李雅普諾夫方法

章動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及李雅普諾夫2021/5/91§1穩(wěn)定性基本概念一、外部穩(wěn)定性與內(nèi)部穩(wěn)定性1．外部穩(wěn)定性

考慮一個線性因果系統(tǒng),在零初始條件下,如果對應(yīng)于任意有界輸入的輸出均為有界，則稱該系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性也稱有界輸入－有界輸出（BIBO）穩(wěn)定性。

對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，外部穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點具有負(fù)實部。2021/5/92如果由非零初始狀態(tài)引起的系統(tǒng)自由運動有界，即：2．內(nèi)部穩(wěn)定性考慮輸入量為零時的線性系統(tǒng)

并滿足漸近屬性，即

，則稱該系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的。

它表達(dá)了在外界擾動消失后，系統(tǒng)由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的能力。它更深刻地揭示出系統(tǒng)穩(wěn)定性的本質(zhì)屬性。

二種描述都反映了穩(wěn)定性的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)屬性，在一定的條件下它們是完全等價的。

內(nèi)部穩(wěn)定性理論主要由李雅普諾夫（A.M.Lyapunov）建立，提出了分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的李亞普諾夫第一法和李亞普諾夫第二法，

2021/5/93二、李亞普諾夫穩(wěn)定性基本概念（一）系統(tǒng)運動及平衡狀態(tài)1．自治系統(tǒng)自治系統(tǒng)是指不受任何外界影響即沒有輸入作用的動態(tài)系統(tǒng)。線性系統(tǒng)：2．受擾運動

將自治系統(tǒng)在初始狀態(tài)條件下的解稱為受擾運動。就是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。通常表示為。2021/5/94對非線性系統(tǒng)，一般有多個平衡狀態(tài)。3.平衡狀態(tài)

如果存在，對所有的t有成立，稱狀態(tài)為上述系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。①若A非奇異，唯一的平衡狀態(tài)②若A奇異，平衡狀態(tài),非唯一

通常情況下，一個自治系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不是唯一的。而對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)有：

如果平衡狀態(tài)在狀態(tài)空間中是彼此孤立的，則為孤立平衡狀態(tài)。任何一個孤立的平衡狀態(tài)都可以通過坐標(biāo)系移動轉(zhuǎn)換成零平衡狀態(tài)，所以討論零平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性具有普遍意義。2021/5/95

可以將下式看成為狀態(tài)空間中以為球心，以為半徑的一個超球體，球域記為；把上式視為以為球心，以為半徑的一個超球體，球域記為。球域依賴于給定的實數(shù)和初始時間。（二）穩(wěn)定性定義

1.穩(wěn)定

設(shè)為系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，如果對任意給定的一個實數(shù)，都對應(yīng)地存在另一實數(shù)，使得由滿足式子的任一初始狀態(tài)出發(fā)的受擾運動都滿足則稱平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。2021/5/96

從球域內(nèi)任一點出發(fā)的運動對所有的都不超越球域。

如果與無關(guān)，稱為是一致穩(wěn)定，定常系統(tǒng)是一致穩(wěn)定的。平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的幾何解釋：

一個二維狀態(tài)空間中零平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的幾何解釋如右圖。

上述穩(wěn)定保證了系統(tǒng)受擾運動的有界性，通常將它稱為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定，以區(qū)別于工程意義的穩(wěn)定。2021/5/97不僅具有Lyapunov意義下的穩(wěn)定，并且則稱平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定。

從球域內(nèi)任一點出發(fā)的運動對所有的不僅不超越球域，而且當(dāng)時，最終收斂于平衡狀態(tài)。2.漸近穩(wěn)定漸近性幾何解釋：

二維狀態(tài)空間中零平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的幾何解釋如右圖。2021/5/98

滿足漸近穩(wěn)定的球域只是狀態(tài)空間中的有限部分，這時稱平衡狀態(tài)為局部漸近穩(wěn)定，并且稱為漸近穩(wěn)定吸引區(qū)，表示只有從該區(qū)域出發(fā)的受擾運動才能被“吸引”至平衡狀態(tài)。

