概率統(tǒng)計(jì)方差的計(jì)算

概率統(tǒng)計(jì)方差的計(jì)算1第一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六再比較穩(wěn)定程度甲：乙：乙比甲技術(shù)穩(wěn)定，故乙技術(shù)較好.2第二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六進(jìn)一步比較平均偏離平均值的程度甲乙E[X-E(X)]23第三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六若E[X-E(X)]2

存在,則稱其為隨機(jī)稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.

方差概念定義

即D(X)=E[X-E(X)]2

變量X的方差,記為D(X)或Var(X)兩者量綱相同概念D(X)——描述r.v.X的取值偏離平均值

的平均偏離程度——

數(shù)4第四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六若

X為離散型r.v.，分布律為若

X為連續(xù)型r.v.，概率密度為f(x)計(jì)算方差的常用公式：5第五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六

D(C)=0

D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)

特別地，若X,Y相互獨(dú)立，則

方差的性質(zhì)性質(zhì)6第六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六若相互獨(dú)立，為常數(shù)則若X,Y相互獨(dú)立對任意常數(shù)C,D(X)

E(X–C)2,

當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X)時等號成立D(X)=0P(X=E(X))=1

稱為X依概率1等于常數(shù)E(X)7第七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六性質(zhì)1的證明：性質(zhì)2的證明：8第八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六性質(zhì)3的證明：當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時，注意到，

9第九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六性質(zhì)4的證明：當(dāng)C=E(X)時，顯然等號成立；當(dāng)CE(X)時，10第十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例1設(shè)X~P(),求D(X).解

方差的計(jì)算例111第十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例2設(shè)X~B(n,p)，求D(X).解一仿照上例求D(X).解二引入隨機(jī)變量相互獨(dú)立，故例212第十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例3設(shè)X~N(,2),求D(X)解例313第十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六常見隨機(jī)變量的方差(P.159)分布方差概率分布參數(shù)為p

的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()方差表14第十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六分布方差概率密度區(qū)間(a,b)上的均勻分布E()N(,2)15第十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例4已知X,Y相互獨(dú)立,且都服從

N(0,0.5),求E(|X–Y|).解故例416第十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例5設(shè)X表示獨(dú)立射擊直到擊中目標(biāo)

n

次為止所需射擊的次數(shù),已知每次射擊中靶的概率為p,求E(X),D(X).解令

Xi

表示擊中目標(biāo)

i-1次后到第i

次擊中目標(biāo)所需射擊的次數(shù)，i=1,2,…,n

相互獨(dú)立，且例517第十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六18第十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六故本例給出了幾何分布與巴斯卡分布的期望與方差19第十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例6將編號分別為1~n的n

個球隨機(jī)地放入編號分別為1~n的n

只盒子中,每盒一球.若球的號碼與盒子的號碼一致，則稱為一個配對.求配對個數(shù)X的期望與方差.解則不相互獨(dú)立，但例620第二十頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六P1021第二十一頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六P10P1022第二十二頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六23第二十三頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X

的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,則稱為

X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.顯然，24第二十四頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六僅知r.v.的期望與方差并不能確定其分布P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025與有相同的期望方差但是分布卻不相同例如25第二十五頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例7已知

X服從正態(tài)分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1–2X,求Y的密度函數(shù).解

例7在已知某些分布類型時,若知道其期望和方差,便常能確定分布.26第二十六頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六作業(yè)P.170習(xí)題三91116

171921習(xí)題27第二十七頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六附例在[0,1]中隨機(jī)地取兩個數(shù)X,Y,

求

D(min{X,Y})解110附例28第二十八頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六29第二十九頁，共三十二頁，編輯于2023年，星期六例8已知

X的d.f.為其中

A,B

是常數(shù)，且E(X)=0.5