的初期數(shù)據(jù)資料能夠?qū)λ鶚?gòu)架的模型給出提示。有些模型（我們稱之為經(jīng)驗?zāi)Ｐ停﹦t是完全建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上的。（2）數(shù)據(jù)可以用來對模型的參數(shù)給出估計。（3）數(shù)據(jù)資料還可以用于檢驗?zāi)Ｐ偷男Ч＝Ｖ械臄?shù)據(jù)資料第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六

插值與數(shù)據(jù)擬合就是通過一些已知數(shù)據(jù)去確定某類函數(shù)的參數(shù)或?qū)ふ夷硞€近似函數(shù)，使所得的函數(shù)與已知數(shù)據(jù)具有較高的精度，并且能夠使用數(shù)學(xué)分析的工具分析數(shù)據(jù)所反映的對象的性質(zhì)．幾種常用的方法：分段線性插值：將各數(shù)據(jù)點用折線連接起來多項式插值：求一個多項式通過所有數(shù)據(jù)點，可以假設(shè)出多項式的系數(shù)，最后通過求解方程得到每個系數(shù)樣條插值：分段多項式的光滑連接最小二乘擬合：求參數(shù)c，使得用含有c的函數(shù)f(x,c)對應(yīng)的殘差達(dá)到最小數(shù)據(jù)擬合與插值建模第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六

插值最初來源于天體計算——由若干觀測值（即節(jié)點）計算任意時刻星球的位置（即插值點和插值）——的需要。現(xiàn)在，雖然人們已很少需要用它從函數(shù)表計算函數(shù)值了，但是插值仍然在諸如機械加工等工程技術(shù)和數(shù)據(jù)處理等科學(xué)研究中有著許多直接的應(yīng)用，另一方面，插值又是數(shù)值微分、數(shù)值積分、常微分方程數(shù)值等數(shù)值計算的基礎(chǔ)。第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六

根據(jù)一組（二組）數(shù)據(jù)，即平面上的若干點，確定一個一元函數(shù)，即曲線，使這些節(jié)點與曲線總體來說盡量接近，這就是曲線擬合。函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法是完全不同的。第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)據(jù)插值擬合MATLAB命令多項式插值和擬合p=polyfit(x,y,k):

用k次多項式擬合向量數(shù)據(jù)(x,y)，返回多項式的降冪系數(shù)。當(dāng)k>n-2時，該命令實現(xiàn)多項式插值一元插值yi=interp1(x,y,xi)：根據(jù)數(shù)據(jù)(x,y)給出在xi的分段線性插值結(jié)果yiyi=interp1(x,y,xi,’spline’)：使用三次樣條插值yi=interp1(x,y,xi,’cubic’)：使用分段三次插值二元插值zi=interp2(x,y,z,xi,yi,’method’)：二維插值第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六在1-12的11小時內(nèi)，每隔1小時測量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計每隔1/10小時的溫度值。hours=1:12;temps=[589152529313022252724];h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:')%作圖xlabel(Hour’)；ylabel('DegreesCelsius’)插值引例1第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六某實驗對一根長10米的鋼軌進(jìn)行熱源的溫度傳播測試。用x表示測量點0:2.5:10(米)，用h表示測量時間0:30:60(秒)，用T表示測試所得各點的溫度(℃)。試用線性插值求出在一分鐘內(nèi)每隔20秒、鋼軌每隔1米處的溫度TI。

命令如下：

x=0:2.5:10;

h=[0:30:60]';

T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];

xi=[0:10];

hi=[0:20:60]';

TI=interp2(x,h,T,xi,hi)

mesh(x,h,T),hold,mesh(xi,hi,TI+100)

插值引例2第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六

有一只對溫度敏感的電阻，已經(jīng)測得了一組溫度T和電阻R數(shù)據(jù)。

現(xiàn)在想知道時的電阻多大。溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032擬合引例1第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六在直角坐標(biāo)系中把5個點（T，R）畫一下，看看電阻R和溫度T之間大致有什么關(guān)系（R與T大致呈直線關(guān)系），中學(xué)物理學(xué)過，金屬材料的電阻率與溫度成正比，從而確定R與T的關(guān)系應(yīng)該是

