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文檔簡介
§3
0,1P(A)
,觀察擲出的點數(shù)S={1,2,3,4,5,A3{3,4,5,=PAA中樣本點的個數(shù)=S中樣本點的個數(shù)
4=2 P(A)?P(A)£)=P(S)=(5)若AB=P(AB)=P(A)+P(B).引例2考慮一個點等可能地隨機落在[0,1]區(qū)間 設(shè)A00.3,PA) A
=0.3=整個區(qū)間的長 引例2考慮一個點等可能地隨機落在[0,1]區(qū)間 設(shè)An表示點落
,1,n=1,2,, n+ n A1A2,兩兩互斥
A
P(An 設(shè)A是試驗E的,在相同的條件下將試n次試驗中A發(fā)生的次數(shù)fn(A) 是n次獨立重復(fù)試驗中,A發(fā)生的頻率(frequency)0£fn(A)£1.fn(S)=1,fn)=0.A1A2Am互不相容則mmnifA=mmni
fn(Ai).i
i NADeJ.J.J.J.K.K.P(.)是A的集合函. 非負性:對于任何A,有P(A)?規(guī)范性:PS可列可加性:設(shè)A1,A2,是兩兩互不相容的,則
A=
P(Aiii i
i二、概率的性P(f)=0.A1A2f則A1,A2,是兩兩互不相容 iP()=Pi
P(A
==ii =i所以P(f)0.
i i
nniPA=P(Ai).nnii
n¥=¥
且
=Ai
i i PAi=PAi
P(Ai)=P(Ai)+P(Aii
i
i
i= =P(Ai)+P(f)=P( i= iABS(2)若ABf,ABSP(AB)=P(A)+P(B).AAS(2¢)對任何A,都AASAA=fP(AA)=P(A)+P(AA=SP(A)=1-P(A).P(S)=1
若 B,則P(B-A)=P(B)-P(BSBSP(B)=P(A)+P(B-P(B-A)=P(B)-P(A)? 若 B,則P(A)£P(guān)(B), 特別地,P(A)£ABS(3)ABABSP(B-AB)=P(B)-P( P(A-AB)=P(A)-P(AB). ABABS 設(shè)P(A)=1/3,P(B)=1/2,分別在如下三種情形下求P(BA).ABSSB SBASBASB(3)P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(ABAB(4.1)對任何兩個A,B,都P(AB)=P(A)+P(B)-P(證明AB=A(B- AA(B-AB)=P(AB)=P(A)+P(B- BP(B-AB)=P(B)-P(P(AB)=P(A)+P(B)-P((4.1)兩個和的概率P(AB)=P(A)+P(B)-P(P(ABC =P(A)+P(B)+-P(AB)-P(BC)-P(AC)+(4.3)對任何n nnAi=nn
P(
)-P(AiAji
i
1£i<j£+P(AiAjAk1££j££n+
(-1)n-
Anii nie1,e2,e1,e2,可能性大PA)A中樣本點的個數(shù)S中樣本點的個數(shù) S={(H,H),(H,T),(T,H),A={(H,H),(H,T),4P(A) 34m ,…
n1+n2+…+第一個步驟有n1種方法,第二個步驟有n2種方法,…
n1· (1£k£n)次,(1)
nPk n
nnkn時稱全排列Ann(n-1)(n2)21n(1)
1234n=4,k134123123第1234n=4,k134123123224 444
n個不同元素中任取k(1£k£n)n此種組合總數(shù)為Ck.n排列與組合的關(guān)系:(1) nkAk=Cnnk
k!Ck= nkk!nkCk
.= . Cnn =Cn-k,k=1,2,,n,CnnCnnn=C0=1.Cnn 抽樣.求下列的概率.解:設(shè)A=“取到的兩只球都是白球B=“取到的兩只球都是紅球”,CD CP(A)=—C62A2P(B)=
26或C或C2C=
P(C)=1-D=AB,AB= A取到的數(shù)6B取到的數(shù)8
求PA<33, =<33, =25,
83<2000 P(A)=333 P(B)=250
24P(AB)
< 2000 2000
2000A=“取到的數(shù)6B=“取到的數(shù)8整除AB=AP(AB)=P(AB)=1-P(AP(AB)=P(A)+P(B)-P(
求PAP(AB)=1-[P(A)+P(B)-P( 設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品次正次N-M正N件中任取n件,n≤min次正次N-M正求其中恰有k(k≤n)件次品概率解:設(shè)A恰有kC Cn-P(A)=M
N-MCN設(shè)有n個球,每個球都以同樣的概率1/N落123n123n231N231N 落入到N個盒子中的每一個盒子,(N?n),B=“恰有nC=“123n 123n231N……N-231NC CP(A) N P(B)=———NNB=“恰有nC=“有n個人,每個人都以相同的概率1/N(N≥n)N間的任意一間,求指定的n間房人人 的概率(n≤365).AnCnnP(A) Cnn
,P(A)=1-P(365 AB=AP(B)=1-P(B)=1-P(AB)C C C30 =1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1- 50+80-30 C C
§5引例擲兩顆均勻,設(shè)B=“第一顆擲出6點{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),
在縮減樣本空間A所含樣本點個其中只有3個A中.PA|B3ABS已知B發(fā)生,求P(A|B)ABS AB
AB中樣本點的個數(shù)SB中樣本點的個數(shù)SS中樣本點的個數(shù)
=P(AB)P(B)PP(A|B)=P(AB)
設(shè)A、B是兩個,且P(B)>0,則P(A|B)=P(P(B)P(B|A)=P(P(非負性:對于每一A,有P(AB)?規(guī)范性:對于必然S,有P(S|B)=可列可加性:設(shè)A1,A2,是兩兩互不相容的事 則PAiBP
B).i i證明(3)設(shè)A1,A2,是兩兩互不相容的,
AB
ABiiPiii
Bii¥
i P(B)
=i P(B)P(AiB)=i P(B)
=¥i¥
P(AiB)P(B)
=¥i¥
P(
B).設(shè)B是一,且P(B)>0,P(f|B)A1A1A2互斥,則P((A1A2)B)P(AB)P((A1A2)B) 2件二等品.從中取產(chǎn)品2次,每次任取一件,記B
P(A|
2=1
= A A15P(A|B)?P(或P(A|B)£P(guān)(例設(shè)A擲出2點”,B1B2
P(A)=16P(A|B1)=13P(A|B2)=B3=“擲出點數(shù)小于
P(A|B3)=16
P(A|B)=在已知P(B),P(A|B)時,可反解出P(AB).
P(B0.96,PA|B0.75由題意,AP(ABC)=P(AB)P(C|=P(A)P(B|A)P(C|P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An- 其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,設(shè)Ai“第i個人抽到入場券”,i=1234Ai表示“第i個人未抽到入場券”.顯然,P(A1)=1/5,P(A1)=4/5.由于A2=A1A2 P(A2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2|P(A2(4/5)(1/4 P(A3)=P(123)=(1(A2|A1)P(A3|=(4/5)(3/4)(1/3)=繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn),每個人抽到“入場券”. 10解設(shè)A、B、C分別表示甲、乙、丙抽到難題簽P(A)= =2
,P(AB)=P(A)P(B|A)=·= P(AB)=P(A)P(B|A)=6·4=4 = (4)P(ABC)=P(A)P(B|A) ·
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