人教B版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何重點難點解題方法規(guī)律歸納總結

第一章空間向量與立體幾何

1.1空間向量及其運算........................................................I

1.1.1空間向量及其運算..................................................1

1.1.2空間向量基本定理..................................................9

1.1.3空間向量的坐標與空間直角坐標系...................................15

1.2空間向量在立體幾何中的應用............................................24

1.2.1空間中的點、直線與空間向量.......................................24

1.2.2空間中的平面與空間向量...........................................31

1.2.3直線與平面的夾角.................................................37

1.2.4二面角............................................................44

1.2.5空間中的距離.....................................................52

1.1空間向量及其運算

1.1.1空間向量及其運算

1.空間向量

(1)定義：空間中既有大小又有方囪的量稱為空間向量.

(2)模(或長度)：向量的大小.

(3)表示方法：

①幾何表示法：可以用有向線段來直觀的表示向量，如始點為A終點為B的向

量，記為贏，模為I贏I.

②字母表示法：可以用字母小b,c,…表示，模為⑷，\b\,|c|,….

2.幾類特殊的向量

(1)零向量：始點和終點相同的向量稱為零向量,記作0.

(2)單位向量：模等于L的向量稱為單位向量.

(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量稱為相等向量.

(4)相反向量：方向相反，大小相笠的向量稱為相反向量.

(5)平行向量：方向相同或者相反的兩個非零向量互相坦1，此時表示這兩個非

零向量的有向線段所在的直線壬任或重合.通常規(guī)定零向量與任意向量平行.

(6)共面向量：一般地，空間中的多個向量，如果表示它們的有向線段通過平移

后，都能在同一平面內,則稱這些向量共面.

思考：空間中任意兩個向量共面嗎？空間中任意三個向量呢？

［提示］空間中任意兩個向量都是共面的，但空間中任意三個向量不一定共面.

3.空間向量的線性運算

類似于平面向量，可以定義空間向量的加法、減法及數(shù)乘運算.

圖2

(1)如圖1,OB=OA+AB=a+b,&=OA-OC=a~b.

(2)如圖2,DA+DC+DD\=^.

即三個不共面向量的和，等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個向

量有共同始點的對角線所表示的向量.

(3)給定一個實數(shù)人與任意一個空間向量a,則實數(shù)％與空間向量a相乘的運算稱

為數(shù)乘向量，記作/4其中：

①當2W0且“W0時，的模為而⑷,而且〃的方向：

(i)當2>0時，與a的方向相同；

(ii)當4V0時，與a的方向相反.

②當2=0或a=0時，za=0.

(4)空間向量的線性運算滿足如下運算律：

對于實數(shù)人與〃，向量a與。，有①2a+〃a=(4+")a；②2(a+b)=2a+勸.

4.空間向量的數(shù)量積

⑴空間向量的夾角

如果｛a,b)

⑵空間向量數(shù)量積的定義:

已知兩個非零向量a,b,則⑷血cos〈a,b)叫做a,h的數(shù)量積(或內積)，記作

a-b.

(3)數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影

如圖所示，過向量a的始點和終點分別向b所在的直線作垂線，即可得到向量

a在向量〃上的投影a'.

②數(shù)量積的幾何意義：a與b的數(shù)量積等于。在8上的投影的數(shù)量與b的長

度的乘積，特別地，。與單位向量e的數(shù)量積等于。在e上的投影#的數(shù)量.規(guī)定零

向量與任意向量的數(shù)量積為0.

（4）空間向量數(shù)量積的性質:

?a±Z?<=>a-6=0；

@a-a=\a^=(r-,

③仙I；

(4)(za)-Z>=2(aZ>)；

⑤。。=布(交換律)；

⑥(a+b>c=trc+"c(分酉己律).

重點題型一空間向量的概念及簡單應用

【例1】（1）下列說法中正確的是（）

A.若|a|=|加，則a,5的長度相同，方向相同或相反

B.若向量。是向量方的相反向量，則|a|=網(wǎng)

C.空間向量的減法滿足結合律

D.在四邊形ABCO中，一定有贏+俞=元

B[|a|=|Z||,說明a與方模長相等，但方向不確定.對于a的相反向量方=一。，

故|。|=步|,從而B正確.只定義加法具有結合律，減法不具有結合律；一般的四邊形

不具有油+而=就，只有平行四邊形才能成立.故A、C、D均不正確.]

