數(shù)學(xué)中使用的一般科學(xué)方法

數(shù)學(xué)中使用的一般科學(xué)方法第一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

第二章數(shù)學(xué)中使用的一般

科學(xué)方法

在當(dāng)代，由于計算機的出現(xiàn)以及由此引起一場迅猛的技術(shù)革命，數(shù)學(xué)中“構(gòu)造性觀念的抬頭有了一些明顯的趨勢。”（吳文?。?，而這種趨勢致使數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)教育界過分偏重形式，強調(diào)邏輯思維能力，忽視了數(shù)學(xué)的活的靈魂，對于使用邏輯方法以外的科學(xué)方法不予重視。第二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

第二章

數(shù)學(xué)中使用的一般

科學(xué)方法

20世紀最偉大的數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼（J.Von.Neumann）在內(nèi)的許多大數(shù)學(xué)家都認為數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)一樣源于經(jīng)驗。馮·諾伊曼就曾指出：“大多數(shù)最好的數(shù)學(xué)靈感來源于經(jīng)驗”，“在一門數(shù)學(xué)遠離其經(jīng)驗之源而發(fā)展時，存在著一種危險，即這門學(xué)科會沿著一些最省力的方向發(fā)展，并分為數(shù)眾多而無意義的支流。唯一的解決辦法是使其回到其本源，返老還童?！保ㄒ浴稊?shù)學(xué)家談數(shù)學(xué)本質(zhì)》）第三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

第二章

數(shù)學(xué)中使用的一般

科學(xué)方法

菲爾茲獎獲得者，日本數(shù)學(xué)家小平邦彥說過：“物理學(xué)可以說是研究自然現(xiàn)象中物理現(xiàn)象的科學(xué)，在同樣的意義上，數(shù)學(xué)就是研究自然現(xiàn)象中數(shù)學(xué)現(xiàn)象的科學(xué)?！庇纱丝梢?，在數(shù)學(xué)研究和解題中廣泛運用一般科學(xué)方法是不可避免的。因為數(shù)學(xué)的研究對象是形式化的思想材料，盡管它起源于經(jīng)驗，有的直接依賴于經(jīng)驗，但畢競舍棄了事物的具體內(nèi)容。因此，數(shù)學(xué)在使用一般科學(xué)方法時，必然有所側(cè)重，具有自己的特點。第四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

一般的科學(xué)方法中，觀察和實驗是收集科學(xué)事實，獲取感性經(jīng)驗的基本途經(jīng)，是形成、發(fā)展和檢驗自然科學(xué)理論的實踐基礎(chǔ)。觀察與實驗在數(shù)學(xué)研究中也是一種最基本的主要方法之一。觀察是人們對事物或問題的數(shù)學(xué)特征通過視覺獲得信息，運用思維辯認其形式、結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律或性質(zhì)、獲得科學(xué)知識與經(jīng)驗知識的重要方法。第五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

盡管觀察是最原始最基本的方法之一，但它是進行數(shù)學(xué)思維必須的和第一位的方法，在數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)問題的解決過程中，觀察也是常用的有效方法之一。數(shù)學(xué)中的觀察按觀察的特征可分為定性觀察（對對象的特征、性質(zhì)、關(guān)系的觀察）和定量觀察（對對象間的數(shù)量關(guān)系的觀察）兩種。第六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

在數(shù)學(xué)活動中，常常通過觀察來收集新材料，發(fā)現(xiàn)新事實，并通過觀察可以認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)、揭示數(shù)學(xué)的規(guī)律、探求數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)活動中的觀察有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的特征、性質(zhì)與關(guān)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)命題。在數(shù)學(xué)中靠觀察獲得的命題（或猜想）很多。例如，哥德巴赫猜想、費馬大定理等都是由觀察提出的。第七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

再如：設(shè)f為整數(shù)n的素數(shù)因子的個數(shù)，按f的偶性或奇性分別稱為“偶分解”或“奇分解”，如30=2?3?5為奇分解，而60=2?2?3?5為偶分解。則：

12345678910

偶奇奇偶奇偶奇奇偶偶

111213141516

奇奇奇偶偶偶第八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

通過觀察可猜測：奇分解與偶分解的個數(shù)大致相等?，F(xiàn)已證明：在前n個整數(shù)中，當(dāng)n很大時，偶分解和奇分解大約一樣多。

G?波利亞曾試到n=1500，并猜想n≧2時，在前n個整數(shù)中，偶分解從不占多數(shù)。數(shù)學(xué)家D?H?蘭姆曾一直算到n=600000時，波利亞的猜想仍成立。但至今尚未證明。

第九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

歐拉曾經(jīng)說過：“今天人們所知道的數(shù)的性質(zhì)，幾乎都是由觀察所發(fā)現(xiàn)的，并且早在用嚴格論證確認其真實性之前就被發(fā)現(xiàn)了。甚至到現(xiàn)在還有許多關(guān)于數(shù)的性質(zhì)是我們所熟悉而不能證明的；只有觀察才使我們知道這些性質(zhì)。因此我們認識到，在仍然是很不完善的數(shù)論中，還得把最大的希望寄托在觀察之中；這些觀察將導(dǎo)致我們繼續(xù)獲得以后盡力予以證明的新的性質(zhì)?！钡谑摚惨话偎氖?，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

歐拉又指出了觀察的局限性，告誡人們要把“這類僅從觀察為旁證而仍未被證明的知識，必須謹慎地與真理區(qū)別開來，”“不要輕易地把觀察所發(fā)現(xiàn)的和僅從歸納為旁證的關(guān)于數(shù)的那樣一些性質(zhì)信以為真?！?/p>

數(shù)學(xué)解題過程中，觀察有利于探索發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，預(yù)見題目的結(jié)果。第十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

數(shù)學(xué)解題中的觀察比一般的審題和分析的意義更深遠，往往貫穿整個解題過程的始終。一般來說，在數(shù)學(xué)解題過程中，前一個觀察所獲得的感知又為下一個觀察提供了條件，觀察不斷深入，從而洞察問題的本質(zhì)。觀察包含對數(shù)學(xué)問題的精密細致的考察，以及積極合理的思索。第十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

