投資組合選擇問題

投資組合選擇問題1第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.1均值-方差模型回顧市場(chǎng)假設(shè)

市場(chǎng)上共有n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，第i個(gè)資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格，未來價(jià)格為，則其總回報(bào)率為

總回報(bào)率向量r=(r1,r2,…,rn)′的期望和協(xié)方差矩陣為

資產(chǎn)未來價(jià)格向量的期望和協(xié)方差為

其中2第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.1均值-方差模型回顧Markowitz均值-方差模型 Markowitz均值方差模型為

其中

為預(yù)先指定的投資組合的期望收益率。表示以投資額比例計(jì)的投資組合。3第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.1均值-方差模型回顧Markowitz均值-方差模型（繼續(xù)）

也可以表示為

其中

為預(yù)先指定的投資組合的期望期末財(cái)富水平，W為投資者的初始財(cái)富水平。表示以持有股票數(shù)計(jì)的投資組合。4第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.1均值-方差模型回顧拉格朗日乘子法

拉格朗日函數(shù)

最優(yōu)化條件：

其中5第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.1均值-方差模型回顧6第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.1均值-方差模型回顧均值-方差模型（另一表示）

其中λ稱為均值與方差間的權(quán)重系數(shù)，是投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的表現(xiàn)。

若?∞<λ<+∞，我們將得到最小方差集合(minimumvarianceset)；

若?∞<λ

≤0，我們將得到有效前沿(efficientfrontier)。7第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.1均值-方差模型回顧Whatarewedoing??

選擇最好的投資組合（W為初始投資金額）

合適的指標(biāo)8第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.1均值-方差模型回顧均值-方差是否為好的指標(biāo)？

例子3.1兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S1和S2的回報(bào)率的可能取值分別為

各情景發(fā)生的概率為0.2。

容易證明只投資S1或者只投資S2均為均值-方差的。

但是很顯然S2優(yōu)于S1，

9第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論優(yōu)先序（preferenceorder）

為投資組合期末可能出現(xiàn)的財(cái)富水平，添加優(yōu)先序（即對(duì)絕對(duì)可積的隨機(jī)變量構(gòu)成的集合L1添加優(yōu)先序）1）完備性（Completeness）2）傳遞性（Transitivity）10第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論優(yōu)先序（繼續(xù)）3）獨(dú)立性公理（Independenceaxiom）4）阿基米德公理（Archimedeanaxiom）11第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論VonNeumann-Morgenstern表示

數(shù)值表示：若函數(shù)U:L1?>R滿足

稱U為優(yōu)先序的數(shù)值表示。

若優(yōu)先序滿足以上兩條性質(zhì)和兩條公理，則存在（仿射變化）唯一的數(shù)值表示，

u(.)稱為效用函數(shù)。

12第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論VonNeumann-Morgenstern表示（繼續(xù)）

仿射變化唯一是指u的任何仿射變化仍為數(shù)值表示。

稱為u的等價(jià)效用函數(shù)。

單調(diào)性（monotone）

數(shù)值表示滿足單調(diào)性當(dāng)且僅當(dāng)u為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)。

13第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論St.PetersburgParadox（NicholasBernoulli1713）

這是一個(gè)擲硬幣的游戲，參加者先付門票，然后開始擲硬幣，直至第一個(gè)正面出現(xiàn)時(shí)為止?？偟臄S幣次數(shù)n決定參加者的報(bào)酬，計(jì)算報(bào)酬r的公式為次數(shù)概率報(bào)酬概率×報(bào)酬

11/22

121/44

1....

n(1/2)n2n1

14第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論St.PetersburgParadox（繼續(xù)）

期望報(bào)酬為+∞。但是沒有人會(huì)愿意支付+∞來購(gòu)買門票，甚至不愿支付較大的金額購(gòu)買門票。稱為圣彼得堡悖論。

DanielBernoulli提出使用邊際效用遞減（即效用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)u′為單調(diào)減函數(shù)，效用函數(shù)為凹函數(shù)）來解決此悖論。他指出，參加者賦予所有報(bào)酬的每一元不同的價(jià)值，隨著報(bào)酬的增加，每新獲得的1元價(jià)值是遞減的。

若u(w)=log(w)，則15第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論16第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論風(fēng)險(xiǎn)厭惡（riskaversion）

假設(shè)投資者面對(duì)一個(gè)確定性投資選擇x和一個(gè)不確定投資選擇y，若兩個(gè)選擇有著相同的期望值(x=E[y])，那么風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者會(huì)選擇確定性投資x。

注意到

風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者的效用函數(shù)u為凹函數(shù)。風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)（riskaversioncoefficient） Arrow-Prattabsolutionriskaversioncoefficient17第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論常見風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù) Exponential（ConstantAbsoluteRiskAversionutilityfunction） Logarithmic Power Quadratic

18第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論常見風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)（繼續(xù)） HARA（Hyperbolicabsoluteriskaversion）utilityfunction19第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論Certaintyequivalent

隨機(jī)變量x的CertaintyequivalentC滿足

當(dāng)u(.)為凹函數(shù)時(shí)，C≤E[x]。u(x1)u(x2)u(C)20第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論例子3.2

假設(shè)某人的效用函數(shù)為二次效用函數(shù)，

此人面對(duì)一個(gè)投資機(jī)會(huì)，以50%概率獲得200元，50%概率獲得300元。21第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論如何得到投資者的效用函數(shù)？？

1）首先指定投資者效用函數(shù)的形狀，如指數(shù)型，對(duì)數(shù)型等，然后對(duì)其中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。 2）直接估計(jì)：選擇兩個(gè)固定點(diǎn)A和B，并假設(shè)u(A)=A，u(B)=B；構(gòu)造一個(gè)以概率p獲得A，概率1?p獲得B的彩票(lottery)x；向投資者詢問其愿意用來交換此彩票的財(cái)富水平C。

通過改變p，我們得到C與E[x]的函數(shù)關(guān)系；進(jìn)一步得到效用函數(shù)。22第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.2期望效用理論23第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.3期望效用最大化模型期望效用最大化模型（EUT模型）

期望效用最大化模型為

其最優(yōu)投資組合θ*必滿足24第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.3期望效用最大化模型拉格朗日乘子法

拉格朗日函數(shù)

最優(yōu)化條件：

其中25第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.3期望效用最大化模型當(dāng)一個(gè)資產(chǎn)為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)

假設(shè)第一個(gè)資產(chǎn)為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其回報(bào)率為有

其他n?1個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)率滿足26第二十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六3.3期望效用最大化模型例子3.3

某投資者考慮參與投資拍攝一部電影。如果電影票房反映良好（概率為0.3），其將獲得3倍的回報(bào)；如果票房反映平平（概率為0.4），其將收回初始投資；如果票房失?。ǜ怕蕿?.3），其將損失全部初始投資。與此同時(shí)，投資者可以選擇投資某無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，獲得1.2的總回報(bào)率。如果投資者的效用函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，u(x)=ln(x)，他是否會(huì)選擇參與投資電影？如果參與，他會(huì)投資多少？（假設(shè)投資者的初始財(cái)富為W）27第二十七頁，共二十九頁，編輯于2023年