第五章三角函數(shù)57的應(yīng)用

第五章5.7三角函數(shù)的應(yīng)用1.會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題.2.體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.課標要求素養(yǎng)要求通過實際問題，構(gòu)建三角函數(shù)數(shù)學(xué)模型，重點提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究11.在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺讼迪?，簡諧運動可以用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.(1)A就是這個簡諧運動的_______，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的__________；最大距離(2)簡諧運動的周期是_________它是做簡諧運動的物體往復(fù)運動一次所需要的時間；(3)簡諧運動的頻率由公式______________給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)；(4)__________

稱為相位；x＝0時的相位φ稱為______.ωx＋φ初相振幅2.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，在刻畫周期變化預(yù)測其未來等方面發(fā)揮著十分重要的作用.具體地，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，先畫出相應(yīng)的“散點圖”，觀察散點圖，然后進行函數(shù)擬合獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實際問題.1.思考辨析，判斷正誤(1)數(shù)據(jù)擬合問題實際是根據(jù)提供的數(shù)據(jù)畫出簡圖，求出相關(guān)的函數(shù)解析式，根據(jù)條件對所給問題進行預(yù)測和控制.(

)√√(3)在建立具有周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型時只能用y＝Asin(ωx＋φ)＋b來刻畫.(

)提示

y＝Acos(ωx＋φ)＋b亦可.×2.53πx－π1課堂互動題型剖析2題型一已知三角函數(shù)圖象解決應(yīng)用問題∴ω≥300π>942，又ω∈N*，故所求最小正整數(shù)ω＝943.已知三角函數(shù)圖象解決應(yīng)用問題，首先由圖象確定三角函數(shù)的解析式，其關(guān)鍵是確定參數(shù)A，ω，φ，同時在解題中注意各個參數(shù)的取值范圍.思維升華【訓(xùn)練1】彈簧振子以O(shè)為平衡位置，在B，C兩點間做簡諧運動，B，C相距20cm，某時刻振子處在B點，經(jīng)0.5s振子首次到達C點，求：(1)振動的振幅、周期和頻率；(2)彈簧振子在5s內(nèi)通過的路程及位移.解(1)設(shè)振幅為A，則2A＝20cm，以A＝10cm.

(2)振子在1s內(nèi)通過的路程為4A，故在5s內(nèi)通過的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm).5s末物體處在B點，所以它的位移為0cm.題型二已知三角函數(shù)解析式解決應(yīng)用問題列表：描點畫圖：(2)回答以下問題：①小球開始擺動(即t＝0)，離開平衡位置是多少厘米？②小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少厘米？③小球來回擺動一次需要多少時間？

解①小球開始擺動(t＝0)，離開平衡位置為3厘米.②小球擺動時離開平衡位置的最大距離是6厘米.③小球來回擺動一次需要1秒(即周期).思維升華(2)若有一種細菌在15℃到25℃之間可以生存，那么在這段時間內(nèi)，該細菌能生存多長時間？【例3】

如圖為一個觀光纜車示意圖，該觀光纜車半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB，設(shè)點B與地面距離為h.題型三建立確定的三角函數(shù)模型(1)求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式；解

由題意可作圖如圖.過點O作地面平行線ON，過點B作ON的垂線BM交ON于點M.上述解析式也適合.(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒到達OB，求h與t間關(guān)系的函數(shù)解析式.面對實際問題時，能夠迅速地建立數(shù)學(xué)模型是一項重要的基本技能，在讀題時把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語言”，這個過程就是數(shù)學(xué)建模的過程.思維升華【訓(xùn)練3】如圖，一個大風(fēng)車的半徑為8m，每12min旋轉(zhuǎn)一周，最低點離地面2m.若風(fēng)車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉(zhuǎn)，則該翼片的端點離地面的距離h(m)與時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系是(

