中考數(shù)學幾何圖形變換專練

中考數(shù)學幾何圖形變換專練

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一、解答題

1.如圖1,點E是正方形ABCD邊CD上任意一點，以DE為邊作正方形DEFG,連

接BF,點M是線段BF中點，射線EM與BC交于點H,連接CM.

(1)請直接寫出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

(2)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)45°,此時點F恰好落在線段CD上，

如圖2,其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否成立，請說明理由；

(3)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90。，此時點E、G恰好分別落在線

段AD、CD上，如圖3,其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否成立，請說明理由.

【答案】(1)CM=EM,CM1EM,理由見解析；(2)(1)中的結(jié)論成立，理由見解

析；(3)(1)中的結(jié)論成立，理由見解析.

【解析】分析：(1)延長EM交AD于H,證明△FMEgZ\AMH,得到HM=EM,根據(jù)等腰直

角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點A、E、C在同一條直線上，根據(jù)直角三角形斜邊上的中

線是斜邊的一半證明即可；

(3)根據(jù)題意畫出完整的圖形，根據(jù)平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質(zhì)證

明即可.

詳解：(1)如圖1,結(jié)論：CM=EM,CM±EM.

理由：VADZ^EF,AD〃BC,

；.BC〃EF,

ZEFM=ZHBM,

在AFME和△BMH中,

(^LEFM=Z.MBH

(FM=BM-

AAFME^ABMH,

AHM=EM,EF=BH,

VCD=BC,

???CE=CH,VZHCE=90°,HM=EM,

ACM=ME,CM±EM.

(2)如圖2,連接AE,

圖2

,/四邊形ABCD和四邊形EDGF是正方形，

AZFDE=45°,NCBD=45。,

???點B、E、D在同一條直線上，

VZBCF=90°,ZBEF=90°,M為AF的中點,

???CM』AF,EM」AF,

22

???CM=ME,

VZEFD=45°,

AZEFC=135°,

VCM=FM=ME,

AZMCF=ZMFC,ZMFE=ZMEF,

.,.ZMCF+ZMEF=135°,

/.ZCME=360°-135°-135°=90°,

ACM!ME.

(3)如圖3,連接CF,MG,作MN_LCD于N,

H

圖3

在AEDM和△GDM中,

DE=DG

Z.MDE=Z.MDG，

DM=DM

.,.△EDM^AGDM,

?'?ME=MG,ZMED=ZMGD,

TM為BF的中點,FG〃MN〃BC,

AGN=NC,又MNJ_CD,

AMC=MG,

AMD=ME,NMCG=NMGC,

VZMGC+ZMGD=180°,

AZMCG+ZMED=180°,

.\ZCME+ZCDE=180°,

VZCDE=90°,

：.ZCME=90°,

A(1)中的結(jié)論成立.

點晴：本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及直角三角形

的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中

考壓軸題.

2.在RM4BC中，N4cB=90。，AB=y[7,AC=2,過點B作直線m〃AC,將zMBC繞

點C順時針得到A4'夕C(點4B的對應點分別為A,e)，射線C4,C夕分別交直線M于

點P,Q.

(1)如圖1,當P與4'重合時，求乙4C4的度數(shù);

(2)如圖2,設(shè)AB'與BC的交點為M,當M為4夕的中點時，求線段PQ的長；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程時，當點P,Q分別在C4',CB'的延長線上時，試探究四邊形PAB'Q的

面積是否存在最小值.若存在，求出四邊形P4'9Q的最小面積；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)60°；(2)f(3)SPAlBlQ=3-V3

【解析】分析：(1)由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A,C=2,進而得至UBC=W,依據(jù)NABC=90。，可

得cos/ACB=^=立，即可得到/A'CB=3O。，ZACA'=60°；

ArC2

(2)根據(jù)M為AB的中點，即可得出NA=/A'CM,進而得到PB=yBC=y,依據(jù)

tanZQ=tanZA=—,即可得至ljBQ=BCxg=2,進而得出PQ=PB+BQ=?；

2v32

(3)依據(jù)S四邊形PABQ=S^PCQ-SAACB'二SAPCQ-73,即可得到S四邊形PA'B'Q最‘卜，艮I」SAPCQ最＜］、，

而SAPCQ=：PQXBC=^PQ,得到SAPCQ的最小值=3，S四邊形PA'B'Q=3-b.

詳解：(1)由旋轉(zhuǎn)可得：AC=AC=2,

VZACB=90°,AB=V7,AC=2,

???BC=V3,

VZACB=90°,m〃AC,

???ZA'BC=90°,

AcosZA*CB=—=—,

AfC2

AZA*CB=30o,

???ZACA'=60°；

(2)?「M為AB的中點，

???NACM二NMAC

由旋轉(zhuǎn)可得，NMAONA,

AZA=ZA,CM,

tanZPCB=tanZA=—,

2

2

，BQ=BCx薩，

7

???PQ=PB+BQ、；

(3)S四邊形PA'BfQ=SAPCQ-SAA,CB-SAPCQ-V3,

:.S四邊形PABQ最小,即SAPCQ最小，

，SAPCQ《PQXBC邛PQ,

取PQ的中點G,則NPCQ=90。，

.".CG=|PQ,即PQ=2CG,

當CG最小時，PQ最小，

，CG_LPQ,即CG與CB重合時，CG最小，

,,CGmin=V5>PQmin=2V^,

SAPCQ的最小值=3,S四邊畛PA'B'Q~3-V3.