R=at+b其中a，b為待定常數(shù)。clearallx=[20.532.751.073.095.7];y=[7658268739421032];p=polyfit(x,y,1);xx=1:1:100;fori=1:100yy(i)=p(1)*xx(i)+p(2);endplot(x,y,'o',xx,yy,'-r')xlabel('溫度')ylabel('電阻')第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六

正是由于測量誤差的存在，由R=at+b表示的直線不可能通過全部5個點，所以，與插值曲線要通過全部節(jié)點不同，作一條盡量靠近所有的點的直線，求出a，b待定常數(shù)，由此計算t=的R就十分簡單了。第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六擬合引例2

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律c(t).

x=[0.250.511.523468];y=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];plot(x,y,'--o')c2cc10第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六算術(shù)坐標(biāo)系統(tǒng):就是普通的笛卡兒坐標(biāo)，橫縱的刻度都是是等距的對數(shù)坐標(biāo)：坐標(biāo)軸是按照相等的指數(shù)變化來增加的，（舉例來說：如果每1cm代表10的1次方增加，則坐標(biāo)軸刻度依次為1，10，100，1000，10000……）

半對數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)：只有一個坐標(biāo)軸是對數(shù)坐標(biāo)，另一個是普通算術(shù)坐標(biāo)。

半對數(shù)曲線:主要用于成對數(shù)或指數(shù)變化的數(shù)據(jù)的分析.如y=lnx(t),在算術(shù)坐標(biāo)系是曲線,而在半對數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)中為一直線,這樣便于對試驗數(shù)據(jù)的分析研究.

第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)作半對數(shù)坐標(biāo)系(semilogy)下的圖形第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六一室模型：將整個機體看作一個房室，稱中心室，室內(nèi)血藥濃度是均勻的。快速靜脈注射后，濃度立即上升；然后迅速下降。當(dāng)濃度太低時，達(dá)不到預(yù)期的治療效果；當(dāng)濃度太高，又可能導(dǎo)致藥物中毒或副作用太強。臨床上，每種藥物有一個最小有效濃度c1和一個最大有效濃度c2。設(shè)計給藥方案時，要使血藥濃度保持在c1~c2之間。本題設(shè)c1=10，c2=25(ug/ml).擬合實例1給藥方案—一種新藥用于臨床之前，必須設(shè)計給藥方案.藥物進(jìn)入機體后血液輸送到全身，在這個過程中不斷地被吸收、分布、代謝，最終排出體外，藥物在血液中的濃度，即單位體積血液中的藥物含量，稱為血藥濃度。第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六

在實驗方面,對某人用快速靜脈注射方式一次注入該藥物300mg后,在一定時刻t(小時)采集血藥,測得血藥濃度c(ug/ml)如下表:

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01

要設(shè)計給藥方案,必須知道給藥后血藥濃度隨時間變化的規(guī)律。從實驗和理論兩方面著手：第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六給藥方案

1.在快速靜脈注射的給藥方式下，研究血藥濃度（單位體積血液中的藥物含量）的變化規(guī)律。tc2cc10問題2.給定藥物的最小有效濃度和最大治療濃度，設(shè)計給藥方案：每次注射劑量多大；間隔時間多長。分析理論：用一室模型研究血藥濃度變化規(guī)律實驗：對血藥濃度數(shù)據(jù)作擬合，符合負(fù)指數(shù)變化規(guī)律第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六3.血液容積v,t=0注射劑量d,血藥濃度立即為d/v.2.藥物排除速率與血藥濃度成正比，比例系數(shù)k(>0)模型假設(shè)1.機體看作一個房室，室內(nèi)血藥濃度均勻——一室模型模型建立