線性系統(tǒng)若是漸近穩(wěn)定（且A非奇異），必為全局漸近穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)一般只能是小范圍漸近穩(wěn)定。若與無關(guān)，則為一致漸近穩(wěn)定。定常系統(tǒng)是一致漸近穩(wěn)定的。若，則為全局漸近穩(wěn)定。不管初始值偏離平衡點多大，（狀態(tài)空間中任意點）都具有漸近穩(wěn)定特性。狀態(tài)空間中只能有一個平衡點。滿足上面兩點的為全局一致漸近穩(wěn)定。

漸近穩(wěn)定等同于工程上穩(wěn)定的概念。有界性，漸近性2021/5/993.不穩(wěn)定

無論取得多么小，也無論取得多么大，在球域內(nèi)總存在非零點，使得由出發(fā)的運動軌跡越出球域，則稱平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定。

二維狀態(tài)空間中零平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定的幾何解釋如右圖。

對于非線性系統(tǒng)，也有可能趨于以外的某個平衡點或某個極限環(huán)。

2021/5/910單擺是Lyapunov意義下穩(wěn)定或漸近穩(wěn)定的例子。2021/5/911

線性定常離散系統(tǒng)平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)矩陣的所有特征值的模都小于1。§2李雅普諾夫穩(wěn)定性分析方法

一、李雅普諾夫第一法

又稱間接法，通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，比較適用于線性系統(tǒng)和可線性化的非線性系統(tǒng)。1．線性系統(tǒng)情況

線性定常連續(xù)系統(tǒng)平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實部。與經(jīng)典控制理論的各種判據(jù)一致2．非線性系統(tǒng)情況

對于非本質(zhì)性的非線性系統(tǒng)，可以在一定條件下用它的近似線性化模型來研究它在平衡點的穩(wěn)定性。2021/5/912非線性自治系統(tǒng)：為n維非線性向量函數(shù)，并對各狀態(tài)變量連續(xù)可微。是系統(tǒng)的一個平衡點。高階導(dǎo)數(shù)項之和2021/5/9133)A的特征值的實部有一部分為0，其它均具負(fù)實部，非線性系統(tǒng)在的穩(wěn)定性不能得出明確結(jié)論，而取決于的高階導(dǎo)數(shù)項。一般可通過其它方法（如找合適的Lyapunov函數(shù))確定其穩(wěn)定性。2）A的特征值中至少有一個具有正實部，非線性系統(tǒng)在不穩(wěn)定；1）A的所有特征值具有負(fù)實部，則非線性系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定；按在鄰域研究平衡點的穩(wěn)定性。即：

李雅普諾夫第一法需要求出系統(tǒng)的全部特征值，這對于高階系統(tǒng)存在一定的困難，經(jīng)典控制理論中針對線性定常系統(tǒng)提出了一些有效的工程方法，可視為該法在線性定常系統(tǒng)中的工程應(yīng)用。2021/5/914

設(shè)為關(guān)于n維向量的標(biāo)量函數(shù)，并且在處，有，則對于任意的非零向量，有：

一般情況下，李雅普諾夫函數(shù)與狀態(tài)和時間有關(guān)，表示為，如果不顯含時間，則表示為。二、李雅普諾夫第二法

又稱直接法。它受啟示于“一個自治系統(tǒng)在運動過程中伴隨著能量的變化”這樣一個物理事實。不需要求解系統(tǒng)的運動方程，直接分析、判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性能。具有很強(qiáng)的普適性。