（2）如圖所示，以長方體ABCD-A山CiDi的八個頂點的兩點為始點和終點的向量

①試寫出與靠是相等向量的所有向量；

②試寫出筋1的相反向量；

③若AB=AO=2,44尸1,求向量啟1的模.

[解]①與向量贏是相等向量的（除它自身之外）有益1,虎及萬2I,共3個.

②向量筋i的相反向量為啟，屈B,GC,DjD.

@|AC11=N|贏F+1助F+IA41I2

=^22+22+12=木=3.

廠.....??規(guī)Wc75法.........................

1.兩個向量的模相等，則它們的長度相等，但方向不確定，即兩個向量(非零向

量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件.

2.熟練掌握空間向量的有關概念、向量的加減法的運算法則及向量加法的運算

律是解決好這類問題的關鍵.

重點題型二空間向量的線性運算

【例2】(1)如圖所示，在三棱柱ABC-48cl中，N是AiB的中點，若3=a,

CB=b,CC\=c,則K=()

A.；(。+8—c)B.g(a+b+c)

C.Q+〃+/CD.a+/(b+c)

(2)如圖，已知長方體化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡

結果的向量.

AB

①一函

②啟+贏+危.

(1)B［若AB中點為。，CN=CD+DN=^a+b+c),故選B.

⑵［解］?AA'-CB=AA'-DA=AA'+AD=Ab'.

②q'+贏+成:'=(屹'+贏)+就'=翁'+就'=啟'.

向量前二啟，如圖所示：

廠......規(guī)律c方法........................

1.首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點

=

的向量，即AiAz+Az/h+As/UH-----\-An-\AnA\Af1.

2.首尾順次相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為0.如圖，OB+

BC+cb+5E+EF+FG+GW+wb=0.

重點題型三數(shù)量積的運算及應用

［探究問題］

1.空間兩個向量夾角定義的要點是什么？

［提示］(1)任意兩個空間向量都是共面的，故空間向量夾痢的定義與平面向量夾

角的定義一樣.

(2)作空間兩個向量夾角時要把兩個向量的起點放在一起.

(3)兩個空間向量的夾角是唯一的，且〈a,b)=〈5，?！?

2.聯(lián)想空間向量數(shù)量積的定義，如何求兩個向量a,b的夾角？如何求|。+方|?

1提示］借助cos〈a,b)=而麗，求向量a,方的夾角.借助|a+b|=)(a+i?)2=

+2a力+52求模.

【例3】如圖所示，已知正四面體QABC的棱長為1,點E,P分別是QA,

0C的中點.求下列向量的數(shù)量積：

⑴蘇歷；

(2)EF-CB；

(3)(04+OB)(CA+CB).

［思路探究］根據(jù)數(shù)量積的定義進行計算，求出每組向量中每個向量的模以及兩

向量的夾角，注意充分結合正四面體的特征.

［解］(1)正四面體的棱長為1,則=△0A8為等邊三角形，/AOB

=60°,于是：

04-08=|04||dB|cos<04,0B)

1

=|OA||dB|cosZAOB=lXIXcos60°=

T

(2)由于E,尸分別是OA,OC的中點,

所以EF

于是濟麗|無|cos<EF,CB)

=g|以H函cos<AC,CB>

=|xIXlXcos(AC,CB)

1

=^X1X1XCOS120°=4-

(3)(O44-(9B)(CA+CB)

=(OA+OB)(OA-OC+OB-OC)

=(OA+OB)\OA+OB-2OC)

=dA2+dAOB-2dAOC+OBOA+OB2-2OBOC

,11,1,1

=1+］—2X5+5+1—2X］=1.

［母題探究］

1.（變條件，變結論）若H為8C的中點，其他條件不變，求E”的長.

［解］由題意知礪=

g(08+0C),OE=^OA,

：.EH=OH-OE=

1—?—?—?

