高考高頻考點平面向量奔馳定理

SSSS=x:y:zABOCACOAAAOB平面向量奔馳定理與三角形四心已知O是AABC內(nèi)的一點，ABOC,AAOC,AAOB的面積分別為S,S,S,求證:ABCS.OA+S?OB+S.OC=0ABC如圖2延長OA與BC邊相交于點D則BDSSS—SS 二,,AABD=,,ABOD=/AABD——ABOD=—CDCSSS-SSTOC\o"1-5"\h\zAACD ACOD ACDACOD B圖1OD=DCOB+BDOC圖1BC BCSBOB+SCOCS+SS+SBC BC?/ODSSS+SS =bod=—COD=BOD COD-= A——OASSS+SS+SBOACOABOACOABC圖2二?OD"——S^OAS+S

BCOCOC?_S? A—S+SBC

OA=——B_g_s+SBC

OB+S,S+SBC?二S.OA+S.OB+S.OC=0ABC推論：O是AABC內(nèi)的一點，且X.OA+y.OB+z.OC=0，則

有此定理可得三角形四心向量式O是AABC的重心oSSS=1:1:1oOA+OB+OC=0ABOCACOAAAOBO是AABC的內(nèi)心oSSS=a:b:coa.OA+b.OB+c.OC=0ABOC:ACOA:AAOBO是AABC的外心oS:S:S =sin2A:sin2B:sin2CABOC:ACOA:AAOB=osin2A.OA+sin2B.OB+sin2C.OC=0O是AABC的垂心oS:S:S=tanA:tanB:tanCABOC:ACOA:AAOB=otanA.OA+tanB.OB+tanC.OC=0CD CD證明：如圖O為三角形的垂心，tanA=,tanB= ntanA.tanB-DB:ADAD DBS:S=DB:ADABOC:ACOA…S.StanA:tanBABOC:ACOA=同理得S:同理得S:SACOA:AAOB=tanB:tanC，S:S=tanA:tanCABOC:AAOB=ABOC ACOA AAOB…S.S.S=tanABOC ACOA AAOB奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一4.三2角形“四心”的相關(guān)向量問題一．知識梳理：四心的概念介紹：重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1；垂心：高線的交點，高線與對應(yīng)邊垂直；內(nèi)心：角平分線的交點(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；外心：中垂線的交點(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點的距離相等。?與“重心”有關(guān)的向量問題已知G是匕ABC所在平面上的一點，若GA+GB+GC=0，則G是^ABC的A.重點 B.外心仁內(nèi)心 D.垂心如圖⑴O圖⑵如圖⑴O圖⑵已知O是平面上一定點，AB，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP=OA+九(AB+AC)，Xe(0,+8)，則P的軌跡一定通過^ABC的工重點 ■外心仁內(nèi)心D.垂心【解析】由題意AP=MAB+AC),當(dāng)Xe(0,+s)時，由于X(AB+AC)表示BC邊上的中線所在直線的處，所以動點P的軌跡一定通過^ABC的重心，如圖⑵3.0是^ABC所在平面內(nèi)一點，動點P滿足》二皿+X(-=^—+-=^—(|AB|sinB|AC|sinCe(0,8)),則動點P的軌跡一定通過^ABC的()