實驗是根據(jù)研究問題的需要，按照研究對象的自然狀態(tài)和客觀規(guī)律，人為地變革、控制和模擬客觀對象，在有利的條件下獲取經(jīng)驗材料的研究方法。實驗方法有助于數(shù)學(xué)理論的研究與發(fā)展；有助于啟發(fā)數(shù)學(xué)解題思路；有助于在數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)思維情景。第十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

由于實驗總是和觀察相互聯(lián)系，觀察常常可用實驗作基礎(chǔ)，而實驗又可使觀察得到的性質(zhì)或規(guī)律得以重現(xiàn)或驗證，實驗?zāi)擞^察的發(fā)展與深化。而實驗比觀察有更大的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在以下兩個方面：第十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

（1）實驗方法具有簡化和純化數(shù)學(xué)對象的作用。因為實驗可借助專門儀器工具，人為地變更、控制和模擬客觀對象，因而能把握實驗者的需要，突出某些主要因素，排除或減少其他次要的、偶然因素的干擾，使研究對象中為研究者所需要的某些屬性或關(guān)系在簡化、純化的形態(tài)下暴露出來，從而準確地認識它。

第十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

（2）實驗方法可以重復(fù)進行或多次再現(xiàn)被研究的對象，以便進行反復(fù)的觀察。數(shù)學(xué)不是實驗性的科學(xué)，因此不能將觀察到的結(jié)果、實驗性的驗證作為判斷數(shù)學(xué)命題的真假性的充分依據(jù)，但它們在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)及探求數(shù)學(xué)問題的解決思路的過程是起著重要作用的。

第十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

觀察和實驗是數(shù)學(xué)思維的基本方式，在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、探求解決問題的方法中都有重要作用。歐拉也曾指出：“數(shù)學(xué)這門學(xué)科，需要觀察，也需要實驗?！毕旅嫖覀儗⑼ㄟ^一些例子來說明觀察與實驗在數(shù)學(xué)研究中的重要作用。

第十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

例1、兔子繁殖問題

13世紀初，意大利數(shù)學(xué)家裴波那契在他所著的《算盤書》中，提出了一個十分有趣的題目：

“有一個人把一對小兔子放在四面都圍著的地方，他想知道一年以后總共有多少對兔子。假定一對小兔子經(jīng)過一個月以后就長大成為一對大兔子。而一對大兔子經(jīng)過一個月就不多不少恰好生一對小兔子（一雌一雄），并且這些生下的小兔子都不死。”

第十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

這是一個算術(shù)問題，但是用普通的算術(shù)公式是難以計算的，為了尋求兔子繁殖的規(guī)律，我們引進記號：1——表示已長大成熟的一對大兔子；0——表示未成熟的一對小兔子；用表示在n月1日總共有兔子的對數(shù)，用分別表示n月1日大兔子的對數(shù)和小兔子的對數(shù)，則通過觀察得到兔子的繁殖規(guī)律列成下表:第十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

觀察此表可得：

n12345670112358101123511235813第二十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

進一步考慮，又可得：（1）第二十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

（2）由以上觀察和歸納所得的結(jié)果，我們有理由猜想兔子的繁殖規(guī)律可以用一個明確的遞推關(guān)系來描述，即第二十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

上面的結(jié)果純粹是建立在觀察和實驗的基礎(chǔ)之上的，是否帶有普遍意義，亦即對一切結(jié)論是否成立，還需要進行嚴格論證。對于遞推關(guān)系式其正確性是肯定的，這可以用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，后人為紀念兔子繁殖問題的提出人，將數(shù)列稱為裴波那契數(shù)列，這個數(shù)列的每一項都叫做裴波那契數(shù)，裴波那契數(shù)列在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、天文等學(xué)科中經(jīng)常出現(xiàn)，并且有許多有趣的性質(zhì)。第二十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗當(dāng)代最著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：“數(shù)學(xué)家好似自然科學(xué)家，在他用一個新觀察到的現(xiàn)象來檢驗一個所猜想的一般規(guī)律時，他向自然界提出問題：‘我猜想這規(guī)律是真的，它真的成立嗎？’假如結(jié)果被實驗明確證實，那就有某些跡象說明這個規(guī)律可能是真實的，自然界可以給你是或非的回答?！?/p>

第二十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗例2、投針問題

1777年，法國科學(xué)家蒲豐提出并解決了一個概率問題：投針問題。這個問題給人們以巨大的啟迪：數(shù)學(xué)與實驗不僅有緣，而且有著十分密切的關(guān)系。投針問題用數(shù)學(xué)語言表述如下：

平面上畫著一些間隔為的一組平行線，在平面上隨機的投擲一枚長為并且質(zhì)量均勻的針，假定，試求此針與平行線相交的概率。第二十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗從幾何概率來看，投針問題的解法是：用M表示針的中點，X表示M到與它最近的一條平行線的距離，表示針與這一平行線的交角（圖2.1）。圖2.1a2那么決定了平面上一個矩形S；同時為了使針與一平行線相交，當(dāng)且僅當(dāng)X，滿足不等式第二十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗于是，我們的問題就等價于在S中隨機地擲一點，求此點落在區(qū)域A中的概率（圖2.2）由積分的幾何意義可知，區(qū)域A的面積是故所求的概率A圖2.2第二十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗投針問題的結(jié)果，提供了用實驗方法求值的理論依據(jù)。設(shè)n是投針的總次數(shù)，m是針與平行線之一相交的次數(shù)，由概率的統(tǒng)計定義，近似等于，于是得在歷史上，有不少人利用上述結(jié)果做過實驗。第二十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

1850年，瑞士數(shù)學(xué)家沃爾夫在蘇黎世，用一根長36mm的針，平行線的距離為45mm，投擲了5000次，得到的近似值為3.1596。

1855年，英國人史密斯投擲了3200次，得到的近似值3.1553。

1864年，英國人?？怂雇多嵙?100次。得到的近似值為3.1419。

1901年，意大利拉澤里尼投鄭了3480次，得到的值準確到第六位小數(shù)，但有人對些結(jié)果持懷疑態(tài)度。

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗第二十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