)解析

由T＝12，排除B；當(dāng)t＝0時，h＝2，排除A，C.D題型四三角函數(shù)模型的擬合【例4】下表是某地某年月平均氣溫(華氏)：月份123456平均氣溫21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均氣溫73.071.964.753.539.827.7以月份為x軸(x＝月份－1)，以平均氣溫為y軸.(1)用正弦曲線去擬合這些數(shù)據(jù)；(2)估計這個正弦曲線的周期T和振幅A；解(1)如圖.(2)最低氣溫為1月份21.4，最高氣溫為7月份73.0，因為2A的值等于最高氣溫與最低氣溫的差，即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.解因為x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0.根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，先畫出相應(yīng)的“散點圖”，觀察散點圖，然后進行函數(shù)擬合獲得具體的函數(shù)模型，然后利用這個模型解決實際問題.思維升華【訓(xùn)練4】

一物體相對于某一固定位置的位移y(cm)和時間t(s)之間的一組對應(yīng)值如下表所示，則可近似地描述該物體的位置y和時間t之間的關(guān)系的一個三角函數(shù)式為______________________.t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0三角函數(shù)模型構(gòu)建的步驟：(1)收集數(shù)據(jù)，觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)是否具有周期性的重復(fù)現(xiàn)象.(2)制作散點圖，選擇函數(shù)模型進行擬合.(3)利用三角函數(shù)模型解決實際問題.(4)根據(jù)問題的實際意義，對答案的合理性進行檢驗.

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3一、選擇題CCA.5 B.6C.8 D.10函數(shù)取最小值ymin＝－3＋k＝2，得k＝5，函數(shù)取最大值ymax＝3＋5＝8.3.(多選題)一簡諧運動的圖象如圖所示，則下列判斷錯誤的是(

)ACDA.該質(zhì)點的振動周期為0.7sB.該質(zhì)點的振幅為5cmC.該質(zhì)點在0.1s和0.5s時速度最大D.該質(zhì)點在0.3s和0.7s時加速度最大解析周期為2×(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A錯誤；由題中圖象可知，振幅為5cm，故B正確；在最高點時，速度為零，加速度最大，故C，D錯誤.4.穩(wěn)定房價是我國近年實施宏觀調(diào)控的重點，國家最近出臺的一系列政策已對各地的房地產(chǎn)市場產(chǎn)生了影響.溫州市某房地產(chǎn)中介對本市一樓盤在今年的房價作了統(tǒng)計與預(yù)測：發(fā)現(xiàn)每個季度的平均單價y(每平方米的價格，單位：元)與第x季度之間近似滿足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω>0)，已知第一、二季度平均單價如下表所示：Cx123y100009500？則此樓盤在第三季度的平均單價大約是(

)A.10000元

B.9500元 C.9000元

D.8500元ABD二、填空題7.如圖表示相對于平均海平面的某海灣的水面高度h(米)在某天0～24時的變化情況，則水面高度h關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系式為__________________________.解析

設(shè)h＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，由圖象知A＝6，T＝12，點(6，0)為“五點法”作圖中的“第一點”，20.5三、解答題9.將自行車支起來，使后輪能平穩(wěn)地勻速轉(zhuǎn)動，觀察后輪氣針的運動規(guī)律，若將后輪放入如圖所示坐標系中，輪胎以角速度ωrad/s做圓周運動，P0是氣針的初始位置，氣針(看作一個點P)到原點(O)的距離為r.(1)求氣針(P)的縱坐標y關(guān)于時間t的函數(shù)關(guān)系，并求出P的運動周期；解

過P作x軸的垂線，設(shè)垂足為M，則MP就是正弦線.10.如圖所示，一個摩天輪半徑為10m，輪子的底部在地面上2m處，如果此摩天輪按逆時針轉(zhuǎn)動，每30s轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)摩天輪上某人經(jīng)過點P處(點P與摩天輪中心高度相同)時開始計時.(1)求此人相對于地面的高度關(guān)于時間的關(guān)系式；(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，約有多長時間此人相對于地面的高度不小于17m.故此人有10s相對于地面的高度不小于17m.AC13.為迎接夏季旅游旺季的到來，少林寺單獨設(shè)置了一個專門安排旅客住宿的客棧，寺廟的工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準備的食物有些月份剩余不少，浪費很嚴重，為了控制經(jīng)營成本，減少浪費，就想適時調(diào)整投入.為此他們統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)會發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律： ①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同； ②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人； ③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多. (1)試用一個正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系；根據(jù)分析可知，當(dāng)x＝2時，f(x)最小，當(dāng)x＝8時，f(x)最大，所以入住