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文檔簡介
投資組合選擇問題1第一頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.1均值-方差模型回顧市場假設(shè)
市場上共有n個風(fēng)險資產(chǎn),第i個資產(chǎn)的當(dāng)前價格,未來價格為,則其總回報率為
總回報率向量r=(r1,r2,…,rn)′的期望和協(xié)方差矩陣為
資產(chǎn)未來價格向量的期望和協(xié)方差為
其中2第二頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.1均值-方差模型回顧Markowitz均值-方差模型 Markowitz均值方差模型為
其中
為預(yù)先指定的投資組合的期望收益率。表示以投資額比例計的投資組合。3第三頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.1均值-方差模型回顧Markowitz均值-方差模型(繼續(xù))
也可以表示為
其中
為預(yù)先指定的投資組合的期望期末財富水平,W為投資者的初始財富水平。表示以持有股票數(shù)計的投資組合。4第四頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.1均值-方差模型回顧拉格朗日乘子法
拉格朗日函數(shù)
最優(yōu)化條件:
其中5第五頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.1均值-方差模型回顧6第六頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.1均值-方差模型回顧均值-方差模型(另一表示)
其中λ稱為均值與方差間的權(quán)重系數(shù),是投資者的風(fēng)險態(tài)度的表現(xiàn)。
若?∞<λ<+∞,我們將得到最小方差集合(minimumvarianceset);
若?∞<λ
≤0,我們將得到有效前沿(efficientfrontier)。7第七頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.1均值-方差模型回顧Whatarewedoing??
選擇最好的投資組合(W為初始投資金額)
合適的指標(biāo)8第八頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.1均值-方差模型回顧均值-方差是否為好的指標(biāo)?
例子3.1兩個風(fēng)險資產(chǎn)S1和S2的回報率的可能取值分別為
各情景發(fā)生的概率為0.2。
容易證明只投資S1或者只投資S2均為均值-方差的。
但是很顯然S2優(yōu)于S1,
9第九頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論優(yōu)先序(preferenceorder)
為投資組合期末可能出現(xiàn)的財富水平,添加優(yōu)先序(即對絕對可積的隨機變量構(gòu)成的集合L1添加優(yōu)先序)1)完備性(Completeness)2)傳遞性(Transitivity)10第十頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論優(yōu)先序(繼續(xù))3)獨立性公理(Independenceaxiom)4)阿基米德公理(Archimedeanaxiom)11第十一頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論VonNeumann-Morgenstern表示
數(shù)值表示:若函數(shù)U:L1?>R滿足
稱U為優(yōu)先序的數(shù)值表示。
若優(yōu)先序滿足以上兩條性質(zhì)和兩條公理,則存在(仿射變化)唯一的數(shù)值表示,
u(.)稱為效用函數(shù)。
12第十二頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論VonNeumann-Morgenstern表示(繼續(xù))
仿射變化唯一是指u的任何仿射變化仍為數(shù)值表示。
稱為u的等價效用函數(shù)。
單調(diào)性(monotone)
數(shù)值表示滿足單調(diào)性當(dāng)且僅當(dāng)u為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)。
13第十三頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論St.PetersburgParadox(NicholasBernoulli1713)
這是一個擲硬幣的游戲,參加者先付門票,然后開始擲硬幣,直至第一個正面出現(xiàn)時為止。總的擲幣次數(shù)n決定參加者的報酬,計算報酬r的公式為次數(shù)概率報酬概率×報酬
11/22
121/44
1....
n(1/2)n2n1
14第十四頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論St.PetersburgParadox(繼續(xù))
期望報酬為+∞。但是沒有人會愿意支付+∞來購買門票,甚至不愿支付較大的金額購買門票。稱為圣彼得堡悖論。
DanielBernoulli提出使用邊際效用遞減(即效用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)u′為單調(diào)減函數(shù),效用函數(shù)為凹函數(shù))來解決此悖論。他指出,參加者賦予所有報酬的每一元不同的價值,隨著報酬的增加,每新獲得的1元價值是遞減的。
若u(w)=log(w),則15第十五頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論16第十六頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論風(fēng)險厭惡(riskaversion)
假設(shè)投資者面對一個確定性投資選擇x和一個不確定投資選擇y,若兩個選擇有著相同的期望值(x=E[y]),那么風(fēng)險厭惡的投資者會選擇確定性投資x。
注意到
風(fēng)險厭惡的投資者的效用函數(shù)u為凹函數(shù)。風(fēng)險厭惡系數(shù)(riskaversioncoefficient) Arrow-Prattabsolutionriskaversioncoefficient17第十七頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論常見風(fēng)險厭惡效用函數(shù) Exponential(ConstantAbsoluteRiskAversionutilityfunction) Logarithmic Power Quadratic
18第十八頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論常見風(fēng)險厭惡效用函數(shù)(繼續(xù)) HARA(Hyperbolicabsoluteriskaversion)utilityfunction19第十九頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論Certaintyequivalent
隨機變量x的CertaintyequivalentC滿足
當(dāng)u(.)為凹函數(shù)時,C≤E[x]。u(x1)u(x2)u(C)20第二十頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論例子3.2
假設(shè)某人的效用函數(shù)為二次效用函數(shù),
此人面對一個投資機會,以50%概率獲得200元,50%概率獲得300元。21第二十一頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論如何得到投資者的效用函數(shù)??
1)首先指定投資者效用函數(shù)的形狀,如指數(shù)型,對數(shù)型等,然后對其中的參數(shù)進(jìn)行估計。 2)直接估計:選擇兩個固定點A和B,并假設(shè)u(A)=A,u(B)=B;構(gòu)造一個以概率p獲得A,概率1?p獲得B的彩票(lottery)x;向投資者詢問其愿意用來交換此彩票的財富水平C。
通過改變p,我們得到C與E[x]的函數(shù)關(guān)系;進(jìn)一步得到效用函數(shù)。22第二十二頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.2期望效用理論23第二十三頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.3期望效用最大化模型期望效用最大化模型(EUT模型)
期望效用最大化模型為
其最優(yōu)投資組合θ*必滿足24第二十四頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.3期望效用最大化模型拉格朗日乘子法
拉格朗日函數(shù)
最優(yōu)化條件:
其中25第二十五頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.3期望效用最大化模型當(dāng)一個資產(chǎn)為無風(fēng)險資產(chǎn)時
假設(shè)第一個資產(chǎn)為無風(fēng)險資產(chǎn),其回報率為有
其他n?1個風(fēng)險資產(chǎn)的回報率滿足26第二十六頁,共二十九頁,編輯于2023年,星期六3.3期望效用最大化模型例子3.3
某投資者考慮參與投資拍攝一部電影。如果電影票房反映良好(概率為0.3),其將獲得3倍的回報;如果票房反映平平(概率為0.4),其將收回初始投資;如果票房失?。ǜ怕蕿?.3),其將損失全部初始投資。與此同時,投資者可以選擇投資某無風(fēng)險資產(chǎn),獲得1.2的總回報率。如果投資者的效用函數(shù)為對數(shù)函數(shù),u(x)=ln(x),他是否會選擇參與投資電影?如果參與,他會投資多少?(假設(shè)投資者的初始財富為W)27第二十七頁,共二十九頁,編輯于2023年
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