^(OB+OC-OA),

J^^^OB^+OCr+O^+lOBOC-lOBOA-lOCOA),

^\OB\=\OC\=\OA\=\.且〈為，OC>=60°,(.OB,OA)=60°,<OC,OA)

=60°.

OBOC=^,OBOA=^,OCOA=^.

：.|EW]2=^1+H-1+2x1-2X^-2X^=1，

即|西=坐，所以EH的長為喙.

2.（變結論）求異面直線?！迸cBE所成角的余弦值.

.J3

［解］在△A08及△30C中，易知BE=OH=^,

—?I―?—?—?］—?-?

又BE，OA-OB,OH=^OB+OQ,

：.BEQH=^OAOB+^OAOC-}jOB^-^OBOC

1111111

X--X---X---

2+-42-2-22-2

L-、BEOH2

..cos(BE,OH)=----------=一辛

\BE\\OH\

(Ti\2

又異面直線所成角的范圍為(0,可，故異面直線?！迸c3E所成角的余弦值為亍

「.......規(guī)法.......................

1.在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟

(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；

(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積；

(3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模；

(4)代入公式4力=⑷?網(wǎng)，cos(a,b)求解.

2.非零向量a與8共線的條件是“力=土⑷加|.

提醒：在求兩個向量夾角時，要注意向量的方向.如本例中〈譯，CB)=<AC,

CB)=120°,易錯寫成60。，為避免出錯，應結合圖形進行計算.

1.1.2空間向量基本定理

1.共面向量定理

如果兩個向量。，8不共線，則向量a，兒c共面的充要條件是存在唯一的實數(shù)

對(x,y),使c=xa+yb.

思考1：平面向量基本定理中對于向量a與》有什么條件，在空間中能成立嗎？

［提示］平面向量基本定理中要求向量a與萬不共線，在空間中仍然成立.

2.空間向量基本定理

如果空間中的三個向量a,b,c不共面,那么對空間中的任意一個向量p,存在

唯一的有序實數(shù)組(x,y,z),使得〃=xa+)歷+zc.

特別地，當a,b,c不共面時，可知xa+)力+zc=O時，x=y=z=O.

3.相關概念

(1)線性組合：表達式油+zc一般稱為向量a,b,c的線性組合或線性表達

式.

(2)基底：空間中不共面的三個向量a,5，c組成的集合(a,5，c｝,常稱為空間

向量的一組基底.

(3)基向量:基底b,c｝中a,b,c都稱為基向量.

(4)分解式：如果p=xa+W+zc,則稱xa+yA+zc為p在基底｛a,b,c｝下的分

解式.

思考2：平面向量的基底要求二個基向量不共線，那么構成空間向量基底的三個

向量有什么條件？

［提示］空間任意三個不共面的向量都可以作為空間向量的一個基底，基底選定

后，空間任意向量均可由基底唯一表示.

思考3：基向量和基底一樣嗎？0能否作為基向量？

［提示］基底是指一個向量組，基向量是基底中的某一個向量，因為0與其他任

意兩個非零向量共面，所以0不能作為基向量.

4.拓展：設。，A,B,。是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的

有序實數(shù)組｛x，y,Z］,使當且僅當x+y+z=l時，P,A,B,

C四點共面.

重點題型一向量共線問題

【例1】如圖所示，在正方體ABC0-A18CQ中，E在上，且址=2由”

一2f

廠在對角線AC上，且求證：E,F,3三點共線.

［證明］i'kAB=a,AD=b,AAi=c.

—?―?—?2~*?

VAiE=2EZ)i,AIF=^FC9

—?2—?—?2f

.\A\E=^A\D\fA\F=-^A\C9

—?2f2f2f—?

J.A\E=^AD=^b,A}F=~^(AC-AA\)

=|(AB4-AD-A4I)

.\EF=:AiF—AiE=-^a—^b—^c=-^a—^b—cj.

22

又￡B=EA]+4A+AB=—?—c+a=a—?—c,

：.EF=^EB.

：.E,F,8三點共線.

〔......規(guī)律<方法.....................