在此，d=300mg，t及c（t）在某些點處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六用線性最小二乘擬合c(t)計算結(jié)果：d=300;t=[0.250.511.523468];c=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2))程序：第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六給藥方案設(shè)計cc2c10t設(shè)每次注射劑量D,間隔時間血藥濃度c(t)

應(yīng)c1c(t)c2初次劑量D0應(yīng)加大給藥方案記為：2、1、計算結(jié)果：給藥方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六故可制定給藥方案：即:

首次注射375mg，其余每次注射225mg，注射的間隔時間為4小時。第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六插值擬合實例1：城市供水量的預(yù)測問題實際問題與背景：

為了節(jié)約能源和水源，某供水公司需要根據(jù)日供水量記錄估計未來一時間段（未來一天或一周）的用水量，以便安排未來（該時間段）的生產(chǎn)調(diào)度計劃。現(xiàn)有某城市7年用水量的歷史記錄，記錄中給出了日期、每日用水量（噸/日）。如何充分地利用這些數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測2007年1月份城市的用水量，以制定相應(yīng)的供水計劃和生產(chǎn)調(diào)度計劃某城市7年日常用水量歷史記錄（萬噸/日）日期2000010120000102……2006123020061231日用水量122.1790128.2410……150.40168148.2064第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六2000-2006年1月城市的總用水量（萬噸/日）年份2000200120022003200420052006用水量4032．414186．02544296．98664374．8524435．23444505．42744517．6993利用這些數(shù)據(jù)，可以采用時間序列、灰色預(yù)測等方法建立數(shù)學(xué)模型來預(yù)測2007年1月份該城市的用水量。如果能建立該城市的日用水量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系，則用該函數(shù)來進(jìn)行預(yù)測非常方便。但是這一函數(shù)關(guān)系的解析表達(dá)式是沒辦法求出來的，那么能否根據(jù)歷史數(shù)據(jù)求出該函數(shù)的近似函數(shù)呢？根據(jù)未知函數(shù)的已有數(shù)據(jù)信息求出其近似函數(shù)的常用方法有插值法和數(shù)據(jù)擬合。下面利用插值法和數(shù)據(jù)擬合方法給出該城市供水量的預(yù)測。第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六城市供水量預(yù)測用數(shù)值方法進(jìn)行預(yù)測時，一般是根據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖特征采用插值或擬合來實現(xiàn)。用插值方法預(yù)測2007年1月份城市的用水量預(yù)測2007年1月份城市的用水量有兩種辦法：一是先預(yù)測1月份每天的日用水量，求和后即得到1月用水總量；二是直接用2000-2006每年1月份的總用水量來預(yù)測。第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六用06年每天的日用水量預(yù)測以預(yù)測07年1月1日為例，由于數(shù)據(jù)量過大，07年1月的用水量與前一年相關(guān)性大，而與2000-2005年用水量的相關(guān)性不大。故僅用06年全部365天的日用水量作為插值節(jié)點，其中，表示第i天，即為第i天的日用水量（萬噸/日）。其散點圖如圖2.7.1所示。設(shè)插值多項式為，則07年1月1日的日用水量的預(yù)測值即為在處的函數(shù)值。圖106年城市日用水量散點圖第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六下面分別用拉格朗日與牛頓插值方法得到365次插值多項式，并計算得分別為1.8781e+109、-9.3842e+167。這些結(jié)果的誤差大得讓人無法接受。說明在大區(qū)間上做高次插值不可行，實際中，當(dāng)節(jié)點數(shù)較多時，一般用分段低次插值。這里用三次樣條插值法求解，其樣條曲線如圖2.7.2所示。對應(yīng)的插值結(jié)果為133.6641。圖2三次樣條曲線

