次數(shù)分布和平均數(shù)

次數(shù)分布和平均數(shù)第一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六第一節(jié)總體及其樣本總體(population)----

具有共同性質(zhì)的個體所組成的集團(tuán).

有限總體----總體所包含的個體數(shù)目有無窮多個.

無限總體----由有限個個體構(gòu)成的總體.觀察值(observation)----每一個體的某一性狀、特性的測定數(shù)值.變數(shù)(variable)----觀察值集合起來，稱為總體的變數(shù)。變數(shù)又稱為隨機(jī)變數(shù)(randomvariable)。

第二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六樣本(sample)----從總體中抽取若干個個體的集合稱為樣本(sample)。統(tǒng)計數(shù)(statistic)----測定樣本中的各個體而得的樣本特征數(shù)，如平均數(shù)等，稱為統(tǒng)計數(shù)(statistic)。隨機(jī)樣本(randomsample)----從總體中隨機(jī)抽取的樣本稱為隨機(jī)樣本(randomsample)樣本容量(samplesize)----樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本容量或樣本含量(samplesize)第三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六第二節(jié)次數(shù)分布一、試驗資料的性質(zhì)與分類二、次數(shù)分布表三、次數(shù)分布圖第四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六一、試驗資料的性質(zhì)與分類(一)數(shù)量性狀資料(二)質(zhì)量性狀資料第五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六(一)數(shù)量性狀資料數(shù)量性狀(quantitativetrait)的度量有計數(shù)和量測兩種方式，其所得變數(shù)不同。

1.不連續(xù)性或間斷性變數(shù)(discontinuousordiscretevariable)

指用計數(shù)方法獲得的數(shù)據(jù)。

2.連續(xù)性變數(shù)(continuousvariable)

指稱量、度量或測量方法所得到的數(shù)據(jù)，其各個觀察值并不限于整數(shù)，在兩個數(shù)值之間可以有微量數(shù)值差異的第三個數(shù)值存在。第六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六(二)質(zhì)量性狀資料

質(zhì)量性狀(qualitativetrait)指能觀察而不能量測的狀即屬性性狀，如花藥、子粒、穎殼等器官的顏色、芒的有無、絨毛的有無等。要從這類性狀獲得數(shù)量資料，可采用下列兩種方法：統(tǒng)計次數(shù)法于一定總體或樣本內(nèi)，統(tǒng)計其具有某個性狀的個體數(shù)目及具有不同性狀的個體數(shù)目，按類別計其次數(shù)或相對次數(shù)。

2.

給分法給予每類性狀以相對數(shù)量的方法第七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六二、次數(shù)分布表(一)間斷性變數(shù)資料的整理(二)連續(xù)性變數(shù)資料的整理(三)屬性變數(shù)資料的整理第八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六(一)間斷性變數(shù)資料的整理現(xiàn)以某小麥品種的每穗小穗數(shù)為例，隨機(jī)采取100個麥穗，計數(shù)每穗小穗數(shù)，未加整理的資料列成表3.1。

第九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六表3.1100個麥穗的每穗小穗數(shù)18151719161520181917171817161820191716181716171918181717171818151618181817201918171915171717161718181719191719171816181717191616171717151716181918181919201716191817182019161819171615161817181717161917第十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六每穗小穗數(shù)(

y

)次數(shù)(f)1561615173218251917205總次數(shù)(

n

)100表3.2100個麥穗每穗小穗數(shù)的次數(shù)分布表從表3.2中看到，一堆雜亂的原始資料表3.1，經(jīng)初步整理后，就可了解資料的大致情況，另外，經(jīng)過整理的資料也便于進(jìn)一步的分析。上述資料為間斷性變數(shù)資料，每穗小穗數(shù)在15—20的范圍內(nèi)變動，把所有觀察值按每穗小穗數(shù)多少加以歸類，共分為6組，組與組間相差為1小穗，稱為組距。這樣可得表3.2形式的次數(shù)分布表。第十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六(二)連續(xù)性變數(shù)資料的整理茲以表3.4的100行水稻試驗的產(chǎn)量為例，說明整理方法。177215197

97123159245119119131149152167104161214125175219118192176175

95136199116165214

9515883137

80138151187126196134206137

98

97129143179174159165136108101141148168163176102194145173

75130149150161155111158131189

91142140154152163123205149155131209183

97119181149187131215111186118150155197116254239160172179151198124179135184168169173181188211197175122151171166175143190213192231163159158159177147194227141169124159表3.4140行水稻產(chǎn)量(單位：克)第十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六具體步驟：

1.數(shù)據(jù)排序(sort)

首先對數(shù)據(jù)按從小到大排列(升序)或從大到小排列(降序)。

2.求極差(range)