蒲豐投針實驗提示了數(shù)學(xué)方法的多樣性和靈活性，投針問題被認為是數(shù)學(xué)史上最早的幾何概率的研究成果。

由于幾何概率的研究要以有關(guān)圖形集合的測度為基礎(chǔ)，因而自然要導(dǎo)致積分幾何的建立。

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗第三十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

在現(xiàn)代，由于大型電子計算機的出現(xiàn)，一種新型的數(shù)學(xué)實驗近似計算方法——蒙特卡羅方法迅速地發(fā)展起來。這種方法以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)，將所求的問題同一定的概率模型相聯(lián)系，用電子計算機實現(xiàn)統(tǒng)計模擬或抽樣，以獲得問題的近似解。多用于求繁難的積分。解線性方程組、偏微分方程等問題。下面來說明這種方法的基本思路。

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗第三十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗例如要計算積分的值。由積分的幾何意義就是要求計算圖2.3中的區(qū)域A的面積。即xy110SA圖2.3=區(qū)域A的面積由幾何概率的定義，這就相當(dāng)于“向正方形S中隨機地擲一點”，求此點落在區(qū)域A中的概率，又由概率的統(tǒng)計定義，為求得的近似值，只要求得此點落在區(qū)域A中的頻率，即第三十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗第三十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗隨機地擲一點于正方形的試驗可以由計算機來做，并且可以由計算機來算出n次試驗中落在區(qū)域A的頻率——概率的近似值，也就是積分的近似值。當(dāng)試驗次數(shù)n充分大時，它與的誤差可以很大的概率控制在所需要的精確度內(nèi)。由于大型計算機的運算速度很快，所以可在很短的時間內(nèi)求得所要求的結(jié)果。第三十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或解決數(shù)學(xué)問題的過程中，也免不了觀察和實驗。而決定觀察與實驗的質(zhì)量的主要條件是目的性、計劃性、全面性以及主體的良好知識結(jié)構(gòu)。深入的觀察和良好的實驗可引起廣泛的聯(lián)想和知識遷移，使我們不斷地調(diào)整步驟，通過簡單的情形，去理解和發(fā)現(xiàn)研究對象的性質(zhì)和規(guī)律，還可使我們更快地產(chǎn)生頓悟，找到解決問題的關(guān)鍵。

第三十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

例如，為了得到

“三角形內(nèi)角之和等于180o”這個定理，我們可通過下面的兩個實驗：一是用量角器分別測量三個內(nèi)角的大小，然后求和；

圖2.4ABCD二是在紙上裁下一個三角形（記為△ABC）如圖2.4所示，剪下∠A與∠B，把它們和∠C拼在一起。這時可發(fā)現(xiàn)CD恰好為BC之延長線。通過實驗，不僅幫助我們建立命題，而且實驗二還指出了這個命題證明方法的啟示。第三十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

例3、如果正整數(shù)N（N＞1）的正約數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，求證N是完全平方數(shù)。

此題的證明方法并不顯然，我們可以做一個實驗，去觀察n個特殊的正整數(shù)，其中包括一些非完全平方數(shù)和一些完全平方數(shù)，考慮它們的正約數(shù)的個數(shù)呈現(xiàn)什么規(guī)律，這些規(guī)律是怎樣產(chǎn)生的？第三十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

對非完全平方數(shù)的正約數(shù)個數(shù)的觀察N正約數(shù)正約數(shù)個數(shù)2356712301，21，31，51，2，3，61，71，2，3，4，6，121，2，3，5，6，10，15，302224268第三十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

對完全平方數(shù)的正約數(shù)個數(shù)的觀察N正約數(shù)正約數(shù)個數(shù)491625361001961，2，41，3，91，2，4，8，161，5，251，2，3，4，6，9，12，18，361，2，4，5，10，20，25，50，1001，2，4，7，14，28，49，98，1963353999第三十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

通過觀察，我們得到：對非完全平方數(shù)來說，它們的正約數(shù)序列中，距首未兩端等距離的兩個正約數(shù)的乘積為N，如

12=1×12=2×6=3×4；對完全平方數(shù)來說，它們的正約數(shù)序列中，除了首未兩端等距離的兩個正約數(shù)的乘積為N之外，中間還剩一個正約數(shù)，如

36=1×36=2×18=3×12=4×9=62第四十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

以上實驗，也使我們更加確信：正約數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)的正整數(shù)必為非完全平方數(shù)；正約數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)的正整數(shù)必為完全平方數(shù)。根據(jù)實驗中我們所觀察到的正整數(shù)的正約數(shù)的個數(shù)規(guī)律的啟示，得到本例的證法如下：第四十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗

第四十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.1數(shù)學(xué)中的觀察與實驗習(xí)題

1、用數(shù)學(xué)歸納法證明裴波那契數(shù)列的遞推關(guān)系式：并求出裴波那契數(shù)列的通項。第四十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

比較是確定有關(guān)事物的共同點和不同點的思維方法。比較的過程是先對有關(guān)事物進行分析，區(qū)別每個事物各方面的特征，再將有關(guān)事物按其特征進行對比，得出哪些方面具有共同性，哪些方面又有區(qū)別性，從而鑒別這些事物間的異同，比較是概括的基礎(chǔ)，通過抽象得出的屬性是在比較以后才能認識其共性的。

第四十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

比較可以在相同或相異的對象之間進行，也可以在同類對象的不同方面進行。通過比較，可以從思想上把握現(xiàn)實世界對象的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征，反映客觀事物相互對立又相互聯(lián)系而存在的實際情況，達到正確認識事物的目的。正如俄國教育家烏申斯基所說：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切的”。第四十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類在人們的社會實踐，特別是在科學(xué)研究中，比較作為一種科學(xué)方法普遍地被應(yīng)用。在數(shù)學(xué)研究中通過比較方法確定研究對象的共同點和差異點，為開發(fā)新的研究領(lǐng)域提供指導(dǎo)與線索。數(shù)學(xué)中的許多發(fā)現(xiàn)都是應(yīng)用比較方法完成的。數(shù)學(xué)中的比較是多方面的，有量的大小的比較，有形式結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的比較，也有實質(zhì)方面的比較。比較的目的是把握有關(guān)事物的區(qū)別和聯(lián)系，達到正確認識事物。