不能對任何系統(tǒng)都能找到能量函數(shù)來描述系統(tǒng)的能量關(guān)系。于是，李雅普諾夫引入一個“廣義能量”函數(shù)，它具備能量函數(shù)的基本屬性—正的標(biāo)量函數(shù)，它又能給出隨著系統(tǒng)運動發(fā)生變化的信息，把這樣的“廣義能量”函數(shù)稱為李雅普諾夫函數(shù)。更具一般性。（一）預(yù)備知識1．標(biāo)量函數(shù)的定號性2021/5/915③若，為負(fù)定；①若，為正定；②若，為正半定；⑤若可正可負(fù)，為不定。④若，為負(fù)半定；2.二次型函數(shù)設(shè)x為n維向量，則稱標(biāo)量函數(shù)為x的二次型函數(shù)，其定號性與它的權(quán)矩陣P的定號性是一致的。權(quán)矩陣P為實對稱矩陣2021/5/916③若，P為正半定；②若，P為負(fù)定；而P的定號性由Sylvester準(zhǔn)則確定：①若，P為正定；…,的1～n階順序主子式，則P定號性的充要條件為：為實對稱矩陣P④若，P為負(fù)半定。2021/5/917則平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。（2）為負(fù)定；（1）為正定；則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，并稱是該系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。進(jìn)一步，如果還滿足設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，且其平衡狀態(tài)為，如果存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，并且滿足條件：（二）李雅普諾夫第二法穩(wěn)定性判據(jù)1．漸近穩(wěn)定基本判定定理：（3）條件（1）保證了具備“廣義能量”函數(shù)的特性，條件（2）表明該“能量”函數(shù)隨著系統(tǒng)的運動不斷衰減，條件（3）表示了滿足漸近穩(wěn)定的條件可擴(kuò)展至整個狀態(tài)空間。2021/5/9182．漸近穩(wěn)定判定定理2：系統(tǒng)及平衡狀態(tài)同上，如果滿足條件：（1）為正定；（2）為負(fù)半定，但它在非零解運動軌線上不恒為零，即對于有；則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。同樣，如果還滿足（3）則平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。條件（2）表示在某處會出現(xiàn)但不恒為零的情況，這時系統(tǒng)向著“能量”越來越小方向運動過程中與某個等“能量”面相切，但通過切點后并不停留而繼續(xù)趨向于最小“能量”的平衡點，所以該平衡狀態(tài)仍然是漸近穩(wěn)定的。2021/5/9193．李雅普諾夫意義下穩(wěn)定判定定理：如果滿足條件：（1）為正定；（2）為負(fù)半定；則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。條件（2）不強(qiáng)調(diào)不恒為零，意味著系統(tǒng)向著小“能量”方向運動的過程中與某個等“能量”面相切，但可能不再離開該等“能量”面，形成有界但不具有漸近性的運動狀態(tài)。4．不穩(wěn)定判定定理：如果滿足條件：（1）為正定；（2）為正定；則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。條件（2）表明“能量”函數(shù)隨著系統(tǒng)的運動不斷增大，即運動沿著越來越遠(yuǎn)離平衡點的大“能量”方向進(jìn)行。2021/5/920如果上述定理的條件（2）為即正半定時，也可推論出兩種情況：（1）時不恒為零，此時該平衡點不穩(wěn)定；（2）時存在恒為零，此時該平衡點為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定。（三）關(guān)于李雅普諾夫第二法的討論（1）上述結(jié)論適用于任何性質(zhì)的系統(tǒng)，但針對定常系統(tǒng)時，李雅普諾夫函數(shù)一般地不顯含時間變量，即為。（2）上述結(jié)論中的條件只是充分條件，如果找不到滿足定理條件的李雅普諾夫函數(shù)并不能對系統(tǒng)的相應(yīng)穩(wěn)定性作出否定性結(jié)論。（3）對于一個給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)通常是非唯一的，但這并不影響結(jié)論的一致性。（4）上述結(jié)論中除了明確指出穩(wěn)定性的大范圍特性外，都只表示了系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近某個鄰域內(nèi)的穩(wěn)定性能，即局部穩(wěn)定性能。2021/5/921為不定，根據(jù)李雅普諾夫第二法的相關(guān)定理，不能作出關(guān)于平衡點穩(wěn)定性能的判斷。2021/5/922