所有數(shù)據(jù)中的最大觀察值和最小觀察值的差數(shù)，稱為極差，亦即整個樣本的變異幅度。從表3.4中查到最大觀察值為254g，最小觀察值為75g，極差為254－75=179g。第十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

3.確定組數(shù)和組距(classinterval)

根據(jù)極差分為若干組，每組的距離相等，稱為組距。

在確定組數(shù)和組距時應(yīng)考慮：

(1)觀察值個數(shù)的多少；

(2)極差的大??；

(3)便于計算；

(4)能反映出資料的真實面貌等方面。樣本大小(即樣本內(nèi)包含觀察值的個數(shù)的多少)與組數(shù)多少的關(guān)系可參照表3.5來確定。第十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六表3.5樣本容量與組數(shù)多少的關(guān)系樣本內(nèi)觀察值的個數(shù)分組時的組數(shù)50

5—10100

8—1620010—2030012—2450015—30100020—40組數(shù)確定后，還須確定組距。組距=極差/組數(shù)。以表3.4中140行水稻產(chǎn)量為例，樣本內(nèi)觀察值的個數(shù)為140，查表3.5可分為8—16組，假定分為12組，則組距為179/12=14.9g，為分組方便起見，可以15g作為組距。第十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

4.選定組限(classlimit)和組中點值(組值，classvalue)

以表3.4中140行水稻產(chǎn)量為例，選定第一組的中點值為75g，與最小觀察值75g相等；則第二組的中點值為75+15=90g，余類推。各組的中點值選定后，就可以求得各組組限。每組有兩個組限，數(shù)值小的稱為下限(lowerlimit)，數(shù)值大的稱為上限(upperlimit)。上述資料中，第一組的下限為該組中點值減去1/2組距，即75－(15/2)=67.5g，上限為中點值加1/2組距，即75+(15/2)=82.5g。故第一組的組限為67.5—82.5g。按照此法計算其余各組的組限，就可寫出分組數(shù)列。第十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

5.把原始資料的各個觀察值按分組數(shù)列的各組組限歸組

可按原始資料中各觀察值的次序，逐個把數(shù)值歸于各組。待全部觀察值歸組后，即可求得各組的次數(shù)，制成一個次數(shù)分布表。例如表3.4中第一個觀察值177應(yīng)歸于表3.6中第8組，組限為172.5—187.5；第二個觀察值149應(yīng)歸于第6組，組限為142.5—157.5；……。依次把140個觀察值都進(jìn)行歸組，即可制成140行水稻產(chǎn)量的次數(shù)分布表(表3.6)。第十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六表3.6140行水稻的次數(shù)分布組限中點值(

y

)次數(shù)(f)

67.5—82.5752

82.5—97.5907

97.5—112.51057112.5—127.512013127.5—142.513517142.5—157.515020157.5—172.516525172.5—187.518021187.5—202.519513202.5—217.52109217.5—232.52253232.5—247.52402247.5—262.52551合計(

n

)140

注：前面提到分為12組，但由于第一組的中點值接近于最小觀察值，故第一組的下限小于最小觀察值，實際上差不多增加了1/2組；這樣也使最后一組的中點值接近于最大值，又增加了1/2組，故實際的組數(shù)比原來確定的要多一個組，為13組。第十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六(三)屬性變數(shù)資料的整理屬性變數(shù)的資料，也可以用類似次數(shù)分布的方法來整理。在整理前，把資料按各種質(zhì)量性狀進(jìn)行分類，分類數(shù)等于組數(shù)，然后根據(jù)各個體在質(zhì)量屬性上的具體表現(xiàn)，分別歸入相應(yīng)的組中，即可得到屬性分布的規(guī)律性認(rèn)識。例如，某水稻雜種第二代植株米粒性狀的分離情況，歸于表3.7。表3.7水稻雜種二代植株米粒性狀的分離情況屬性分組(

y

)次數(shù)(

f)紅米非糯96紅米糯稻37白米非糯31白米糯稻15合計(

n

)179第十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六三、次數(shù)分布圖(一)方柱形圖(二)多邊形圖(三)條形圖(四)餅圖第二十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

(一)方柱形圖方柱形圖(histogram)適用于表示連續(xù)性變數(shù)的次數(shù)分布。

現(xiàn)以表3.6的140行水稻產(chǎn)量的次數(shù)分布表為例加以說明。即成方柱形次數(shù)分布圖3.1。圖3.1140行水稻產(chǎn)量次數(shù)分布方柱形圖第二十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六(二)多邊形圖

多邊形圖(polygon)也是表示連續(xù)性變數(shù)資料的一種普通的方法，且在同一圖上可比較兩組以上的資料。仍以140行水稻產(chǎn)量次數(shù)分布為例，所成圖形即為次數(shù)多邊形圖(圖3.2)。圖3.2140行水稻產(chǎn)量次數(shù)分布多邊形圖第二十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六(三)條形圖

