三次數(shù)學(xué)危機(jī)

前言現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想選講學(xué)生在進(jìn)入社會(huì)以后如果沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)，那么作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不到一兩年就會(huì)忘掉，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，會(huì)長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮重要作用。

----日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏?cái)?shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法一般說來,稱解決某類數(shù)學(xué)問題的原則為數(shù)學(xué)思想,而稱其解決的途徑為數(shù)學(xué)方法.張奠宙教授認(rèn)為:“同一個(gè)數(shù)學(xué)思想,當(dāng)用它去解決別的問題時(shí),就稱之為方法.當(dāng)評(píng)價(jià)它在數(shù)學(xué)體系中的自身價(jià)值和意義時(shí),就稱之為思想.”

有時(shí)亦將兩者混用或合用,統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)思想方法”.1978年改革開放摸石頭過河——“多因素優(yōu)化”思想華羅庚瞎子爬山法——“多因素?zé)o目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化”思想《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》

課程內(nèi)容既要反映社會(huì)的需要、數(shù)學(xué)學(xué)科的特征，也要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)論，也應(yīng)包括數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程和數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)結(jié)論、形成過程和數(shù)學(xué)思想方法的統(tǒng)一知識(shí)是基礎(chǔ)方法是中介思想才是本源雙基基礎(chǔ)知識(shí)基本技能四基基礎(chǔ)知識(shí)基本技能基本思想基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)“雙基”到“四基”四基之間的關(guān)系示意圖數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最本質(zhì)的東西下乘者講數(shù)學(xué)知識(shí)中乘者講教學(xué)技巧上乘者講數(shù)學(xué)思想形而上者謂之道形而下者謂之器

——《易經(jīng)》德國(guó)諾貝爾獎(jiǎng)獲得者、物理學(xué)家馮.勞厄：

“教育無非是一切已學(xué)過的東西都忘掉時(shí)所剩下的東西”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該是有思想的教學(xué)！有了思想才有了課堂的生命！講課目錄第1章基礎(chǔ)篇——抽象與推理思想第2章隨機(jī)篇——概率與統(tǒng)計(jì)思想

第3章系統(tǒng)篇——優(yōu)化與均衡思想

第4章應(yīng)用篇——模型與化歸思想第5章計(jì)算篇——逼近與遞推思想第一章基礎(chǔ)篇

——抽象與推理思想現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想選講數(shù)學(xué)抽象與演繹推理是數(shù)學(xué)最根本的思想真正的知識(shí)是來源于感性的經(jīng)驗(yàn),通過直觀和抽象而得到的,并且這種抽象是不獨(dú)立于人的思維而存在的。抽象是思維的基礎(chǔ),只有具備了抽象能力，才能從大量感性認(rèn)識(shí)中獲得事物(事件或?qū)嵨?的本質(zhì)特征,從而上升到理性認(rèn)識(shí)。

——史寧中本章導(dǎo)航第1章基礎(chǔ)篇——抽象與推理思想

1.1三次數(shù)學(xué)危機(jī)

1.2抽象代數(shù)—對(duì)稱科學(xué)與藝術(shù)

1.3現(xiàn)代幾何學(xué)—流形的科學(xué)

1.4泛函分析—無窮維的科學(xué)

1.5演繹推理—建立科學(xué)理論的數(shù)學(xué)思想

1.1三次數(shù)學(xué)危機(jī)現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想選講悖論一般說來,按照公理化思想,某一數(shù)學(xué)理論的建立都是從一些原始概念和一個(gè)公理體系出發(fā),通過抽象和推理而建立起由定義、定理和推論等組成的理論體系.如果某一理論的公理體系和推理原則看上去是合理的,但根據(jù)此公理體系及推理原則卻推出了兩個(gè)相互矛盾的命題,或者證明了一個(gè)復(fù)合命題,它表現(xiàn)為兩個(gè)互相矛盾命題的等價(jià)形式.那么,我們就稱此理論包含了一個(gè)悖論.1.希帕索斯悖論—