A.內(nèi)心B,重心C,外心 D,垂心解：作出如圖的圖形ADLBC,由于|AB|sinB=|AC|sinC=AD,?\OP=OA+（一甲 +一f ）=0■+?:?（研+AC）|ABlsinB|AClsinC1^1由加法法則知，P在三角形的中線上故動點P的軌跡一定通過^ABC的重心故選：B.?與“垂心”有關(guān)的向量問題P是^abc所在平面上一點，若Pa.Pb=pb.PC=PC.Pa，則p是^abc的A.重點 B.外心 仁內(nèi)心D.垂心【解析】由PA?PB=PB?PC,得P-JAPC)=0，即PB(^A=0，所以PB±CA.同理可證PC-AB-理可證PC-AB-,PA-^B.C.二P是公ABC的垂心,如圖⑶圖⑶ 圖⑷已知O是平面上一定點，AB,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足(OP(OP=OArX +、aBcosB、AC,ACcosCXe（0,+s）,則動點P的軌跡一定通過^ABC的^ ——A.重點 B.外心 仁內(nèi)心D.垂心【解析】由題意AP二九由于AB -+ABcosB\AB -+ABcosB\ACACcosC7TB?BCACC?BC +I ABcosBACCcosCACACcosC7二BC|-|CB|=0所以AP表示垂直于BC的向量，即P點在過點4且垂直于BC的直線上，所以動點P的軌跡一定通過^ABC的垂心，如圖⑷若H為^ABC所在平面內(nèi)一點，且|研+BC2=|hb|2+|ca|2=HC2+|ab|2則點h是^ABC的A,重點B,外心C,內(nèi)心D,垂心且AB且AB=c,AC二b,BC二a.若證明：HA2-HB2-CA2-BC2????.（HA+HB）?BA=（CA+CB）?BA得（ha+HB-CA-CB）?Ba=0即（HC+HC）?BA=0 AB1HC同理Ac1HB,BC1HA,故H是4ABC的垂心?與“內(nèi)心”有關(guān)的向量問題已知I為△ABC所在平面上的一點aIA+blBcIC，則I是^ABC的垂心.A.重點B,外心C,內(nèi)心D.垂心圖⑸【解析】???IB=IA+AB,IC=IA+AC，則由題意得(a+b+c)IA+bAB+cAC=0,?.??.?bAB+cAC=|AC|-AB+|AB|-AC=|ac|?|ABABABAC+ AC. (一.AbcABAC. (一.AbcABACAI=+a+b+c^|ab||AC|)?? 1與? 1分別為AB和AC方向上的單位向量，,lABllAClAI與ZBAC平分線共線，飛AI平分ZBAC-.同理可證：BI平分ZABC,CI平分ZACB.從而I是4ABC的內(nèi)心，如圖⑸已知O是平面上一定點，AB,C是平面上不共線的三個點，動點尸滿足OP二(—OP二(——AOA+九三+王、網(wǎng)困,九￡(0,+8)，則動點P的軌跡定通過△ABC的A.A.重點B.外心C,內(nèi)心D,垂心【解析】由題意得AP=\ABAC

【解析】由題意得AP=\ABAC

一十一ABAC

7.,?當(dāng)XG(0,+8)時,AP表示ZBAC的平分線所在直線方向的向量，故動點子的軌跡一定通過^ABC的內(nèi)心，如圖⑹O在△ABC所在的平面內(nèi)：OA-CAC|AC|ABIAB|)=0B.(■■OA-CAC|AC|ABIAB|)=0B.(■■BC|BC|裔尸疝3w)=0,則UO>^ABC的()A,垂心B,重心C,內(nèi)心 D,外心

解「響量管的模等于1,因而向量管是單位向量，向量里—冬和等都是單位向量|BA||BC||BC|，由向量萼 名為鄰邊構(gòu)成的四邊形是菱形，|AC||AB|可得AO在NBAC的平分線上同理可得OB平分/ABC,OA平分/ACB,AO是^ABC的內(nèi)心.?與“外心”有關(guān)的向量問題已知O是^ABC所在平面上一點，若OA2=OB2=OC2，則O是^ABC的A.重點B.外心C內(nèi)心A.重點B.外心C內(nèi)心D.垂心圖⑻圖⑺【解析】若OA2=OB2=OC2，則UOA之=OB2=OC2,.?.OA=OB=OC,則O是△ABC的外心，如圖⑺。已知O是平面上的一定點，AB，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足

OP=OB+OC

2OP=OB+OC

2AB 十ABcosBACACcosC7九￡(0,+8),則動點P的軌跡一定通過△ABC的 。一＞ 一＞A,重點 B,外心 C,內(nèi)心 D,垂心【解析】由于OB+OC~~2【解析】由于OB+OC~~2過BC的中點,當(dāng)九￡(0,+8)時，AB 十ABcosB、ACACcosC7示垂直于BC的向量(注意：理由見二、條解釋。)，所以P在B中直平分線上動點P的軌跡一定通過△ABC的外心，如圖⑻?四心的相互關(guān)系.三角形外心與垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)^ABC的外心為O，則點H為^ABC的垂心的充要條件是OH=OA+OB+OC。.三角形外心與重心的向量關(guān)系及應(yīng)用 一一一一設(shè)^ABC的外心為O，則點G為^ABC的重心的充要條件是0G=1(0A+OB+OC).三角形的外心、重心、垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)^ABC的外心、重心、垂心分別為O、G、H，則O、G、H三點共線(O、G、H三點連線稱為歐拉線)，且OG=1GH。2相關(guān)題目10.設(shè)^ABC外心為0,重心為G,取點H,使瓦+麗+瓦二麗.求證：(1)H是△ABC的垂心；(2)0,G,H三點共線，且OG：GH=1：2.【解答】證明：(1)??FABC外心為0,/.|0A|=|0B|=|0C|又「贏+麗+女二面AOA-OH=AH=-(OB+OC)則由'■而而+左)(oc-ob