判斷向量共線就是利用已知條件找到實數(shù)x,使。=動成立，同時要充分利用空

間向量的運算法則，結合圖形，化簡得出。=動，從而得出a〃兒即向量a與5共線,

共線向量定理還可用于證明兩直線平行或證明三點共線.

重點題型二共面定理及應用

.._>1_>1

【例2】已知A,B,C三點不共線，平面ABC外的一點M滿足OM=§OA+w

—*1—?

OB+^OC.

⑴判斷向，MB,而三個向量是否共面;

(2)判斷點M是否在平面ABC內.

［解］⑴易知而1+方b+0b=3而，

：.OA-dM=(dM-OB)+(dM-OC),

：.MA=BM+CM=-MB-MC,

，向量而，MB,而共面.

(2)由⑴知向量而，MB,俄共面，三個向量的基線又有公共點M,A,B,

C共面，即點M在平面ABC內.

「........規(guī)律＜方法.............................

判斷三個(或三個以上)向量共面的方法

(1)應用空間向量共面定理，即其中一個向量能用另兩個向量線性表示，通常應

結合圖形，選擇其中某兩個向量作為基向量，其他向量都用這兩個基向量線性表示.

(2)選擇目標向量以外的一組基底，通過待定系數(shù)法，建立這三個向量的一個線

性關系式.

重點題型三基底的判斷及應用

［探究問題］

1.構成空間向量的基底唯一嗎？是否共面？

［提示］不唯一，不共面.

2.空間向量的基底選定后，空間任一向量怎樣用基底表示？

1提示］基底選定后，可以結合圖形，利用三角形法則和平行四邊形法則，尋求

向量和基向量的關系，利用向量的線性運算將向量用基底表示出來.

3.用基底表示向量應注意哪些問題？

［提示］(1)明確目標，向量表示過程中可能出現(xiàn)新的向量，要逐步拆分，都用基

向量表示；(2)結合圖形的幾何性質，利用向量的線性運算；(3)只要基底選定，空間

任一向量用基底表達的形式是唯一的.

［例3］(1)若｛a,b,c｝是空間的一個基底，試判斷｛a+方，b+c,c+a｝能否

作為該空間的一個基底.

(2)如圖，在三棱柱A3C-A5c中，已知AB=b,42=c，點M,N分別

是BC,夕C的中點，試用基底｛a,b,c｝表示向量AM,AN.

Af

A

c

「思路探究］(1)判斷a+b,b+c,c+a是否共面，若不共面，則可作為一個基

底，否則，不能作為一個基底.

(2)借助圖形尋找待求向量與a,b,c的關系，利用向量運算進行分析，直至向量

用a,方，c表示出來.

［解］(1)假設a+〃，力+c,c+a共面.

則存在實數(shù)2、〃使得a+A=%S+c)+〃(c+a),

/?a+6=zZ>+/za+(A+/z)c.

:'{a,b,c}為基底，.*.a,b,c不共面.

二.，1=2,此方程組無解，.?.a+A,8+c,c+a不共面.

［0=2+〃.

/.{a+b,b+c,c+a}可以作為空間的一個基底.

―?―?―?-AJ-A

(2)AM=AB+BM=AB+^BC

―?1—A―?—??-?1—?—?

=AB+^BB'+BO=AB+^BB'+^AC-AB)

俞=啟+熱+前

—?——?1—?

=AA'+A'B'+^B'C'

1—?——?

=a+b+^(A,C,-AfBf)

=a+h+；(c—。)

=a+*+；c.

［母題探究］

1.(變條件)若把本例3(2)中的后，=@改為后&a,其他條件不變，則結果又是

什么？

解AM=AB+BM

—?1—?

=AB+^BCf

=AB+^AC'~AB)

=b+^(a—b)

=2a+2b-

AN=AC'+CN

——?1——?

=AC'+^C'B'

=AC'-^BV'

=/—（/必一箱）

2.（變換條件、改變問法）如圖所示，本例3（2）中增加條件“P在線段A4,上，且

AP=2PA',,,試用基底｛a,b,c｝表示向量加.

C

［解］MP=MC,+CA,+ArP

1—?—*1—?

=^BC'-A'C-^AA'

1―?―*―?1―?