第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六但若用這個三次樣條函數(shù)來計，即該月后30天的日用水量，結(jié)果為98.1477、33.0292、…、-4.8837，誤差逐漸增大。且從第四天開始的估計值就開始為負(fù)值-70.3188。結(jié)果說明，在用插值多項式進(jìn)行外插時，當(dāng)計算點遠(yuǎn)離插值區(qū)間時，誤差增大。因此，外插時一般要求計算點靠近插值區(qū)間。綜上所述，僅用06年一年數(shù)據(jù)預(yù)測07年1月份每天的日用水量時，即便使用低次插值，誤差也會很大。因此用365個數(shù)據(jù)點做插值不合理。

第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六

2.用2000-2006年1月份每天的日用水量預(yù)測

采用2000-2006年1月每天的日用水量預(yù)測07年1月對應(yīng)天的日用水量。同樣，以預(yù)測07年1月1日為例。以2000-2006每年1月1日的日用水量作為插值節(jié)點，則即為所要求的07年1月1日用水量的估計值。同理，其它30天的日用水量也對應(yīng)地求出。此時，待插節(jié)點只有1個，且與插值區(qū)間距離為1。因插值節(jié)點只有7個，我們采用拉格郎日、牛頓和三次樣條插值函數(shù)進(jìn)行計算，三種方法計算的結(jié)果基本相同，求得07年1月每天日用水量分別為143.6962，139.7505,…,146.5117。對它們求和得07年1月份總用水量的預(yù)測值為4517.6993（萬噸/日）。其計算結(jié)果如圖3所示（”+”號所示為217個已知的前七年日用水量節(jié)點，”*”號所示為預(yù)測的31天的用水量值）。第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六

這證實了，當(dāng)插值節(jié)點少，且計算點距離插值區(qū)間近時，多項式插值方法做外插是適用的。圖3三種插值函數(shù)曲線

第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六3.用2000-2006年1月城市的總用水量預(yù)測由表2可到七個插值節(jié)點，其中。其散點圖如4所示：圖4散點圖用三次樣條插值得即所求的07年1月用水總量的估計值為4378.1390（萬噸/日）。

第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六上述插值方法得到的07年1月用水總量估計值如下表2所示：表2插值法得到07年1月用水總量估計值（萬噸/日）插值節(jié)點06年日用水量00-06年1月每天日用水量00-06每年1月用水總量預(yù)測結(jié)果誤差大4517.6993（萬噸/日）4378.1390（萬噸/日）第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六用數(shù)據(jù)擬合方法預(yù)測2007年1月份城市的用水量（1）用06年每天的日用水量預(yù)測由06年全部365天的日用水量散點圖1可知，這些點并不簡單地呈現(xiàn)線性或二次關(guān)系，但有很強的聚集性。我們試圖用幾個多項式進(jìn)行擬合。用Matlab工具箱得到如表3擬合結(jié)果。表3擬合次數(shù)與殘差的關(guān)系擬合結(jié)果顯示，九次擬合的均方根誤差是最小的，但四次曲線擬合的效果已經(jīng)與它很接近了。為了盡量避免過擬合，在這里選擇四次擬合。擬合曲線如圖5所示。線性二次三次四次五次六次七次八次九次均方根誤差5.3664.6894.554.03.9933.8973.7813.7313.701第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六

擬合曲線的表達(dá)式為：計算在處的函數(shù)值分別得到07年1月31天的日用水量為150.8524，150.8718，…，152.9422。對它們求和得到1月份總用水量的估計值為4700.4297（萬噸/日）。圖5四次擬合曲線第三十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六

（2）用2000-2006年1月份每天的日用水量預(yù)測由2000-2006年1月1日的日用水量得到7個插值節(jié)點，利用擬合曲線計算即07年1月1日日用水量估計值。因插值節(jié)點只有7個，因此用6次擬合曲線剛好可過所有插值節(jié)點。圖6顯示的是六次擬合結(jié)果。圖6六次擬合曲線

第三十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六計算得07年1月1號日用水量為5.74456，產(chǎn)生了較大的誤差。這說明出現(xiàn)了嚴(yán)重的過度擬合現(xiàn)象。因此，