條形圖(bar)適用于間斷性變數(shù)和屬性變數(shù)資料，用以表示這些變數(shù)的次數(shù)分布狀況。一般其橫軸標(biāo)出間斷的中點值或分類性狀，縱軸標(biāo)出次數(shù)?，F(xiàn)以表3.7水稻雜種第二代米粒性狀的分離情況為例，可畫成水稻雜種第二代植株4種米粒性狀分離情況條形圖(3.3)。圖3.3水稻F2代米粒性狀分離條形圖第二十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

(四)餅圖

餅圖(pie)適用于間斷性變數(shù)和屬性變數(shù)資料，用以表示這些變數(shù)中各種屬性或各種間斷性數(shù)據(jù)觀察值在總觀察個數(shù)中的百分比。如圖3.4中白米糯稻在F2群體中占8%，白米非糯、紅米糯稻和紅米非糯分別占17%、21%和54%。圖3.4水稻F2代米粒性狀分離的餅圖第二十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六第三節(jié)平均數(shù)一、平均數(shù)的意義和種類二、算術(shù)平均數(shù)的計算方法三、算術(shù)平均數(shù)的重要特性四、總體平均數(shù)第二十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六一、平均數(shù)的意義和種類平均數(shù)的意義:

平均數(shù)(average)是數(shù)據(jù)的代表值，表示資料中觀察值的中心位置，并且可作為資料的代表而與另一組資料相比較，借以明確二者之間相差的情況。第二十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六平均數(shù)的種類:(1)算術(shù)平均數(shù)一個數(shù)量資料中各個觀察值的總和除以觀察值個數(shù)所得的商數(shù)，稱為算術(shù)平均數(shù)(arithmeticmean)，記作。因其應(yīng)用廣泛，常簡稱平均數(shù)或均數(shù)(mean)。均數(shù)的大小決定于樣本的各觀察值。

(2)中數(shù)將資料內(nèi)所有觀察值從大到小排序，居中間位置的觀察值稱為中數(shù)(median)，計作Md。如觀察值個數(shù)為偶數(shù)，則以中間二個觀察值的算術(shù)平均數(shù)為中數(shù)。第二十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

(3)

眾數(shù)資料中最常見的一數(shù)，或次數(shù)最多一組的中點值，稱為眾數(shù)(mode)，計作MO。如棉花纖維檢驗時所用的主體長度即為眾數(shù)。

(4)幾何平均數(shù)如有n個觀察值，其相乘積開n次方，即為幾何平均數(shù)(geometricmean)，用G代表。

(3·1)平均數(shù)的種類:第二十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六二、算術(shù)平均數(shù)的計算方法若樣本較小，即資料包含的觀察值個數(shù)不多，可直接計算平均數(shù)。設(shè)一個含有n個觀察值的樣本，其各個觀察值為y1、y2、y3、…、yn，則算術(shù)平均數(shù)由下式算得：(3·2)若樣本較大，且已進(jìn)行了分組(如表3.6)，可采用加權(quán)法計算算術(shù)平均數(shù)，即用組中點值代表該組出現(xiàn)的觀測值以計算平均數(shù)，其公式為(3·3)其中yi為第i

組中點值，fi為第i組變數(shù)出現(xiàn)次數(shù)。第二十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

[例3.1]在水稻品種比較試驗中，湘矮早四號的5個小區(qū)產(chǎn)量分別為20.0、19.0、21.0、17.5、18.5kg，求該品種的小區(qū)平均產(chǎn)量。

[例3.2]利用表3.6資料計算平均每行水稻產(chǎn)量。若采用直接法，=157.47。因此，兩者的結(jié)果十分相近。由(3·2)有第三十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六三、算術(shù)平均數(shù)的重要特性

(1)樣本各觀察值與其平均數(shù)的差數(shù)(簡稱離均差，deviationfrommean)的總和等于0。即：

(2)樣本各觀察值與其平均數(shù)的差數(shù)平方的總和，較各個觀察值與任意其他數(shù)值的差數(shù)平方的總和為小，亦即離均差平方的總和最小。這個問題可作這樣的說明，設(shè)Q為各個觀察值與任意數(shù)值a的差數(shù)平方的總和，即：對此Q求最小值，可得使Q最小的a值為平均數(shù)。第三十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六四、總體平均數(shù)總體平均數(shù)用來代表，它同樣具有算術(shù)平均數(shù)所具有的特性。(3·4)上式y(tǒng)i代表各個觀察值，N代表有限總體所包含的個體數(shù)，表示總體內(nèi)各個觀察值的總和。第三十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六第四節(jié)變異數(shù)一、極差二、方差三、標(biāo)準(zhǔn)差四、變異系數(shù)第三十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六一、極差

