初中數(shù)學(xué)的十大解題方法

初中數(shù)學(xué)的十大解題方法學(xué)校數(shù)學(xué)的十大解題方法

1、配方法

所謂配方，就是把一個解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用非常特別廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都常常用到它。

例題：

用配方法解方程x2+4x+1=0，經(jīng)過配方，得到()

A．(x+2)2=5B．(x－2)2=5C．(x－2)2=3D．(x+2)2=3

【分析】配方法：若二次項系數(shù)為1，則常數(shù)項是一次項系數(shù)的一半的平方，若二次項系數(shù)不為1，則可先提取二次項系數(shù)，將其化為1后再計算。

【解】將方程x2+4x+1=0，

移向得：x2+4x=－1，

配方得：x2+4x+4=－1+4，

即(x+2)2=3；因此選D。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有很多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。

例題：

若多項式x2+mx-3因式分解的結(jié)果為（x-1）（x+3），則m的值為（）

A．-2B．2C．0D．1

【分析】依據(jù)因式分解與整式乘法是相反方向的變形，先將（x-1）（x+3）乘法公式綻開，再依據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等求出m的值。

【解】∵x2+mx-3因式分解的結(jié)果為（x-1）（x+3），

即x2+mx-3=（x-1）（x+3），

∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3，∴m=2；因此選B。

3、換元法

換元法是數(shù)學(xué)中一個特別重要而且應(yīng)用非常廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個比較簡單的數(shù)學(xué)式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易于解決。

例題：

已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，則x2+y2的值為（）

A．-5或1B．1C．5D．5或-1

【分析】解題時把x2+y2當(dāng)成一個整體來考慮，再運用因式分解法就比較簡潔

【解】設(shè)x2+y2=t，t≥0，則原方程變形得

(t+1)(t+3)=8，化簡得：

(t+5)(t-1)=0，

解得：t1=-5，t2=1

又t≥0

∴t=1

∴x2+y2的值為只能是1．

因此選B．

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a≠0）根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，討論函數(shù)乃至幾何、三角運算中都有特別廣泛的應(yīng)用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)等簡潔應(yīng)用外，還可以求根的對稱函數(shù)，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問題等，都有特別廣泛的應(yīng)用。

5、待定系數(shù)法

在解數(shù)學(xué)問題時，若先推斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后依據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最終解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。

例題：

6、構(gòu)造法

在解題時，我們經(jīng)常會采納這樣的方法，通過對條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造幫助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數(shù)、一個等價命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)學(xué)問相互滲透，有利于問題的解決。

例題：

如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分線交BC于點D。求證：AB＋BD＝AC

【分析】若遇到三角形的角平分線時，常構(gòu)造等腰三角形，借助等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，往往能夠找到解題途徑。

【解】延長CB到點F，使BF=AB，連接AF，則△BAF為等腰三角形，且∠F=∠1.再依據(jù)三角形外角的有關(guān)性質(zhì)，得出∠ABD=∠1+∠F,即∠ABD=2∠1=2∠F，而∠ABD=2∠C，所以∠C=∠1=∠F，△AFC為等腰三角形，即AF=AC，又可得△FAD為等腰三角形,因此，AF=DF=DB+BF=DB+AB,即AB＋BD＝AC。

7、反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)動身，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致沖突，從而否定相反的假設(shè)，達到確定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。

反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，把握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出沖突的過程沒有固定的模式，但必需從反設(shè)動身，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必需嚴謹。導(dǎo)出的沖突有如下幾種類型：與已知條件沖突；與已知的公理、定義、定理、公式?jīng)_突；與反設(shè)沖突；自相沖突。

例題：

若P是兩條異面直線l、m外的任意一點，則()

A．過點P有且僅有一條直線與l、m都平行B．過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直C．過點P有且僅有一條直線與l、m都相交D．過點P有且僅有一條直線與l、m都異面

【分析】對于A，若存在直線n，使n∥l且n∥m則有l(wèi)∥m，與l、m異面沖突；對于C，過點P與l、m都相交的直線不肯定存在，反例如圖(l∥α)；對于D，過點P與l、m都異面的直線不唯一．

【答案】B

8、面積法

平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關(guān)系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置幫助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來，通過運算達到求證的結(jié)果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置幫助線，也很簡單考慮到。

例題：

如圖2，C是線段AB上的一點，△ACD、△BCE都是等邊三角形，AE、BD相交于O。求證：∠AOC=∠BOC。

證明：過點C作CP⊥AE，CQ⊥BD，垂足分別為P、Q。由于△ACD、△BCE都是等邊三角形，所以AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE，所以∠ACE=∠DCB所以△ACE≌△DCB所以AE=BD，SABC=SDBC，可得CP=CQ所以O(shè)C平分∠AOB即∠AOC=∠BOC

9、幾何變換法

在數(shù)學(xué)問題的討論中，經(jīng)常運用變換法，把簡單性問題轉(zhuǎn)化為簡潔性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習(xí)題，可以借助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的討論和運動中的討論結(jié)合起來，有利于對圖形本質(zhì)的`熟悉。

幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）對稱。

例題：1.平移變換把圖形中的某一個線段或者一個角移動到一個新的位置，使圖形中分散的條件緊密地結(jié)合到一起。一般有2種方法：1.平移已知條件

2.平移所求問題，把所求問題轉(zhuǎn)化，其實就是逆向證明。幾何題多數(shù)都是逆向思索的。

2.旋轉(zhuǎn)變換把平面圖形繞旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)一個定角，使分散的條件集中在一起.

3.對稱變換通過作關(guān)于某始終線或一點的對稱圖，把圖形中的圖形對稱到另一個位置上，使分散的條件集中在一起。當(dāng)消失以下兩種狀況時，常?？紤]用此變換：1.消失了明顯的軸對稱、中心對稱條件時。2.消失了明顯的垂線條件時。

10.客觀性題的解題方法

選擇題是給出條件和結(jié)論，要求依據(jù)肯定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構(gòu)思精致，形式敏捷，可以比較全面地考察同學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)問和基本技能，從而增大了試卷的容量和學(xué)問掩蓋面。

填空題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標(biāo)明確，學(xué)問復(fù)蓋面廣，評卷精確?????快速，有利于考查同學(xué)的分析推斷力量和計算力量等優(yōu)點，不同的是填空題未給出答案，可以防止同學(xué)猜估答案的狀況。

要想快速、正確地解選擇題、填空題，除了具有精確?????的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實例介紹常用方法。

（1）直接推演法：直接從命題給出的條件動身，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題方法，這種解法叫直接推演法。

（2）驗證法：由題設(shè)找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代入法）。當(dāng)遇到定量命題時，常用此法。

（3）特別元素法：用合適的特別元素（如數(shù)或圖形）代入題設(shè)條件或結(jié)論中去，從而獲