第四十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

例如，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，除歐幾里得幾何之外，還存在兩種非歐幾里得幾何，對于歐幾里得《幾何原本》第五公設(shè)來說，這兩種非歐幾里得幾何分別對應(yīng)于下列兩個公理:

羅巴切夫斯基幾何已知在一平面內(nèi)有一條直線和不在上的一點P，則過點P至少存在兩條平行于的直線。

黎曼幾何已知在一平面內(nèi)有一條直線和不在上的一點P，則過點P不存在任何平行于的直線。數(shù)學(xué)家們在關(guān)于歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何的比較研究，給出了三套迥然相異的命題系統(tǒng)。

第四十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

在數(shù)學(xué)教與學(xué)中應(yīng)用比較可以幫助我們找出數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而確切地去理解數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)，澄清一些易于混淆的概念、定理、公式和法則。比較在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中不僅是一種科學(xué)的認識方法，而且已發(fā)展成為一種獨立的數(shù)學(xué)解題方法。

第四十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

不等式的證明方法，因題而異，但是比較法是一種普適性較大的方法。例1、

證法一：作差法，因為第四十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

第五十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

證法二：作商法，因為這就證明了第五十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

例2、

分析：由圖形的特征上可以聯(lián)想有面積關(guān)系：

比較題中待證式與上式的異同可知，由于兩式結(jié)構(gòu)相同，只需從面積關(guān)系入手進行轉(zhuǎn)化即可，于是思路打開。ABCPxzy第五十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類第五十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類比較（1）、（2）兩式，即得結(jié)論。第五十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

例3、第五十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類注：

本題的證法雖很簡單，但其變形的技巧是很高的。本題的證明中，利用了不等式的對稱性，增加了一個補充假設(shè)，從而給論證帶來了很大的方便，這種技巧在證明對稱不等式時常用。本題可作如下的推廣：第五十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類分類是以比較為基礎(chǔ)，按照事物間性質(zhì)的異同，將相同性質(zhì)的對象歸為一類，不同性質(zhì)的對象歸入不同類別的思維方法。分類的目的在于使知識條理化，并進而系統(tǒng)化，促進認識結(jié)構(gòu)的發(fā)展，分類方法雖側(cè)重于理性思維，但是條理化、系統(tǒng)化的信息便于檢索和儲存，對知識的鞏固、理解的深化、后續(xù)學(xué)習(xí)的進行和問題的解決都起著重要的指導(dǎo)作用。第五十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

觀察、比較是分類的前提，分類是觀察、比較的結(jié)果。當(dāng)面臨較復(fù)雜的對象時，人們往往會考慮將對象按某種特征分成幾個部分，逐一加以研究，再綜合之，以達到認識對象全體的目的。這種分類方法在科學(xué)研究中是廣為運用的。第五十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

在數(shù)學(xué)中則把分類作為一種揭示概念外延的邏輯方法，當(dāng)我們要弄清某個數(shù)學(xué)概念是由哪幾種子概念構(gòu)成的時候，就提出了概念分類（或稱為概念劃分）的任務(wù)。用二分法分類，條理清楚，對于從整體上認識種概念與屬概念之間的關(guān)系較為有利。

第五十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

概念的分類必須遵守以下規(guī)則：

1．分類所得的各子項外延的總和，應(yīng)當(dāng)與被分類的概念的外延相等。

2．分類所得的各子項，應(yīng)當(dāng)是互相排斥的。

3.分類應(yīng)取被分類概念最鄰近的屬概念,按步驟和層次逐步進行,不能越級。

4．分類應(yīng)按同一標準進行。

第六十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

一切事物都必須分門別類加以研究，才能條理清楚、涇渭分明，作為反映現(xiàn)實世界各種現(xiàn)象普遍聯(lián)系和制約關(guān)系的數(shù)學(xué)，是以概念為支柱的，沒有分類，數(shù)學(xué)概念就不復(fù)存在，也無法發(fā)展。分類往往可使復(fù)雜的問題簡單化，使隱晦的條件變?yōu)槊黠@，從而有助于我們分別思考，各個擊破，大到一個數(shù)學(xué)分支學(xué)科，小到某個具體問題，幾乎一切數(shù)學(xué)問題都與分類有關(guān)。學(xué)會在不同的場合把復(fù)雜的對象按需要進行分類，是數(shù)學(xué)研究中一種很重要的基本功。

第六十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類在解答某些數(shù)學(xué)問題時，分類討論法是根據(jù)問題的不同情況分類求解的一種極為重要的數(shù)學(xué)方法，對于分類方法的分析、研究和掌握，有利于培養(yǎng)周密、全面的數(shù)學(xué)思維，有利于培養(yǎng)綜合分析問題的能力。下面我們將通過一些典型例題來說明分類討論法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。第六十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

例4、試討論空間三平面的一切可能的位置關(guān)系。

分析：空間三平面的位置關(guān)系是一個復(fù)雜的關(guān)系。怎樣分類才能做到無重復(fù)有無遺漏呢？應(yīng)抓住分類各個階段的分類標準。

首先抓三個平面有無重合，在有二個重合的條件下再按與第三個平面是相交還是平行進行分類；對三個平面都不重合的情況下再按有幾個平面平行來分類；對三個平面都不平行的情況再按三條交線是否重合，平行、相交來分類。這樣逐級進行分類，才可避免重復(fù)與遺漏。

第六十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類三個平面的一切可能的位置關(guān)系為：

1．

三個平面重合

2．

二個平面重合

3．

三個平面平行

4．

兩個平面平行

5．

三個平面兩兩相交第六十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

例5、有標有0、1、2、3、4、5、6、7、8的卡片9張，從中選3張，用其數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。如果卡片6也可以當(dāng)9用，試問：這樣組成的三位數(shù)有多少個？

解：由卡片6的特殊性，按6進行分類，分為三類：

（1）不含6，這樣的三位數(shù)由0、1、2、3、4、5、7、8、中選三個數(shù)字組成，共有個。第六十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