=^BB'+BC)-AC-^AA'

11,1

=6a-2b-2c-

(-........規(guī)律＜方法.............................

用基底表示向量的步驟

(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構成空間的一個基底.

(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據(jù)三角形法則及平

行四邊形法則，結合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結果.

(3)下結論：利用空間向量的一個基底｛“，6c｝可以表示出空間所有向量.表示

要徹底，結果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.

提醒：基底中不能有零向量，因為零向量與任意一個非零向量都為共線向量.

1.1.3空間向量的坐標與空間直角坐標系

1.空間中向量的坐標

一般地，如果空間向量的基底｛e“e2，03｝中，e\,C2,63都是單位向量，而且這

三個向量兩兩垂直,就稱這組基底為單位正交基底,在單位正交基底下向量的分解稱

為向量的單位正交分解，而且，如果p=xei+ye2+ze3,則稱有序實數(shù)組(x,y,z)為

向量p的坐標，記作〃=(x,y,z).其中x,y,z都稱為p的坐標分量.

思考1：若a=xei+ye2+ze3,則a的坐標一定是(x,y,z)嗎？

［提示］不一定，當ei,ei,e3是單位正交基底時，坐標是(x,y,z),否則不是.

2.空間向量的運算與坐標的關系

假設空間中兩個向量a,8滿足a=(x”yi，zi),5=(X2，＞2，Z2),則有以下結論:

(1)a+。=(為+必yi+y2,z1+z2)；

(2)若u,o是兩個實數(shù)，(依1+。尢2,〃yi+oy2,〃zi+0Z2)；

(3)。山=x\X2-\-y\V2-\-z\Z2；

(4)|a|=、后=、/后+M+z?；

a*b_______X1X2+—+Z1Z2

(5)當aWO且。WO時，cos〈a,b}

1aH"I,"+濟+2汽/4+y9+z3

思考2：若向量盤=a,y,z),則點B的坐標一定是a,y,z)嗎？

［提示］不一定，A點與原點重合時是，不重合時不是.

3.空間向量的坐標與空間向量的平行、垂直

12=笈1

衛(wèi)2=2”1，當。的

{Z2=—l

每一個坐標分量都不為零時，有&"㈡&=型=叁.

X\―亞一2|

(2)a±Z><^>a'Z>=0<=^xiX2+>,iy2+ziZ2=0.

4.空間直角坐標系

(1)在空間中任意選定一點0作為坐標原點，選擇合適的平面先建立平面直角坐

標系xOy,然后過0作一條與邊迂M垂直的數(shù)軸z軸.這樣建立的空間直角坐標系

記作Oxyz.

(2)在空間直角坐標系。孫z中，x軸、y軸、z軸是兩兩垂直的,它們都稱為坐標

軸，通過每兩個坐標軸的平面都稱為坐標平面.

(3)z軸正方向的確定：在z軸的正半軸看X。)，平面，x軸的正半軸繞。點沿逆時

軌方向旋轉90。能與y軸的正半軸重合.

(4)空間直角坐標系的畫法：在平面內畫空間直角坐標系。孫z時，一般把x軸、y

軸畫成水平放置，x軸正方向與v軸正方向夾角為135。(或45。),z軸與y軸(或x軸)

垂直.

(5)空間中一點的坐標：空間一點M的坐標可用有序實數(shù)組(x,y,z)來表示，有

序實數(shù)組(x,y,z)叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，其中x叫做點M的橫坐

標(或無坐標),y叫做點M的縱坐標(或y坐標),z叫做點M的豎坐標(或z坐標).

⑹三個坐標平面將不在坐標平面內的點分成了△個部分，每一部分都稱為一個

卦限，按逆時針方向，在坐標平面xOy的上方，分別是第I卦限，第H卦限，第III卦

限，第w卦限，在平面X。)，的下方，分別是第v卦限，第VI卦限，第vn卦限，第vm卦

限，根據(jù)點的坐標的特征，第I卦限的點集用集合可表示為Mx,y,z)W>0,y>0,z

>0｝.