不可通約量的發(fā)現(xiàn)與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)畢達(dá)哥拉斯前580——前500希臘數(shù)學(xué)的祖師創(chuàng)立集政治、宗教、哲學(xué)、數(shù)學(xué)合一的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派畢達(dá)哥拉斯學(xué)派濃厚的宗教色彩組織嚴(yán)密，訓(xùn)練嚴(yán)格，食物簡(jiǎn)單一切發(fā)明歸功于學(xué)派的領(lǐng)袖，秘而不宣

觀點(diǎn)：萬物皆數(shù)

學(xué)派存在兩個(gè)世紀(jì)之久

普魯塔克的“面積剖分法”abbcc畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）a古希臘人原來認(rèn)為：

討論比率與比例，僅限于可公度的量．即：設(shè)一個(gè)量是公度的p倍，另一個(gè)量是公度的q倍，那么兩者的比就是p∶q。希帕索斯:正方形的對(duì)角線和其一邊構(gòu)成不可公度線段。引出第一次數(shù)學(xué)危機(jī)如果,則有.因此,這個(gè)數(shù)不能是有理數(shù),即不能表示為

(p、q為整數(shù)且無公約數(shù))的形式。如果，則由，有。所以為偶數(shù)。即一定為偶數(shù)。不妨設(shè)有所以也一定為偶數(shù)。

但這與之間無公約數(shù)相矛盾。因此，不是有理數(shù)。

記戴德金分割—

“實(shí)數(shù)”定義為有理數(shù)的分割

有理數(shù)的分割示意ABBARR2.貝克萊悖論—

微積分基礎(chǔ)不牢與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)牛頓萊布尼茲即時(shí)速度如果在時(shí)刻t,物體的運(yùn)動(dòng)距離為S=S(t),且假定在t時(shí)刻有一個(gè)時(shí)間增量△t,物體運(yùn)動(dòng)距離的增量為△S,則有S+△S=S(t+△t)△S=S(t+△t)-S(t)在時(shí)刻t物體的即時(shí)速度定義為△S和△t在趨于0時(shí)的兩個(gè)無窮小的比值(牛頓稱之為流數(shù)).所謂的“無窮小”,牛頓認(rèn)為是“要成為0而不是0”的量.

IssacNewton(1642-1727)，英國(guó)大物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家。1642年，伽利略去世的同年Newton誕生在England的一個(gè)農(nóng)民家庭。

“如果我看得更遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏稀?。牛頓貝克萊指出：在推導(dǎo)時(shí),先給t一個(gè)增量△t(此時(shí)△t≠0),于是先設(shè)t有一個(gè)非0增量△t,然后讓△t=0,即t沒有增量.此矛盾,被稱為貝克萊悖論.引出第二次數(shù)學(xué)危機(jī)為了奠定微積分的基礎(chǔ),必須建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論.

數(shù)學(xué)家把包含這一理論的學(xué)科稱為“數(shù)學(xué)分析”.

（1）函數(shù)

1748年，

歐拉(Euler)重新定義了函數(shù)：變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式,它是由這個(gè)變量和一些常量以任何方式組成的.

1755年，經(jīng)過抽象,歐拉在《微分學(xué)》中給出了更為明確的定義：如果某變量以如下方式依賴于另一些變量,即當(dāng)后面這些變量變化時(shí),前者也隨之變化,則稱前面的變量是后面變量的函數(shù).變量說1821年，柯西(Cauchy)在《分析教程》中又進(jìn)一步給出變量的定義：依次取許多不同的數(shù)值的量叫做變量.

1851年，狄里克雷(Dirichlet)給出函數(shù)的對(duì)應(yīng)說定義：

假定Z是一個(gè)變量,如果對(duì)它的每一個(gè)數(shù)值都有未知量W的一個(gè)數(shù)值與之對(duì)應(yīng),則稱W是Z的函數(shù).對(duì)應(yīng)說1939年，法國(guó)的布爾巴基學(xué)派給出了更為抽象的“關(guān)系說”定義：

設(shè)X、Y為兩個(gè)集合,稱

X×Y={(x,y):x∈X,y∈Y}

為集合X與Y的笛卡爾乘積,子集FX×Y稱為X×Y上的一個(gè)關(guān)系.如果(x,y)∈F,則稱元素x,y具有關(guān)系F,記做xFy.那么函數(shù)的“關(guān)系說”定義:

如果定義在X×Y上的關(guān)系F滿足,對(duì)于每一個(gè)x∈X都存在唯一y∈Y,使得(x,y)∈F成立,則稱F為函數(shù).關(guān)系說（2）極限

1821年，柯西在《分析教程》中給出變量的極限的明確定義：

一個(gè)變量逐次所取得的值無限趨向一個(gè)固定值,使得所取的值與該定值的距離要多小就有多小.那么,就稱這個(gè)定值為所以有其他值的極限

.數(shù)列極限的“ε-N

”

定義：

定義1.1

對(duì)于數(shù)列{an}

和數(shù)值a,如果對(duì)于任意的ε>0,均存在某個(gè)自然數(shù)N,

使得當(dāng)n>N時(shí),有

|an-a|<ε,

那么稱數(shù)列an是收斂的,并稱數(shù)a為an的極限,記做

（3）無窮小量

無窮小量是一個(gè)變量α,如果依次取值為α1，α2，…αn，…

且滿足

則稱α是一個(gè)無窮小量.

由極限還可定義所謂的“高階”無窮小量.（4）函數(shù)極限“ε-δ

”

定義

定義1.2設(shè)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義,A為一個(gè)固定數(shù)值.

如果對(duì)于任意的ε>0,均存在一個(gè)δ>0,

使得當(dāng)0<|x-x0|<δ時(shí),有

|f(x)-A|<ε,

那么稱當(dāng)x趨于x0時(shí),f(x)以A為極限,

記做

（5）導(dǎo)數(shù)和微分

設(shè)y=f(x)表示一個(gè)函數(shù),對(duì)于給定的點(diǎn)x0,如果下面的極限

存在,記為,則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),

稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù).

如果f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)均可導(dǎo),則稱為f(x)的導(dǎo)函數(shù).函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處可微分就是在局部將其看成線性函數(shù)。3.羅素悖論—

集合概念內(nèi)涵不清與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)康托如何定義無限集合以及如何比較兩個(gè)無限集合的大??？康托定義了“一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”:

如果在集合A和集合B之間存在一種關(guān)系,使得對(duì)于A中的任意元素a都存在集合B中的唯一元素b與之對(duì)應(yīng);反過來,對(duì)于集合B中的任意元素b,都存在A中的唯一元素a與之對(duì)應(yīng),則稱集合A,B之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,并稱A與B對(duì)等,記為A~B.有理數(shù)集R與正整數(shù)集Z之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

.在對(duì)等關(guān)系的基礎(chǔ)上,康托又給出了兩個(gè)集合大小的定義:

如果集合A能與集合B的一部分對(duì)等,但集合B不能與A或A的一部分對(duì)等的話,那么集合B就大于集合A.無限集:可以和自己的某一部分建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的集合叫做無限集.康托稱一個(gè)集合的大小為這個(gè)集合的基數(shù).因此在這個(gè)意義下,兩個(gè)集合對(duì)等當(dāng)且僅當(dāng)它們的基數(shù)相等.有限集的基數(shù)是自然數(shù),無限集的基數(shù)為超限數(shù).記正整數(shù)集合Z+的基數(shù)為,讀作“阿列夫零”.凡是與N+對(duì)等的集合都稱為可數(shù)集,意思是說能夠?qū)⑦@些元素逐一地?cái)?shù)出來.全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合R被稱為“連續(xù)統(tǒng)”,記R的基數(shù)為(讀作“阿列夫壹”)或c.連續(xù)統(tǒng)假設(shè)：在可數(shù)集N+的基數(shù)與連續(xù)統(tǒng)R的基數(shù)之間不存在中間基數(shù).羅素理發(fā)師悖論在一個(gè)村莊里有一位理發(fā)師,他給自己立了一個(gè)規(guī)定:他只給村子里不自己刮胡子的人刮胡子.于是產(chǎn)生一個(gè)問題,他給不給自己刮胡子?引出第三次數(shù)學(xué)危機(jī)策墨羅德國(guó)數(shù)學(xué)家策墨羅(Zermelo)發(fā)現(xiàn)問題出在康托集合論中根據(jù)概括原則肯定的“造集任意性”上