（2）含6不含零，這樣的三位數(shù)由1、2、3、4、5、6、7、8中選三個數(shù)字組成，但由于6必須取，因而，共有個。（3）含6又含零，這樣的三位數(shù)有個。綜合（1）、（2）、（3）可知，這樣的三位數(shù)總共有個。第六十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類例6、試證不小于5的質(zhì)數(shù)的平方與1的差必為24的倍數(shù)。分析：如何表示不小于5的質(zhì)數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵，而質(zhì)數(shù)又無簡單的通項公式。因而進一步去考慮將不小于5的質(zhì)數(shù)擴大為不小于5的自然數(shù)，并分為如下六類：6n，6n+1，6n+2，6n+3，6n-2，6n-1。因為不小于5的質(zhì)數(shù)不可能為偶數(shù)或3的倍數(shù)，所以不小于5的質(zhì)數(shù)只可能落在之中，若我們能證明：，則命題也自然得證。第六十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類事實上，第六十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類例7、若都是自然數(shù)，求證：能被30整除。分析：因為第六十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

運用分類法解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，就在于分類對象或范圍要選得準，并找到適當(dāng)?shù)姆诸悩藴省榇司捅仨氝\用辯證的邏輯思維，具體事物具體分析，在表面上極為相似的事物之間看出它們本質(zhì)上的差異點，在表面上差異極大的事物之間看出它們本質(zhì)上的相同點，發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)特征。這樣才能揭示數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在聯(lián)系，暴露所涉及范圍的制約關(guān)系。

第七十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

例8、已知在20個城市之間共辟有172條航線，證明：利用這些航線，可以從其中任何一個城市飛抵其余任何一個城市（包括中轉(zhuǎn)后抵達）。

證：假設(shè)其中存在某個城市A，由它僅能飛抵n＜19個城市，我們將所有的城市分為兩類：一是將A及由A可以飛抵的n個城市歸入X類；二是將A不能飛抵的19-n個城市歸入Y類。第七十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類

于是在分屬X類與Y類的任意兩個城市之間都沒有航線連接（否則由A即可以經(jīng)過中轉(zhuǎn)而飛抵屬于Y類城市）。這樣一來，航線的總數(shù)目就應(yīng)超過注意到0≤n≤18，對于這樣的整數(shù)n，顯然（n-19）(n+1)≤-19。于是就有

190+（n-19）（n+1）≤171條。這與已知的共有172條航線的事實相矛盾，可見不存在所述城市A，即是說，由這20個城市中的任一城市都可飛抵其余任何一個城市。第七十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.2數(shù)學(xué)中的比較與分類習(xí)題1、若都是自然數(shù)，求證：能被30整除。2、已知三個平面兩兩相交，有三條交線。證明：這三條交線交于一點或互相平行。3、第七十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比猜想是根據(jù)某些已知的事實材料和數(shù)學(xué)知識，通過理論思維的能動性，對未知量及其關(guān)系所作出的一種猜測性的推斷。恩格斯說過：“只要自然科學(xué)在思維著，它的發(fā)展形式就是假說。”數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)研究的一個科學(xué)方法，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種重要形式。第七十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

無論是數(shù)學(xué)家或是正在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生，在研究數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，令人最感到困惑也是最引人入勝的環(huán)節(jié)之一，就是如何發(fā)現(xiàn)定理以及怎樣才能證明定理。牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！?/p>

波利亞也說過：“對于正積極搞研究的數(shù)學(xué)家來說，數(shù)學(xué)也許往往像猜想游戲：在你證明一個數(shù)學(xué)定理之前，你必須猜想到這個定理，在你搞清楚證明細節(jié)之前，你必須先猜想出證明的主導(dǎo)思想。”

第七十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

由于猜想都是對事物的現(xiàn)象和規(guī)律的推測，尚未達到確切可靠的認識，因而有待于進一步通過科學(xué)實驗來檢驗或證實，作為數(shù)學(xué)猜想，則應(yīng)通過嚴格的論證以確認。在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，曾經(jīng)有過許多著名的猜想，如哥德巴赫猜想、費馬猜想（費馬大定理）、歐拉猜想（36名軍官問題）、黎曼猜想、比勃巴赫猜想、希爾伯特猜想（希爾伯特23個問題）和四色猜想等等。這些猜想，有的經(jīng)過長期努力得到了證明；有的則給出了否定的解決；還有更多的猜想人們正在繼續(xù)努力，或有所進展或突破，或接近于解決，或尚未取得重大的成果。

第七十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

眾多的數(shù)學(xué)家在研究和探索猜想的過程中，不僅極大地豐富了數(shù)學(xué)本身的內(nèi)容，而且推動著數(shù)學(xué)向前發(fā)展。那么猜想是怎樣在某些事實的基礎(chǔ)上，借助于邏輯思維而逐步形成的呢？我們說，這主要是在觀察和比較的基礎(chǔ)上通過歸納和類比。

拉普拉斯說過：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！?/p>

第七十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

高斯也說過：“在數(shù)論中由于意外的幸運頗為經(jīng)常，所以用歸納法可萌發(fā)出極漂亮的新的真理?！睔w納法是從個別事實中概括出一般原理的科學(xué)方法，歸納法有完全歸納法和不完全歸納法之分。

我們這里所論述的主要是不完全歸納法，它是指由個別性前提推出一般性結(jié)論的推理方法。第七十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比從邏輯觀點上來看，不完全歸納法是根據(jù)某類事物的部分對象具有某種屬性，而推出該類事物全部對象都具有這種屬性的一般性結(jié)論的一種推理方法，其推理模式為：第七十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

歸納法是由一定數(shù)量的單稱陳述出發(fā)，通過思維的“頓悟”過渡到全稱陳述，這就是猜想，由歸納法提出的猜想，雖然不具備演繹推理的那種必然性，但它是一種經(jīng)過若干事例驗證了的猜想，經(jīng)過驗證的事例越多，猜想的置信度就越高。不完全歸納方法的主要意義在于其猜測和發(fā)現(xiàn)性，是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的一種基本方法。第八十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，通過歸納法提出的猜想不計其數(shù)。著名的哥德巴赫猜想就是一例。

1742年，德國的一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師哥德巴赫根據(jù)奇數(shù)77=53+17+7，461=449+7+5=257+199+5等個別例子看出，每次相加的三個數(shù)都是素數(shù)，于是他提出猜想，所有大于5的奇數(shù)都可以分解為三個素數(shù)之和，他將此猜想告訴歐拉，歐拉肯定了他的想法，并補充提出：所有大于4的偶數(shù)都可分解為兩個素數(shù)之和，這二者后來即稱為哥德巴赫猜想。