點睛：本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形

的性質(zhì)的綜合運用，解題時注意：旋轉(zhuǎn)變換中，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等：對應點

與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

3.如圖，AABC和AAJ9E是有公共頂點的等腰直角三角形，NBAC=N￡>AE=90。，點尸

為射線8。，CE的交點.

(1)求證：BD=CE；

(2)若A3=2,AD=1,把AAOE繞點A旋轉(zhuǎn)，當NE4C=90。時，求尸8的長；

【答案】(1)證明見解析；(2)的長為等或雷.

【解析】試題分析：(1)依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=AC,AD=AE,依據(jù)同角的余

角相等得到ND4B=/C4E,然后依據(jù)SAS可證明△ADBg/XAEC,最后，依據(jù)全等三

角形的性質(zhì)可得到BD=CE；

(2)分為點E在AB上和點E在AB的延長線上兩種情況畫出圖形，然后再證明

△PEBsAAEC,最后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進行證明即可.

試題解析：解：(1):△ABC和是等腰直角三角形，

ZBAC=ZDAE=90°,：.AB=AC,AD=AE,NDAB=NCAE,△AO8也△AEC,：.BD=

CE.

(2)解：①當點E在AB上時，BE=AB-AE=1.

,/ZEAC=90°,：.CE=y/AE2+AC2=V5.

同(1)可證△AOBg/XAEC,AZDBA^ZECA.

■:NPEB=/AEC,.?.△PEBszMEC,：.—=^=,：.PB=—.

ACCE2V55

②當點E在BA延長線上時，BE=3.

：NE4c=90。，CE=yjAE2+AC2=V5.

同（1）可證△AOB絲/XAEC,AZDBA=ZECA.

?：4BEP=4CEA,.?.△PEBs/XAEC,：.—=^=,：.PB=—.

ACCE2V55

綜上所述，P8的長為野或空.

點睛：本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、

相似三角形的性質(zhì)和判定，證明得△PEBs/viEC是解題的關(guān)鍵.

4.綜合與實踐：

如圖1,已知△ABC為等邊三角形，點D,E分別在邊AB、AC±,AD=AE,連接

DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點.

（1）觀察猜想：在圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是,ZMPN的度數(shù)

是!

（2）探究證明：把4ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,

①判斷的形狀，并說明理由；

②求NMPN的度數(shù)；

(3)拓展延伸：若△ABC為直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC=10,點DE分別在邊

AB,AC上,AD=AE=4,連接DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點.把4ADE

繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3,請直接寫出△PMN面積的最大值.

【答案】(1)PM=PN；120°；(2)?APMN是等腰三角形，理由見解析；

②120。；(3)y；

【解析】

【分析】

⑴根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可證明PN〃BD,PM〃EC,PN=^BD,PM=|CE,由

AD=AE即可證明PM=PN,根據(jù)平行線性質(zhì)及外角性質(zhì)可證明

ZMPN=ZB+ZACB=120°；(2)①連接BD、CE,可證明^BAD絲ZXCAE,可知

BD=CE,ZABD=ZACE,根據(jù)三角形中位線可知

PN〃BD,PM〃EC,PN=|BD,PM=|CE,可知PN=PM即可判斷APMN是等腰三角

形.②由平行線的性質(zhì)可知/PNC=NDBC,NDPM=NA=ECD,進而可求出

ZMPN=120°,(3)由旋轉(zhuǎn)知，ZBAD=ZCAE,可證明AABD會4ACE(SAS),可

知ZABD=ZACE,BD=CE,通過(2)的方法可證

PM=PN,ZDPM=ZDCE,ZPNC=ZDBC

根據(jù)外角性質(zhì)可證明NMPN=NABC+NACB,進而可知APMN是等腰直角三角形，求

△PMN面積的最大值即可.

【詳解】

(1)如圖1中，

；AB=AC=BC,AD=AE,

；.BD=CE,ZB=ZACB=60°,

?.?點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點，

；.PN〃BD,PM〃EC,PN=1BD,PM=*E,

22

APN=PM,ZPNC=ZB,ZDPM=ZACD,

???NMPN=NMPD+NDPN=NACD+NPNC+NDCB=NACD+NDCB+NB=NACB+NB

=120°,

圖1

故答案為PM=PN,120°.

(2)如圖2中，連接BD、EC.