5.空間向量坐標的應用

(1)點P(x,y,z)到坐標原點。(0,0,0)的距離。尸

(2)任意兩點P1(X],yi,zi),P2(X2，yi，Z2)間的距離P\P-L—

X1)2+(P2—V)2+(Z2—Z子.

重點題型一空間向量的坐標運算

【例1】(1)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-ABC77中，E,F,G分別為棱

DD',D'C,的中點，以｛矗，AD,屹，｝為基底，求下列向量的坐標.

?AE,AG,AF；

②庠，EG,DG.

(2)已知空間四點A,B,C,。的坐標分別是(T,2,l),(1,3,4),(0,—1,4),⑵

—1,—2).若。=48,q=CD.求①p+2q；②3p—q；

—?—?—?—?1—?—?1—?(1、

解(1)①AE=AO+OE=4D+]m=A￡>+W=[0,1,9，

1—?(1

AG=AB+BG=AB+^AD=[1,2，0

--?--?--A--?--A--?1--A(\

AF=AA,+A,D,+D,F=AA,+AD+^AB=\^,1,1

②命=#一崩=(屹‘+Ab+g贏)一(Ab+；M')=；M'+g贏=(g,o,g),

AD+^AA'

EG=AG-AE=(贏+3時—(

T2?

—?—?—?―?1―?—?—?1―?(1)

DG=AG—AD=AB+^AD—AD=AB—^AD=\l,-Oj.

⑵由于A(—1,2,1),8(1,3,4),C(0,一1,4),0(2,一1,-2),所以。=贏=(2,1,3),

q=CD=(2,0,-6).

①p+2q=(2,l,3)+2(2,0,—6)=(2,1,3)+(4,0,—12)=(6,1,—9);

②3p—q=3(2,l,3)—(2,0,—6)=(6,3,9)—(2,0,-6)=(4,3,15);

@(p—^2=|p|2—1^|2=(22+12+32)—(22+02+62)=-26.

...規(guī)律0法....

用坐標表示空間向量的步驟

充分觀察圖形特征

?根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標系

綜合利用向量的加減及數(shù)乘運算

將所求向量用已知的基向量表示出

來，確定坐標

(2)空間向量進行坐標運算的規(guī)律是首先進行數(shù)乘運算，再進行加法或減法運算,

最后進行數(shù)量積運算，先算括號里，后算括號外.

提醒：空間向量的坐標運算與平面向量的坐標運算法則基本一樣，應注意一些計

算公式的應用.

重點題型二空間中點的坐標確定及應用

【例2】在棱長為1的正方體ABCO-AIBIGOI中，E,尸分別是。。、8。的

中點，G在棱CD上，且CG=(C￡>,“為GG的中點，試建立適當?shù)淖鴺讼?，寫?/p>

E,F,G,"的坐標.并求GH的長度.

［解］建立如圖所示的空間直角坐標系.點E在z軸上，它的x坐標，y坐標均

為0,而E為。。的中點,

故其坐標為（0,0,

由/作FMJ_A。于M點、FN上DC于N點、,由平面幾何知月0=；,FN=g,

則F點坐標為g,1,0）.

點G在y軸上，其x、z坐標均為0,又GO=.故G點坐標為（0,0）.

由“作HK1.CG于K點，由于“為GG的中點，故HK=g,CK=]

ZO

7（71、

.?.DK=R,故H點坐標為（0,g,2J-

4Y7

GH=s-

廠......規(guī)律＜方法...........................

1.建立空間直角坐標系時應遵循以下原則

（1）讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內；

（2）充分利用幾何圖形的對稱性.

2.求某點的坐標時，一般先找出這一點在某一坐標平面上的射影，確定其兩個

坐標，再找出它在另一軸上的射影（或者通過它到這個坐標平面的距離加上正負號），

確定第三個坐標.

3.利用空間兩點間的距離公式求線段長度問題的一般步驟:

［探究問題］

1.空間向量的平行與垂直與平面向量的平行與垂直有什么關系？

［提示］(1)類比平面向量平行、垂直：空間兩個向量平行、垂直與平面兩個向量

平行、垂直的表達式不一樣，但實質是一致的.

(2)轉化：判定空間兩直線平行或垂直只需判斷兩直線對應的方向向量是否平行

或垂直.