第八十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

這個猜想提出至今已有近260多年的歷史，在這漫長的歲月里，也有人對此提出過懷疑，于是不斷有人進行過大量的驗算，至今已驗算到5×108以內(nèi)的偶數(shù)都是對的。雖然到目前，哥德巴赫猜想尚未被證明為正確，也沒有人予以否定，但是圍繞這個猜想所作的研究，卻積累了相當(dāng)多的資料與成果，特別近半個世紀以來，進展迅速，成績顯著，達到了非常精深的境界，在這些成績中，包括陳景潤，王元等在內(nèi)的我國數(shù)論學(xué)派占世界領(lǐng)先地位。第八十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

通過歸納方法提出猜想，爾后又被證明是正確的，這樣的例子當(dāng)然很多，如關(guān)于凸多面體的歐拉定理

F+V=E+2

其中F，V，E分別表示凸多面體的面、頂點和棱，就是著名的一個。第八十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

又如數(shù)論中的“四方定理”，即方程對任何自然數(shù)都有，，，的非負整數(shù)解。這個命題最初是由17世紀的法國數(shù)學(xué)家巴切特提出的，開始他沒有給出證明，但是他一直驗證到325都是正確的。盡管如此，這時命題仍然只能稱為“巴切特猜想?！焙髞?，巴切特自己得到了證明，“猜想”才成為“定理”。第八十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

不過由于歸納方法得到的結(jié)論并非必然，所以由歸納方法產(chǎn)生的猜想以后被否定的情況亦不鮮見。如法國數(shù)學(xué)家費馬曾經(jīng)認為：對于任何非負整數(shù)n，形狀如的數(shù)都是素數(shù)。這樣的數(shù)叫做“費馬數(shù)”而用符號來表示，則第八十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

費馬根據(jù)對前五個數(shù)的觀察，通過歸納，就認為他的結(jié)論是正確的，但歐拉在1732年發(fā)現(xiàn)這就是說，費馬的這一猜想是錯誤的。要注意，在費馬數(shù)中間，當(dāng)n＞4時，人們找出了許多不是質(zhì)數(shù)的費馬數(shù)，而其中有些卻已經(jīng)被證明是合數(shù)，如第八十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

雖然如此，但我們還不知的全部素因數(shù).是一個2525223位數(shù)字，如果用本書中的字體印出來，就要有5km的長度。直到現(xiàn)在，在費馬數(shù)中，是否有無窮多個素數(shù)？或者是否有無窮多個合數(shù)？都是沒有解決的問題。但若從另一方面來歸納，當(dāng)n=2，3，4，5時的末位數(shù)都是7，因此猜想：當(dāng)時所有的費馬數(shù)的末位數(shù)都是7。這個結(jié)論卻是正確的。證明如下：第八十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

第八十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

又如：質(zhì)數(shù)分布定理的發(fā)現(xiàn)。研究自然數(shù)1到N內(nèi)質(zhì)數(shù)的個數(shù)P。第八十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比0.921.151.161.081.054221457238248254942-0.19740.60520.95541.07631.05662.30264.60526.907813.815520.72332.545.952412.739219.66674251687849850847478101001000PN第九十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比第九十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

通過歸納得到的猜想的過程也并不是一蹴而就的，因為手頭上的經(jīng)驗材料大多是支離破碎的，不經(jīng)過一番仔細的分析、研究，將很難發(fā)現(xiàn)蘊涵在其中的關(guān)系，而這些關(guān)系正是歸納賴以進行的依據(jù)。下面我們來看一例。

第九十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

例1、證明數(shù)列12，1122，111222，……，每項都是相鄰的兩整數(shù)之積。

分析：下面我們對數(shù)列的前幾項進行考察（對含“1”的個數(shù)）當(dāng)n=1時，12=3×4，命題成立。當(dāng)n=2時，要把1122分解就不容易了，這時我們設(shè)定命題成立，即設(shè)1122=n(n+1)，則第九十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

即這個信息很重要，它表明n和n+1可以用開方運算迅速地猜到：

經(jīng)驗證果然成立，同法可以分解出：

當(dāng)n=3時，111222=333×334第九十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

當(dāng)n=4時，11112222=3333×3334；

……

……繼而歸納得出：這純粹是猜測，不能算作證明，但猜測到了積的結(jié)構(gòu)，尋找證明就容易多了。第九十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

第九十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

從例1看出，某些數(shù)學(xué)問題，其結(jié)論未直接給出，這就需要我們?nèi)ヌ角?，恰?dāng)?shù)赝ㄟ^歸納，根據(jù)一定數(shù)量的事實建立猜想，就能較快地找到結(jié)論。當(dāng)面臨一個生疏的或者是非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題時，我們適當(dāng)運用歸納法，建立猜想，也常是探索解決問題的方法的一個好途徑。第九十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

例2、試把1991表成若干正整數(shù)之和，使這些數(shù)的積最大。

分析：把1991表成若干正整數(shù)的和的情形很多，直接一一列舉是很困難的。也是不可能的，那我們還是回到最簡單的情形進行考查，探求分解的規(guī)律，再推廣到一般情形。數(shù)2：只能表為1+1，但1×1＜2，這說明不如不變，看來從原數(shù)中分出1是不合算的，這種分解情況不再予以考慮；數(shù)3：不如不變；數(shù)4：表為2+2，因2×2=4，故變與不變無區(qū)別；第九十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

數(shù)5：表為2+3，因2×3=6，故積的最大值為6；

數(shù)6：表為3+3，則3×3=9；表為2+4，則2×4=8；表為2+2+2，則2×2×2=8；后兩種情況可歸結(jié)為一種情況，因為4=2+2，故變與不變無區(qū)別，所以積的最大值為9，可見，表成3個2的和不如表為2個3的和；數(shù)7：表為2+5，5應(yīng)繼續(xù)表為2+3，可見積最大為3×2×2=12；第九十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