圖2

?VZBAC=ZDAE=60°,

，NBAD=/CAE,

VBA=CA,DA=EA,

.二△BAD絲ZXCAE,

；.BD=CE,ZABD=ZACE,

?.?點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點，

；.PN〃BD,PM〃EC,PN=-BD,PM=*E,

22

???PN=PM,

???△PMN是等腰三角形.

②???PN〃BD,PM//EC

AZPNC=ZDBC,ZDPM=ZA=ECD,

.\ZMPN=ZMPD+ZDPN=ZECD+ZPNC+ZDCB=ZECD+ZDCB+ZDBC=ZACE+

ACD+ZDCB+ZDBC=ZABD+ZACB+ZDBC=ZACB+ZABC=120°.

(3)如圖3中,

E

D

BC

圖3

由旋轉(zhuǎn)知，NBAD=NCAE,

VAB=AC,AD=AE,

AAABD^AACE(SAS),

/.ZABD=ZACE,BD=CE,

同(2)的方法，利用三角形的中位線得，PN=|BD,PM=|CE,

?,.PM=PN,

同(2)的方法得，PM/7CE,

AZDPM=ZDCE,

同(2)的方法得，PN//BD,

AZPNC=ZDBC

NDPN=NDCB+NPNC=NDCB+NDBC,

.*.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC

=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

ZBAC=90°,

AZACB+ZABC=90°,

/.ZMPN=90°,

???APMN是等腰直角三角形，

VPM=PN=iBD,

2

???BD最大時，PM最大，APMN面積最大，

???點D在BA的延長線上，

ABD=AB+AD=14,

APM=7,

??SAPMN最大=；PM2=1X72二號.

【點睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)、全等三角形的判定，三角形的中位線平行于

底邊且等于底邊的一半，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.

5.已知正方形ABCD,一等腰直角三角板的一個銳角頂點與A重合，將此三角板繞A

點旋轉(zhuǎn)時，兩邊分別交直線BC、CD于M、N.

（1）當M、N分別在邊BC、CD上時（如圖1）,求證：BM+DN=MN；

（2）當M、N分別在邊BC、CD所在的直線上時（如圖2）,線段BM、DN、MN之

間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論;（不用證明）

（3）當M、N分別在邊BC、CD所在的直線上時（如圖3）,線段BM、DN、MN之

間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并寫出證明過程.

【答案】(1)證明見解析；(2)BM-DN=MN；(3)DN-BM=MN；證明見解析；

【解析】

【分析】

(1)延長CB至UG使BG=DN,由AB=AD,GB=DN,ZAGB=ZADN=90°,可證明

△AGB^AAND,進而可知AG=AN,ZGAB=ZDAN,由NMAN=45。，BAD=90°

可知NGAM=45°,進而證明AAMN絲Z\AMG,根據(jù)MN=GM=BM+GB=MB+DN即可得

答案.(2)BM-DN=MN；(3)在ND上截取DG=BM,可證明AADGgZXABM,進

而可知AG=AM,ZMAB=ZDAG,根據(jù)NMAN=45。，/BAD=90。，可證明AAMG為

等腰直角三角形，可知AN為MG的垂直平分線，進而可知NM=NG,即可證明

DN-BM=MN.

【詳解】

(1)延長CB到G使BG=DN,

VAB=AD,GB=DN,/AGB=/ADN=90。，

.,?△AGB^AAND,

；.AG=AN,ZGAB=ZDAN,

VZMAN=45°,ZBAD=90°,

ZGAM=ZGAB+ZBAM=ZDAN+ZBAM=45°,

.\ZGAM=ZNAM,而AM是公共邊，

.".△AMN^AAMG,

，MN=GM=BM+GB=MB+DN；

(2)BM-DN=MN；

(3)DN-BM=MN.如圖3,

在ND上截取DG=BM,

：AD=AB,ZABM=ZADN=90°,

.?.△ADG絲△ABM,

；.AG=AM,ZMAB=ZDAG,

VZMAN=45°,ZBAD=90°,

.,.ZMAG=90°,AAMG為等腰直角三角形,

，AN垂直MG,

；.AN為MG垂直平分線，

所以NM=NG.

ADN-BM=MN.

本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和正方形的性質(zhì).把圖形的變換放在正方

形中，利用正方形的性質(zhì)去探究圖形變換的規(guī)律是解題關(guān)鍵.

6.已知：在等邊△被中，止2b，D,￡1分別是四，比的中點(如圖1).若將△應

繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△初E,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<180°),記射線紙與加

的交點為P.

(1)判斷△颯1的形狀；

(2)在圖2中補全圖形,

①猜想在旋轉(zhuǎn)過程中，線段笳與期的數(shù)量關(guān)系并證明；

②求的度數(shù)；

(3)點夕到也所在直線的距離的最大值為.(直接填寫結(jié)果)

圖2備用

【答案】(1)等邊三角形；

(2)①見解析;②見解析.