為負(fù)半定，由上述定理，應(yīng)考察時是否恒為0的情況：可見只有在平衡狀態(tài)時，所以為漸近穩(wěn)定。又：所以為一致大范圍漸近穩(wěn)定。系統(tǒng)為定常系統(tǒng)，2021/5/923為負(fù)定，所以為漸近穩(wěn)定。（3）選二次型函數(shù)同理有所以為一致大范圍漸近穩(wěn)定。李雅普諾夫函數(shù)非唯一性，構(gòu)造沒有一般規(guī)律可循。2021/5/924§3線性系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性分析方法

對于線性系統(tǒng)，經(jīng)常選取二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)，并由此得出一些更有效的判別定理。一、定常連續(xù)系統(tǒng)取二次型標(biāo)量函數(shù)(P為正定、實對稱)線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判定定理：

線性定常系統(tǒng)在平衡點大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是對任意給定的正定對稱矩陣Q，存在正定對稱矩陣P，滿足矩陣方程：Q為實對稱矩陣2021/5/925

定理給出的是充要條件，上面的討論過程已經(jīng)說明了條件的充分性，條件必要性的證明見教材。注意的幾點：（1）系統(tǒng)在平衡點漸近穩(wěn)定時有A的特征值都具有負(fù)實部（2）定理中正定的實對稱矩陣Q是任意取的，但為了簡化矩陣方程的求解，常取它為正定對角陣或單位矩陣。（3）如果對于有Q可取為正半定。（4）解得正定的實對稱矩陣P，則為系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。2021/5/926P正定,系統(tǒng)在平衡點漸近穩(wěn)定2021/5/927

當(dāng)時，有，所以平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。二次型函數(shù)是系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)，二、時變連續(xù)系統(tǒng)設(shè)為系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。取二次型標(biāo)量函數(shù)為一致正定及一致有界的實對稱矩陣

顯然為正定函數(shù)2021/5/928

時變連續(xù)系統(tǒng)在平衡點為一致大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是對任意給定的一致正定及一致有界的實對稱時變矩陣，存在一個一致正定及一致有界的實對稱矩陣，滿足矩陣方程：線性時變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判定定理：解矩陣微分方程可得：

通過是否為一致正定、一致有界來判別系統(tǒng)在平衡點的漸近穩(wěn)定性。

Q(t)為一致有界的實對稱時變矩陣

2021/5/929

線性定常離散系統(tǒng)在平衡點為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是對任意給定的正定實對稱矩陣Q，存在正定的實對稱矩陣P，滿足矩陣方程：三、定常離散系統(tǒng)為系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)取二次型標(biāo)量函數(shù)：P為正定的實對稱矩陣

顯然為正定函數(shù)函數(shù)的增量函數(shù)為：同樣記：線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判定定理：Q為實對稱矩陣2021/5/930（和為非零常數(shù))線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為討論系統(tǒng)在平衡點的漸近穩(wěn)定性。由塞爾維斯特準(zhǔn)則，為使P是正定矩陣，則要求和

解：G為常數(shù)矩陣，是唯一平衡狀態(tài)。2021/5/931這時二次型函數(shù)是系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)，且當(dāng)時，有,所以平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。

這與經(jīng)典控制理論中關(guān)于采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)（特征值在單位圓內(nèi)）是一致的。2021/5/932四、時變離散系統(tǒng)設(shè)為系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)，取二次型標(biāo)量函數(shù)P(k)為一致正定的實對稱時變矩陣函數(shù)的增量函數(shù)為：同樣記：Q(k)為實對稱時變矩陣

2021/5/933

其中P(0)是矩陣差分方程的初始條件，選取一個正定的實對稱時變矩陣Q(k)（例如簡單地選Q(k)=I)，由上式解得P(k+1)，然后看它是否為正定的實對稱矩陣來判別系統(tǒng)在平衡點的漸近穩(wěn)定性。線性時變離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判定定理:

線性時變離散系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是對于任意給定的正定實對稱矩陣Q(k)，必存在正定的實對稱矩陣P(k+1)，滿足矩陣方程：解上述矩陣差分方程可得解為：2021/5/934非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析要復(fù)雜得多。（1）非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)可能不止一個，而且可能其中有的穩(wěn)定，有的不穩(wěn)定；（2）非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)往往是局部的；（3）構(gòu)造滿足李雅普諾夫第二法穩(wěn)定性判據(jù)的李雅普諾夫函數(shù)更加困難，往往會因找不到合適的李雅普諾夫函數(shù)而無法作出判斷。所提出的一些關(guān)于非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析方法大都分別適合于一類特定的系統(tǒng)。本節(jié)介紹兩種相對簡單實用的非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法，它們都是建立在李雅普諾夫第二法基礎(chǔ)之上，因此也只是提供了充分條件。另外，兩種方法的出發(fā)點都在于設(shè)法構(gòu)造能給出非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性判別的合適的李雅普諾夫函數(shù)?！?

非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析方法2021/5/935一.克拉索夫斯基法：

克拉索夫斯基方法采用替代x來構(gòu)造具有二次型形式的李雅普諾夫函數(shù)，并取單位矩陣為其權(quán)矩陣，即則：其中J(x)稱為系統(tǒng)的雅可比（Jacobian）矩陣，為2021/5/936代入得：要使系統(tǒng)在平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定，的權(quán)矩陣必須負(fù)定，記其為：可以得到如下克拉索夫斯基定理。2021/5/937（3）如果雅可比矩陣本身對稱時，定理條件可以由負(fù)定簡化為負(fù)定。這就要求非線性向量函數(shù)的每個分量必須包含對應(yīng)的的元素，且偏導(dǎo)數(shù)對任意為負(fù)。

非線性系統(tǒng)在所討論的范圍內(nèi)有唯一的平衡狀態(tài)，如果在該范圍內(nèi)由系統(tǒng)的雅可比矩陣構(gòu)成的矩陣負(fù)定，那么是漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。進(jìn)一步，如果在全狀態(tài)空間都有負(fù)定，且時，有，那么是大范圍漸近穩(wěn)定的?？死鞣蛩够ɡ恚鹤⒁恻c：（1）該定理提供的只是系統(tǒng)在平衡點漸近穩(wěn)定的充分條件；（2）為負(fù)定的必要條件是雅可比矩陣J(x)對角線上的元素都為負(fù)值；（4）也可將該方法應(yīng)用于線性定常系統(tǒng)，此時雅可比矩陣J即為系統(tǒng)矩陣A,判別條件為。2021/5/938對于，它也包含了對應(yīng)元素，且有對于，它包含了對應(yīng)的元素，且有解：首先檢驗f(x)的各個分量是否適合應(yīng)用克拉索夫斯基方法。

可見，可以嘗試應(yīng)用克拉索夫斯基方法來分析系統(tǒng)在平衡點的穩(wěn)定性。求出系統(tǒng)的雅可比矩陣為：2021/5/939求得它的1～2階順序主子式分別為：2021/5/940假設(shè)是系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)，它不是時間t的顯函數(shù)，則有：

對于一個給定的系統(tǒng)，如果存在一個能夠證明其漸近穩(wěn)定性的李雅普諾夫函數(shù)，則這個李雅普諾夫函數(shù)的單值梯度也必存在。于是，首先根據(jù)找出李雅普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)，再通過積分計算出，如果得到的正定，就獲得了所需要的李雅普諾夫函數(shù)。二、變量梯度法其中為的梯度：為單值的n維向量

2021/5/941有個等式由于單值性，李雅普諾夫函數(shù)可通過積分計算得到：必須解決以下兩個問題：（1）線積分的路徑問題；（2）梯度向量的確定；

對于問題（1），如果向量的旋度，則上式線積分與積分路徑無關(guān)。而的