數(shù)8：表為2+6，3+5，應(yīng)把6，5繼續(xù)表為若干個2的和。此外8表為4+4也可繼續(xù)表為4個2的和?？梢姺e最大為3×3×2=18；數(shù)9：表為2+7，3+6，4+5，同樣7、6、5也應(yīng)繼續(xù)表為若干個2和3的和，這時也發(fā)現(xiàn)積最大為3×3×3=27。經(jīng)過上述枚舉，可以猜想到：欲得所求，應(yīng)該把數(shù)表為若干個2或3的和。

第一百頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

現(xiàn)在我們來證明這個猜想，首先把1991表成若干個正整數(shù)的和，欲使其積最大，這些加數(shù)均不超過4，否則，不妨假設(shè)存在一加數(shù)為x,x＞4，那么，x可表為2+（x-2），但

2(x-2)=2x-4=x+(x-4)＞x

這就使得其積增大。其次，我們可把4表成兩個2的積，且應(yīng)把3個2的和表為2個3的和，即加數(shù)中2的個數(shù)不宜超過2個。

第一百零一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

因此，應(yīng)把1991表為663個3與2個2的積，因此所求積的最大值為。上述的結(jié)論可推廣到任意大于1的自然數(shù)N.即當(dāng)時，N可表示為k個3的和，其所有加數(shù)的積最大，此積為3k；當(dāng)N=3k+1時，N可表為k-1個3與2個2的和，其所有加數(shù)的積最大，此積為；當(dāng)N=3k+2時，N可表為k個3與1個2的積，其所有加數(shù)的積最大，所求的積的最大值為。第一百零二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們也可以像數(shù)學(xué)研究一樣，引導(dǎo)學(xué)生運用歸納等方法，通過猜想去發(fā)現(xiàn)新的命題，當(dāng)然這個命題是有待于證明。例3、試由下面一組等式出發(fā)，推測并證明一個定理：

32+42=52；

102+112+122=132+142；

212+222+232+242=252+262+272；

362+372+382+392+402=412+422+432+442；

…………第一百零三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

分析：通過觀察所給等式結(jié)構(gòu)上的特點，欲要找出奇數(shù)個連續(xù)自然數(shù)平方和的性質(zhì)，其關(guān)鍵就在于找到各等式左端的首項構(gòu)成的數(shù)列的性質(zhì)。我們不難發(fā)現(xiàn)：這些等式左端的首項構(gòu)成一個二階等差數(shù)列：即

第一百零四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

根據(jù)所給的一組等式（不妨再可驗證n=5時的等式），猜想：第一百零五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比第一百零六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比第一百零七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

類比是指在兩類不同的對象之間，由它們的某些相似的屬性推出另外的屬性也相似的推理，類比方法是由此及彼的過程，是由個別到個別的邏輯推理。由類比方法提出猜想，雖然也不具備演繹推理的那種必然性，但是因為它是以兩類對象之間的相似的屬性愈多，其所推出的另外的屬性也相似的結(jié)論的置信度就愈高。第一百零八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比最簡單的類比，可用如下公式表示：（Ⅰ）甲對象具有屬性a，b，c，d。乙對象具有屬性a，b，c。乙對象可能具有屬性d。上面這種類比形式，限制太死，束縛了思想的展開。如果不要求對比的性質(zhì)完全相同，而只要求相似，則有如下的類比公式（Ⅱ）甲對象具有屬性a，b，c，d。乙對象具有屬性A，B，C分別與a，b，c相似。乙對象可能具有與d相似屬性。第一百零九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

這種類比形式在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，使用這種類比的關(guān)鍵是找出兩類對象之間的相似性，兩類對象之間的相似的屬性愈多，其所推出的另外的屬性也相似的結(jié)論的置信度就愈高。從上述兩種形式的類比中可總結(jié)出類比法的幾個特征：（1）類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性。（2）類比的結(jié)果是猜測性的，不一定可靠，但具有發(fā)現(xiàn)功能。第一百一十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

類比能提供一條線索，幫助我們分析猜想，發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑，是擴大知識的范圍、獲得新知識的重要手段，在獲得科學(xué)知識和數(shù)學(xué)命題中有重要作用。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，通過類比方法提出的猜想也不少。例如§1.3的“自然數(shù)平方的倒數(shù)和”問題，就是歐拉運用類比方法獲得猜想及精彩的結(jié)論的一個范例，又如“自然數(shù)的方冪和”問題，即第一百一十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

例如，對于任意自然數(shù)m，是否都存在一個求和的方法？自古希臘以來，歐洲人一直對這個問題懷有興趣，但到了17世紀，他們所知道的也僅限于m=1，2，3這三種情形，阿拉伯人知道得稍多一些，他們得到了第一百一十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

那么，進一步如何求自然數(shù)的五次方冪和、六次方冪和？更一般地，自然數(shù)的m次方冪和又怎樣來求呢？

1638年，費馬注意到公式：第一百一十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

他作了一個類比，得到

在證明了上式的正確性之后，費馬進一步通過類比方法獲得（1）第一百一十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

此式可以通過數(shù)學(xué)歸納法加以證明。由此式費馬得到了求自然數(shù)的方冪和的公式，如取p=3，則（1）式可化為（2）第一百一十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

將及代入②式就可求得依此類推，利用求的公式，根據(jù)（1）式可得出求的公式。第一百一十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

這樣，費馬就獲得了根據(jù)前(n-1)個自然數(shù)方冪和公式導(dǎo)出第n個自然數(shù)方冪和公式的遞推方法，解決了求“自然數(shù)方冪和”的問題。再如，我們知道，一個三角形任意兩邊之和必大于第三邊，后來，人們在反復(fù)驗算的基礎(chǔ)上，受到上述三角形不等式的啟迪，通過類比提出猜想：對于自然數(shù)x＞1，y＞1，總有

其中，，分別表示不超過x，y，x+y的素數(shù)的個數(shù)，這個猜想是否正確，至今尚未得出結(jié)論。第一百一十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

天文學(xué)家開普勒曾經(jīng)說過：“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密”。波利亞也曾說過：“類比是一個偉大的引路人”……“每當(dāng)理智缺乏可靠的思路時，類比這個方法往往能指引我們前進?！?/p>