【解析】

【分析】

(1)由D、E分別是AB、BC的中點得到=BD=^BA,加上44BC為等邊三

角形，則48=60。，BA=BC,所以BO=BE,于是可判斷/8DE為等邊三角形；

(2)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ZBD1E1為等邊三角形，則BZ)i=BEi，=60°,而

44BC=60°,所以NDiBA=NEiBC,則可證明△45Q空△C8?,所以CE|=4Di；

②由A/BZ)若ACBfi，可得到即可得到NZPC=N/3C；

(3)由于乙4PC=乙D[BE[=60°,則可判斷點P、D]、B、E|共圓，于是可判斷當BP1BC

時，點P到BC所在直線的距離的最大值，此時點E在AB上，然后利用含30度的直角

三角形三邊的關(guān)系可得點P到BC所在直線的距離的最大值.

【詳解】

解：

(1)等邊三角形.

(2)補全圖形如右圖.

(1X：E\=AD\.

；A/BC和為等邊三角形，

：.BC=BA,BE廠BDi，N/8C=NO/&=60°.

AABC-AABEy=NDiBE「NABEi.

即/山C.

MBD連ACBEi.

?CE\=AD\.

②：AABDI包CBEi，

ZDiAB=ZEiCB.

又?:NDiAB+NAPC=NABC+NEiCB,

ZAPC=ZABC=60°.

(3)2.

【點睛】

本題主要考查作圖和旋轉(zhuǎn)變化，熟悉圖形的幾何關(guān)系時解題的關(guān)鍵.

7.已知R3OAB,ZOAB=90°,NABO=30。，斜邊OB=4,將RtAOAB繞點O順時

針旋轉(zhuǎn)6()。，如題圖1,連接BC.

(1)填空：NOBC=°；

(2)如圖1,連接AC,作OP_LAC,垂足為P,求OP的長度；

(3)如圖2,點M,N同時從點O出發(fā)，在AOCB邊上運動，M沿O—C—B路徑勻

速運動，N沿O-B-C路徑勻速運動，當兩點相遇時運動停止，已知點M的運動速度

為1.5單位/秒，點N的運動速度為1單位/秒，設(shè)運動時間為x秒，AOMN的面積為y,

求當x為何值時y取得最大值？最大值為多少？

3C5CBC

O

備用圖

【答案】(1)60；(2)等；(3)等

【解析】【分析】(1)只要證明aOBC是等邊三角形即可；

(2)求出△AOC的面積，利用三角形的面積公式計算即可；

(3)分三種情形討論求解即可解決問題：①當0<x4時，M在OC上運動，N在OB

上運動，此時過點N作NELOC且交OC于點E.②當|<x-時，M在BC上運動，N

在OB上運動.

③當4<x*.8時，M、N都在BC上運動，作OGJ_BC于G.

【詳解】(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知:OB=OC,ZBOC=60°,

...△OBC是等邊三角形，

.?.ZOBC=60°,

故答案為：60；

(2)VOB=4,ZABO=30°,

.".0A=k)B=2,AB=V3OA=25/3,

SAAOC=|,OAeAB=1x2x2-\/3=2-\/3,

VABOC是等邊三角形，

；./OBC=60。，ZABC=ZABO+ZOBC=90°,

AC=V4B2+BC2=2V7,

?op=2S"OB_W3_2后

,?~AC~2\[7.7，

⑶①當OVxg時，M在OC上運動，N在OB上運動，此時過點N作NELOC且交

OC于點E,如圖，

則NE=ON?sin60°=yx,

SAOMN=?OM?NE=1X1,5xx-yx,

362

/.y=——X

.??x=g時，y有最大值，最大值=竽;

②當g<xW4時，M在BC上運動，N在OB上運動,

如圖，作MH1.OB于H.則BM=8-1.5x,MH=BM?sin60o=y(8-1.5x),

2

.?.y=lxONxMH=-2^X+2A/3X,

當x=|時，y取最大值，y＜竽;

③當4<xWk8時，M、N都在BC上運動，作OG_LBC于G,如圖,

BNGM

圖4

MN=12-2.5x,OG=AB=2V3,

.,.y=|?MN.OG=12V3-芋x,

當x=4時，y有最大值，最大值=2B，

綜上所述，y有最大值，最大值為竽.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換綜合題，涉及到二次函數(shù)的最值，30度的直角三角形的

性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，仔細分析，正確添加輔助線，

分類討論的思想思考問題是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，已知AABC和AADE都是等腰直角三角形，ZACB=ZADE=90°,點F為BE

的中點，連接CF,DF.

①證明：ABFC是等腰三角形；

②請判斷線段CF,DF的關(guān)系？并說明理由；

（2）如圖2,將圖1中的AADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，請判斷（1）中②的結(jié)論是

否仍然成立？并證明你的判斷.

【答案】（1）①證明見解析；②結(jié)論：CF=DF且CFLDF.理由見解析；（2）（1）中

的結(jié)論仍然成立.理由見解析.