極差(range)，又稱全距，記作R，是資料中最大觀察值與最小觀察值的差數(shù)。例如調(diào)查兩個小麥品種的每穗小穗數(shù)，每品種計數(shù)10個麥穗，經(jīng)整理后的數(shù)字列于表3.8。表3.8

兩個小麥品種的每穗小穗數(shù)品種名稱每穗小穗數(shù)總和平均甲1314151718181921222318018乙1616171818181819202018018第三十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六表3.8資料中，甲品種每穗小穗數(shù)最少為13個，最多為23個，R=23－13=10個小穗；乙品種每穗小穗數(shù)最少為16個，最多為20個，R=20－16=4個小穗?？梢钥闯?，兩品種的平均每穗小穗數(shù)雖同為18個，但甲品種的極差較大，其變異范圍較大，平均數(shù)的代表性較差；乙品種的極差較小，其變異幅度較小，其平均數(shù)代表性較好。第三十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六二、方差離均差平方和(簡稱平方和)SS----將各個離均差平方后相加樣本SS=

(3·5)

總體SS=

(3·6)均方或方差(variance)----用觀察值數(shù)目來除平方和

樣本均方(meansquare)用s2表示，定義為：

總體方差用表示，定義為：

樣本均方是總體方差的無偏估計值第三十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六三、標(biāo)準(zhǔn)差(一)標(biāo)準(zhǔn)差的定義

標(biāo)準(zhǔn)差為方差的正平方根值，用以表示資料的變異度,其單位與觀察值的度量單位相同。從樣本資料計算標(biāo)準(zhǔn)差的公式為：(3·9)總體標(biāo)準(zhǔn)差用表示：(3·10)樣本標(biāo)準(zhǔn)差是總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計值。

第三十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六(二)自由度的意義

自由度記作DF，其具體數(shù)值則常用表示。統(tǒng)計意義：是指樣本內(nèi)獨立而能自由變動的離均差個數(shù)。例如一個有5個觀察值的樣本，因為受統(tǒng)計數(shù)的約束，在5個離均差中，只有4個數(shù)值可以在一定范圍之內(nèi)自由變動取值，而第五個離均差必須滿足。如一樣本為(3，4，5，6，7），平均數(shù)為5，前４個離差為－2,－1，0和1，則第5個離均差為前4個離均差之和的變號數(shù)，即－(－2)=2。一般地，樣本自由度等于觀察值的個數(shù)(n)減去約束條件的個數(shù)(k)，即。第三十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

注：比較(3·9)和(3·10)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差不以樣本容量n，而以自由度n－1作為除數(shù)，這是因為通常所掌握的是樣本資料，不知的數(shù)值，不得不用樣本平均數(shù)代替。與有差異，由算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)(2)可知，比小。因此，由算出的標(biāo)準(zhǔn)差將偏小。如分母用n－1代替，則可免除偏小的弊病。數(shù)理統(tǒng)計上可以證明用自由度作除數(shù)計算標(biāo)準(zhǔn)差的無偏性。第三十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六(三)標(biāo)準(zhǔn)差的計算方法

1.直接法

可按計算，分四個步驟：

(1)先求出，

(2)再求出各個和各個，

(3)求和得，

(4)代入算得標(biāo)準(zhǔn)差。第四十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六

[例3.3]設(shè)某一水稻單株粒重的樣本有5個觀察值，以克為單位，其數(shù)為2、8、7、5、4(用y代表)，按照上述步驟，由表3.9可算得平方和為22.80，把它代入

即可得到：這就是該水稻單株粒重的標(biāo)準(zhǔn)差為2.39g。第四十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六計算項目yy22－3.210.24482.87.846471.83.24495－0.20.04254－1.21.4416總和26022.80158平均5.2表3.9

水稻粒重的平方和的計算第四十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六2．矯正數(shù)法

經(jīng)過轉(zhuǎn)換可得

(3·11)其中項稱為矯正數(shù)，記作C。在例3.3中，于表3.9第5列寫出各觀察值的平方值，將有關(guān)數(shù)字代入(3·11)即有：其結(jié)果和直接法算得相同。第四十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六3．

加權(quán)法

若樣本較大，并已獲得如表3.6的次數(shù)分布表，可采用加權(quán)法計算標(biāo)準(zhǔn)差，其公式為：(3·12)第四十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期六組限中點值(

y

)次數(shù)(f)

67.5—82.5752

82.5—97.5907

97.5—112.51057112.5—127.512013127.5—142.513517142.5—157.515020157.5—172.516525172.5—187.518021187.5—202.519513202.5—217.52109217.5—232.5