第一百一十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

類比法除了具有提出新問題和作出新發(fā)現(xiàn)、擴大知識范圍，獲得新知識的重要作用外，還有助于探索解題思路。類比法在解決問題中也有廣泛的應(yīng)用。波利亞指出：“選出一個類似的，較易的問題，去解決它，改造它的解法，以使它可以用作一個模式。然后，利用剛剛建立的模式，以達到原來問題的解決。”“這種方法在外人看來似乎是迂回繞圈子，但在數(shù)學(xué)上或數(shù)學(xué)以外的科學(xué)研究中是常用的?！?/p>

第一百一十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比運用類比法發(fā)現(xiàn)解題思路，就是通過觀察和聯(lián)想尋找與待解決問題相似的熟悉問題作為類比對象，由于相似問題的解法也有一定的相似性，從而可以借鑒熟悉問題的解題思想和方法，去發(fā)現(xiàn)待解決問題的解題途徑和方法。通過類比達到啟發(fā)思路，提供線索，舉一反三，觸類旁通的效果。用類比法指導(dǎo)數(shù)學(xué)解題，關(guān)鍵在于尋找一個合適的類比對象。一般來說，可根據(jù)數(shù)學(xué)問題的不同特點，從題型結(jié)構(gòu)、圖形特征、有關(guān)性質(zhì)、解題方法等方面進行類比，以尋覓恰當(dāng)?shù)念惐葘ο?。第一百二十頁，共一百四十六頁，編輯?023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

例4、空間中沒有任何二個平行，沒有任何三個共線，沒有任何四個共點的n個平面可把空間分成多少區(qū)域？分析：這個問題使我們?nèi)菀茁?lián)想到類似的一個平面問題：“平面中沒有任何二條平行，沒有任何三條共點的n條直線可把平面分為多少個區(qū)域？”第一百二十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

對于這個“平面問題”運用歸納法，考查n=1,2,3,4,…的個別情形可得：

f(1)=2;f(2)=f(1)+2=2+2=4;f(3)=f(2)+3=4+3=7;f(4)=f(3)+4=7+4=11…

可以推測：當(dāng)n=k時，

f(k)=f(k-1)+k（※）第一百二十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

這里f(n)表示n條處于一般位置的直線將平面分成的區(qū)域數(shù)。由遞推關(guān)系（※）我們可知，第k條直線被前k-1條直線分成k段，這k段線將所在的區(qū)域一分為二，于是f(k)比f(k-1)增加了k個區(qū)域。亦即有：第一百二十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

將“立體問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”，并在“立體問題”與“平面問題”的類比中得到啟發(fā)，可利用“平面問題”的結(jié)論來解決“立體問題”。設(shè)平面與平面的交線依次為由題設(shè)可知，這k條直線無任何兩條平行，無任何三條共點，于是由上述“平面問題”知被k條直線分成個區(qū)域。第一百二十四頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

又設(shè)k個平面將空間分為個區(qū)域，若增加一個平面,則被條交線分成f(k)個區(qū)域，這時空間被分成的區(qū)域就增加了f(k)個即：并可得出：第一百二十五頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

例5、第一百二十六頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比分析：這個問題條件很復(fù)雜，直接從給出條件求出x+y+z的表達式是很困難的，因此我們想到用類比法，從條件（1）的結(jié)構(gòu)形式容易聯(lián)想到三角形內(nèi)角正切的恒等式

tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC

這個恒等式可作為條件（1）的類比對象，于是我們可令r=tgA,s=tgB,t=tgC因r、s、t都是正實數(shù)，故A、B、C都是銳角，而且A+B+C=180o。由此我們又有第一百二十七頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比xABCyz第一百二十八頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比從（5）、（6）、（7）的結(jié)構(gòu)形式可以聯(lián)想到平面幾何中一個相似的問題：在邊長為1的正三角形中，求到三個頂點距離之和為最小的點及這個最小值。這個問題的結(jié)論是：到邊長為1的正三角形三個頂點距離的和為最小的點是它的重心，其最小值為。用這個問題與原問題類比，可令x、y、z分別表示邊長為1的三角形內(nèi)一點到三個頂點的距離，運用類比推理就得到，x+y+z的最小值可能是。第一百二十九頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比雖然這個結(jié)論仍是猜想，但我們是通過結(jié)構(gòu)形式上的相似尋找類比對象的，而且正實數(shù)與兩點間的距離這兩個類比對象之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。這種對應(yīng)在數(shù)學(xué)上稱為同構(gòu)對應(yīng)，具有同構(gòu)對應(yīng)的兩個類比對象，它們的基本性質(zhì)尤其是運算性質(zhì)也是對應(yīng)的，所以這種推理的結(jié)論是正確的。

第一百三十頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六

§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比

運用通過結(jié)構(gòu)的相似找出類比對象的方法，就要善于把待解決的數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論進行適當(dāng)?shù)淖冃?，使它與某些已知的公式或定理的結(jié)構(gòu)相似，進行類比，從而使問題獲得解決。例6、

若把

n個無區(qū)別的小球放入k個不同的盒子中（k≤n），問有多少種不同的放法？

第一百三十一頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比分析：這個問題較復(fù)雜，我們先考慮比較簡單的情形，即不允許出現(xiàn)空盒的情形。設(shè)想已把n個小球一字排開，并用k-1塊隔板把它們隔成k段，然后再把各段分別對應(yīng)各個盒子，顯然隔板數(shù)目即為我們所求放法的數(shù)目，由于此時不能出現(xiàn)空盒，所以隔板只能放在n個小球之間的n-1個間隔位置上，而且每個間隔位置至多只能放置一塊隔板，這也就相當(dāng)于從n-1個間隔位置上選出k-1個來放置隔板。由此可知，共有種不同的隔法，因此也就有種合乎要求的放球入盒的方法。第一百三十二頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比再考慮一般情形，即允許出現(xiàn)空盒，如果我們把小球數(shù)目再增加k個，總共n+k個，這樣可按不允許出現(xiàn)空盒的情形來考慮(即將增加的k個球每個盒子放一個)，這樣就有種不同的放法，然后再從已放好小球的k個盒子中分別取出一個小球，這樣就可能出現(xiàn)空盒子，所以，合乎要求的放法就有第一百三十三頁，共一百四十六頁，編輯于2023年，星期六§2.3提出數(shù)學(xué)猜想的一般方法：歸納與類比這個問題可類比到許多不同形式的問題上去，例如：（