【解析】分析：（1）、根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知CF=BF=EF,

根據(jù)NCFD=2/ABC,ZACB=90°,NABC=45。得出NCFD=90°,從而得出答案；（2）、

延長DF至G使FG=DF,連接BG,CG,DC,首先證明4BFG和4EFD全等，然后再

證明4BCG和4ACD全等，從而得出GC=DC,NBCG=/ACD,NDCG=NACB=90。,

最后根據(jù)直角三角形斜中線的性質(zhì)得出答案.

詳解：（1）①證明：；/BCE=90。.EF=FB,；.CF=BF=EH,Z\BFC是等腰三角形.

②解：結(jié)論：CF=DF且CF_LDF.理由如下：

1

VZADE=90°,/BDE=90。，又：/BCE=90。，點F是BE的中點，；.CF=DF=2

BE=BF,

.\Z1=Z3,Z2=Z4,.,.Z5=Z1+Z3=2Z1,Z6=Z2+Z4=2Z2,

...NCFD=N5+/6=2(Z1+Z2)=2NABC,

又「△ABC是等腰直角三角形，且NACB=90。，AZABC=45°,AZCFD=90°,

；.CF=DF且CFJ_DF.

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由如下：

如圖，延長DF至G使FG=DF,連接BG,CG,DC,：F是BE的中點，；.BF=EF,

又

VZBFG=ZEFD,GF=DF,.".△BFG^AEFD(SAS),AZFBG=ZFED,BG=ED

...BG〃DE,「△ADE和4ACB都是等腰直角三角形，

；.DE=DA,/DAE=/DEA=45。，AC=BC,ZCAB=ZCBA=45°,

又；NCBG=NEBG-NEBA-NABC=NDEF-(180°-ZAEB-ZEAB)-45°

=ZDEF-180°+ZAEB+ZEAB-45°=(ZDEF+ZAEB)+ZEAB-225°

=360°-ZDEA+ZEAB-225°=360°-45°+ZEAB-225°=90°+NEAB,

ff0ZDAC=ZDAE+ZEAB+ZCAB=45°+ZEAB+45o=90°+ZEAB,

：.NCBG=NDAC,又：BG=ED,DE=DA,；.BG=AD,又：BC=AC,

.".△BCG^AACD(SAS),；.GC=DC,ZBCG=ZACD,

ZDCG=ZDCB+ZBCG=ZDCB+ZACD=ZACB=90°,

.?.△DCG是等腰直角三角形，又：尸是DG的中點，.?.CFl.DF且CF=DF.

點睛：主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的運用.要

掌握等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)及其判定定理并會靈活應用是解題的關(guān)鍵.

9.如圖1,一副直角三角板滿足AB=BC,AC=DE,ZABC=ZDEF=90°,NEDF=30。

操作：將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF

繞點E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點P,邊EF與邊BC于點Q.

探究一：在旋轉(zhuǎn)過程中，

(1)如圖2,當口=1時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明；

(2)如圖3,當普=2時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；

(3)根據(jù)你對(1)、(2)的探究結(jié)果，試寫出當詈=m時，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)

系式為,其中m的取值范圍是.(直接寫出結(jié)論，不必證明)

探究二：若母=2且AC=30cm,連接PQ,設(shè)4EPQ的面積為S(cm2),在旋轉(zhuǎn)過程中：

(1)S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理

由.

(2)隨著S取不同的值，對應AEPQ的個數(shù)有哪些變化，求出相應S的值或取值范圍.

【答案】探究一：(1)EP=EQ；證明見解析；(2)1:2,證明見解析；

(3)EP：EQ=1：m,，0<mW2+V^；探究二：(1)當x=10V^時，面積最小，是50cm2；

當x=10次時，面積最大，是75cm2.(2)50<S<62.5時，這樣的三角形有2個；當S=50

或62.5<SW75時，這樣的三角形有一個.

【解析】【分析】探究一：(1)連接BE,根據(jù)已知條件得到E是AC的中點，根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)可以證明BE=CE,ZPBE=ZC,根據(jù)等角的余角相等可以證明

NBEP=NCEQ,即可得到全等三角形，從而證明結(jié)論；

(2)作EMJ_AB,EN_LBC于M、N,根據(jù)兩個角對應相等證明AMEPsANWQ,發(fā)

現(xiàn)EP：EQ=EM：EN,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EM：EN=AE：CE；

(3)根據(jù)(2)中求解的過程，可以直接寫出結(jié)果；要求m的取值范圍，根據(jù)交點的

位置的限制進行分析；

探究二：（1）設(shè)EQ=x,結(jié)合上述結(jié)論，用x表示出三角形的面積，根據(jù)x的最值求得

面積的最值；

（2）首先求得EQ和EB重合時的三角形的面積的值，再進一步分情況討論.

【詳解】探究一：（1）連接BE,

根據(jù)E是AC的中點和等腰直角三角形的性質(zhì)，得

BE=CE,NPBE=/C,

又/BEP=NCEQ,

則ABEP也ACEQ,得EP=EQ；

（2）作EMJ_AB,ENJ_BC于M,N,

.\ZEMP=ZENC,

,/NMEP+NPEN=NPEN+/NEF=90°,

.".ZMEP=ZNEF,

.".△MEP^ANEQ,

AEP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；

（3）過E點作EM_LAB于點M,作ENJ_BC于點N,

?.,在四邊形PEQB中，ZB=ZPEQ=90°,

.../EPB+NEQB=180。（四邊形的內(nèi)角和是360。），

又；/EPB+NMPE=180。（平角是180°）,

；./MPE=NEQN（等量代換），

.".RtAMEP^RtANEQ,

.EP_ME

**~EQ-'ENf

在RtAAME^RtAENC,

?CEEN

??一=m=一，

EAME

?EEP__1_4E

EQmCE'

EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為EP：EQ=1：m,

A0<m<2+V6；（當m>2+乃時，EF與BC不會相交）.

探究二：若AC=30cm,

（1）設(shè)EQ=x,則S=[x\

所以當x=10/時,面積最小,是50cm2；

當x二10次時，面積最大，是75cm5

(2)當*=￡8=5舊時，S=62.5cm+

故當50<SW62.5時，這樣的三角形有2個；

當S=50或62.5VSW75時，這樣的三角形有一個.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，

相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強，正確添加輔助線，熟練運用等腰直角三角形

的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)進行求解是關(guān)鍵.

10.【問題背景】

如圖①所示，在正方形ABCD的內(nèi)部，作NDAE=NABF=NBCG=NCDH,根據(jù)三角

形全等的條件，易得ADAE名△ABFgZkBCGgZ\CDH,從而得到四邊形EFGH是正

方形.

【類比研究】

如圖②所示，在正AABC的內(nèi)部，作NBAD=NCBE=NACF,AD,BE,CF兩兩相交

于D,E,F三點(D,E,F三點不重合).

(1)AABD,ABCE,ACAF是否全等？如果是，請選擇其中一對進行證明；

(2)ADEF是否為正三角形？請說明理由；

(3)連結(jié)AE,若AF=DF,AB=7,求ADEF的邊長.

【答案】(1)AABD^ABCE^ACAF；理由見解析；(2)4DEF是正三角

形；理由見解析；(3)V7

【解析】分析：(1)由正三角形的性質(zhì)得出NCAB=NABC=NBCA=60。，AB=BC,證

出NABD=/BCE,由ASA證明4ABD絲ZXBCE即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出/ADB=NBEC=NCFA,證出NFDE=/DEF=/EFD,

即可得出結(jié)論；

(3)先判斷出AF=FD=EF,進而得出NFAE=FFEA=30。,即：ZDEA=90°,再用勾股

定理得出AE,即可得出結(jié)論.

詳解：(1)△ABDgaBCEgaCAF；理由如下：

「△ABC是正三角形，

AZCAB=ZABC=ZBCA=60°,AB=BC,

VZABD=ZABC-ZCBE,ZBCE=ZACB-ZACF,ZCBE=ZACF,

.".ZABD=ZBCE,

在AABD和ABCE中，

r/.BAD=^BCE

■AB=BC,

^Z-ABD—Z.BCE

.".△ABD^ABCE(ASA)；

同理：AABD^CAF,

即：AABD^ABCE^ACAF

(2)ADEF是正三角形；理由如下：

:AABD^ABCE^ACAF,

NADB=/BEC=NCFA,

ZFDE=ZDEF=ZEFD,

...△DEF是正三角形；

(3),.,△DEF是正三角形,

.\ZDFE=ZFDE=60°,

又AF=FD,

；.AF=FD=EF,

；.NFAE=/FEA=30°,

ZDEA=90°,

設(shè)DE=x,則AD=BE=2x,

在RtAADE中，AE2=AD2-DEMX2,

在RtZ^ABE中，AB=7,AB2=BE2+AE2,

即，49=4X?+3X2,

：.x—H(舍)或x=V7,

.?.△DEF的邊長為V7.

點睛：此題是四邊形綜合題，主要考查了正三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與

性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握正三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題

的關(guān)鍵.

11.【問題探索】如圖1,在R3ABC中，NACB=90。，AC=BC,點D、E分別在AC、BC

邊上，DC=EC,連接DE、AE、BD,點M、N、P分別是AE、BD、AB的中點，連接

PM、PN、MN.探索BE與MN的數(shù)量關(guān)系。聰明的小華推理發(fā)現(xiàn)PM與PN的關(guān)系為

最后推理得到BE與MN的數(shù)量關(guān)系為

【深入探究】將ADEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，判斷（1）中的BE與MN

的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，如果成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；

【解決問題】若CB=8,CE=2,在將圖1中的ADEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，

當B、E、D三點在一條直線上時，求MN的長度.

CEBcBcEB

圖1圖2備用圖

【答案】PM=PN,PM±PN,BE=&MN

【解析】試題分析：（1）問題探索：M、N、P分別是AE、BD、AB的中點，所以MP、NP

分別是AAEB、AADB的中位線，PNAC,PMBC可得AD=EB,所以可得PM=PN,PM_LPN.

BE=2PM,MN=J^PM,從而得到BE與MN的關(guān)系。⑵深入探究：通過連AD,延長BE

交AD于點G,將PM、PN放在兩個全等的三角形即^ADC絲△BEC來證明PM=PN,再

證NAGB=90。（3）解決問題：

【問題探索】M、N、P分別是AE、BD、AB的中點，

.?.PM,PN分別是AAEB、AADB的中位線，

口101

.-?PMBC且PM=-BE,PNAC且PN=-AD

NACB=90°,

.-?PM1PN.

又AC=BC,DC=EC

???AD=BE

...PM=PN

.?.PM=PN,PM1PN,

BE與MN的數(shù)量關(guān)系為BE=>/2MN,

PM=PN,PM±PN

■??APMN為等腰直角三角形，

.-.MN=V2PM

BE=2PM

???BE=V2MN

【深入探究】

成立，理由：如圖連接AD,延長BE交AD與G。

已知NACB=NACE+/ECB=90",ZDCE=ZACE+ZDCA=90"

???ZECB=ZDCA

CA=CB,CD=CE

.-.△ADC^ABEC

；.AD=BE

M、N、P仍是AE、BD、AB的中點，

Q1口1

.?■PMBE且PM=-BE,PNADKPN=-AD

22

；.PM=PN

又Z^ADC絲Z\BEC

???ZDAC=ZEBC

ZEBC+ZABE+ZCBA=90°

ZDAC+/CBA+/ABE=90°

BG1AD

?-.PM1PN

因止匕MN=V2PM,

PM=-BE

2

.??BE=V2MN

【解決問題】

由上題已知BE=J^MN,①當ADEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，^ADC

g△BEC,_LAO,;.AD=EB,AD,+BDJAB）設(shè)AD=EB=x,CB=8,CE=2,.,.（x+2拉）

2+x2=（8及R解得x=±V62-V2,x=—癡一0（舍去），所以BE=J&—

所以，MN=V31-1

CB

圖3

②當ADEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖4的位置時，AADC^ABEC,BD±AD,.-.AD=BE

設(shè)BE=x,因為AO,.?.Z\ADB是直角三角形，，.AD2+BD2=AB;!,二（x-20）2+

X2=128解得x=±\/62+>/2,x=-V62+V2（舍去）,.'.BE=x/62+>/2,.,.MN=

南+1

圖4

所以MN的值為a-1或a+1

12.我們定義:如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做“等高底

三角形，這條邊叫做這個三角形的“等底”。

(1)概念理解：

如圖1,在4aBe中/C=6,BC=3.Z71CB=30。,試判斷44BC是否是“等高底”三角形，

請說明理由.

(2)問題探究：

如圖2,4ABe是“等高底”三角形,BC是“等底”，作ZMBC關(guān)于BC所在直線的對稱圖形得

至必ABC,連結(jié)力4交直線BC于點D.若點B是4A4'C的重心，求言的值.

(3)應用拓展：

如圖3,已知4與，2之間的距離為2.“等高底”44BC的“等底”BC在直線上,點力在

直線％上,有一邊的長是BC的企倍.將A4BC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到ZM'BCA'C

所在直線交％于點。.求C。的值.

(K1)(0B2)(S3)

【答案】⑴證明見解析；⑵噤=絹(3)CD的值為171^,2魚,2

BC23

【解析】分析：(1)過點A作直線CB于點。，可以得至ljAD=BC=3,即可得到

結(jié)論；

(2)根據(jù)人48(：是‘'等高底"三角形，8(?是''等底"，得至1」4力=8€',再由A4'BC

與A4BC關(guān)于直線8c對稱，得到NADC=90°,由重心的性質(zhì)，得到BO2BD.設(shè)

BD=x,則AO=BC=2x,CD=3x,由勾股定理得AC=gr,即可得到結(jié)論；

(3)分兩種情況討論即可：①當A8=&BC時，再分兩種情況討論；

②當AC=V^BC時，再分兩種情況討論即可.

詳解：(1)是.理由如下：

如圖1,過點A作AOL直線CB于點￡>,

AAOC為直角三角形，ZADC=90°.

ZACB=30°,AC=6,：.AD」AC=3,

2

???AD=BC=3,

即AABC是“等高底”三角形.

B

圖1

⑵如圖2,AABC是“等高底”三角形，3C是“等底”，.,.AQ=8C,

△/!'BC與AABC關(guān)于直線BC對稱，ZADC=90a.

?.?點8是AA4'C的重心，ABC=2BD.

設(shè)BQ=x,則AD=BC=2x,:.CD=3x,

由勾股定理得AUgx,

?AC__Ax_-/13

..BC-2x-2

帕2

(3)①當A8=&C時，

I.如圖3,作AE_L/i于點E,。口LAC于點只

：“等高底”AABC的“等底”為BC,11//12,

/i與6之間的距離為2,AB=y/2BC,

：.BC=AE=2,AB=2\[2,

:.BE=2,即EC=4,；.AC=2后

,/AABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45。得到M'B'C,：.ZCDF=45°.

設(shè)DF=CF=x.

V/1///2,AZACE^ZDAF,.?.器=^1=±即AF=2x.

.".AC-3x-2y/5,可得4|V5,CD=V2x=^\/T0.

II.如圖4,此時A4BC是等腰直角三角形，

,/MBC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45。得至IJAA'B'C,

/.AACD是等腰直角三角形,

CD=V2AC=2^2.

BZNCZZ.

圖4

②當AC=V^BC時,

1.如圖5,此時AABC是等腰直角三角形.

,/△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到A4'B'C,

C±/,,；.CD=AB=BC=2.

垃；

RC'

國5

II.如圖6,作AE_L/1于點E,則AE=8C,

：.AC=\[2BC=V2AE,：.ZACE=45°,

AABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到A4'B'C時,

點A'在直線。上，

.?.A'C〃/2，即直線4'C與，2無交點.

陽6

綜上所述：C。的值為|V1U,2V2,2.

點睛：本題是幾何變換-旋轉(zhuǎn)綜合題.考查了重心的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及

閱讀理解能力.解題的關(guān)鍵是對新概念“等高底”三角形的理解.

13.在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且NEAF=NCFF=45。

⑴將AADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABG（如圖1）,求證：BE+DF=EF；

⑵若直線EF與AB、AD的延長線分別交于點M、N（如圖2）,求證:EF2=ME2+NF2

⑶將正方形改為長與寬不相等的矩形，其余條件不變（如圖3）,直接寫出線段

EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG,ZEAF=ZGAE=45°,故可證AAEG^4AEF；

（2）將AADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。,得到4ABG,連結(jié)GM.由（1）知AAEG絲4AEF,

則EG=EF.再由^BME、ADNF>ACEF均為等腰直角三角形，得出

CE=CF,BE=BM,NF=&DF,然后證明/GME=90。，MG=NF,利用勾股定理得出

EG2=ME2+MG2,等量代換即可證明EF2=ME2+NF2；

(3)延長EF交AB延長線于M點，交AD延長線于N點，將AADF繞著點A順時針

旋轉(zhuǎn)90。，得到AAGH,連結(jié)HM,HE.由(1)知AAEH絲ZXAEF,結(jié)合勾股定理以及

相等線段可得(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,所以2(DF2+BE2)=EF2.

【詳解】

(1)證明：；AADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AABG,

；.AF=AG,ZFAG=90°,

ZEAF=45°,

；.NGAE=45。，

在AAGE與ZkAFE中，

fAG=AF

<^GAE=/.FAE=45°，

(AE=AE

.,.△AGE^AAFE(SAS)；

圖①

(2)證明：設(shè)正方形ABCD的邊長為a.

將4ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABG,連結(jié)GM.

由（1）知AAEGgaAEF,

EG=EF.

VZCEF=45°,

.,.△BME、ADNF>ACEF均為等腰直角三角形,

，CE=CF,BE=BM,NF=V2DF,

:.a-BE=a-DF,

ABE=DF,

??.BE=BM=DF=BG,

.,.ZBMG=45°,

???ZGME=45°+45°=90°,

.".EG2=ME2+MG2,

VEG=EF,MG=V2BM=V2DF=NF,

.\EF2=ME2+NF2；

(3)解：EF2=2BE2+2DF2.

如圖所示，延長EF交AB延長線于M點，交AD延長線于N點,

將4ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AAGH,連結(jié)HM,HE.

圄③

由(1)^IAAEH^AAEF,

貝由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,

即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2

又；.EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,

即2(DF2+BE2)=EF2

【點睛】

本題是四邊形綜合題，其中涉及到正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性

質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理.準確作出輔助線利用數(shù)形

結(jié)合及類比思想是解題的關(guān)鍵.

14.請認真閱讀下面的數(shù)學小探究系列，完成所提出的問題：

D

D

CBE「B

圖1圖20圖33

(1)探究1:如圖1,在等腰直角三角形A8C中，乙4cB=90。，BC=a,將邊A8繞點

8順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段8。，連接CD.求證：ABC。的面積為：a2.(提示：過點。作

8c邊上的高Z>E,可證△ABC注ABDE)

(2)探究2：如圖2,在一般的Rt△4BC中，乙4cB=90。，BC=a,將邊A3繞點5順

時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BI),連接CD.請用含a的式子表示△BCD的面積，并說明理由.

(3)探究3