2.空間中三點共線的充栗條件是什么？

［提示］三個點A(xi,y\,Zl),B(X2,”，Z2),C(X3,>3,Z3)共線的充栗條件是

犬3/1

J2~yiZ2~ZI

y3~y\z3—zi

簡證：三個點A(xi,yi,zi),B(X2,y2,zi),C(xy,g,Z3)共線的充要條件為

XAC,即向量誦與向量啟共線，其坐標對應成比例，從而有匚“==工^.

X3-X］y3~y\Z3—zi

【例3】已知空間三點4一2,0,2),C(—3,0,4),設。=贏，b=AC.

(1)若|c|=3,c//BC.求c；

(2)若癡r+Z>與我(一2萬互相垂直，求左.

［思路探究］先求a,b,再根據(jù)向量平行與垂直的充要條件列方程求解.

［解］(1)因為病=(-2,-1,2),且c〃病，

所以設c=2/=(-2%,一九2A),

得1，|=4(―24)2+(-4)2+(2?2=3囚=3,

解得2=±1.即c=(-2,—1,2)或。=(2/，-2).

(2)因為a=A3=(l,1,0),b=AC=(—1,0,2),

所以版+0=(%—1,匕2),ka-2b=(k+29k,-4).

又因為(kz+?J_(ki—2))，

所以(&［+》)?("［—26)=0.

即僅一1,k,2)?(A+2,k,—4)

=21^+k—10=0.解得&=2或Z=—

故所求k的值為2或一,.

［母題探究］

1.(變條件)若將本例⑴中uc//BCn改為“C_LQ且皿"，求c.

［解］。=贏=(1,1,0),Z>=AC=(-1,0,2).

設c=(x,y,z).

f%2+y2+z2=9,

由題意得<x+y=0,

L—x+2z=0

解得x=2,y=—2,z=1或x=—2,y=2,z=—1,

即c=(2,—2,1)或c=(—2,2,—1).

2.(變條件)若將本例⑵改為“若ka-b與ka+2b互相垂直”求k的值.

［解］Va=Afi=(l,l,0),Z>=AC=(-1,0,2).

所以①一〃=(攵+1,k,—2),

ka+2b=(k~2,%,4).

(ka—A)_L(ka+2b),

:.(ka—。),(妨+2〃)=0,

即(Z+l,k,-2)?(左一2,左,4)=(2+1)/-2)+3一8=0,解得攵=一2或%=方.

故所求k的值為-2或1.

1........規(guī)律＜方法.............................

解決空間向量垂直、平行問題的思路

(1)當有關向量已知時，通常需要設出向量的坐標，例如，設向量a=(x,y,z).

(2)在有關平行的問題中，通常需要引入?yún)?shù)，例如，已知?！ㄍ邉t引入?yún)?shù)人

有。=肪，再轉化為方程組求解.

(3)選擇向量的坐標形式，可以達到簡化運算的目的.

重點題型四利用坐標運算解決夾角、距離問題

【例4】如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-AIBIGA中，E,尸分別是

8。的中點，G在棱CO上，且CG=(C0,H為CG的中點.

(1)求證：EFA.BiC；

(2)求E/與GG所成角的余弦值；

(3)求尸”的長.

［思路探究］根據(jù)正方體的特殊性，可考慮建立空間直角坐標系，寫出相關點及

向量的坐標，套用數(shù)量積、夾角、模長公式即可.

［解］(1)證明：如圖所示，以。為坐標原點，建立空間直角坐標系?！錾癦,易知

B

,?母=&i。)一(。，0^i一？

B?C=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-i),

—一ii(n

AEFB1C=2X(-l)+2X0+^-^X(-1)=0,

.,.EF±B?C,即E/"C

(2)由(1)易知3b=(o,I，o^|-(o,1,1)

=(o,-i),

球=&I，T，

■i/r%,V3

..|CiG|-4,\EF\-2，

EF-GG=|xO+1x(^—^X(—1)=|,

Acos〈前,GG>=亙魚=粵

I函|GG|

即異面直線￡口與CG所成角的余弦值為暮.

1

(3)由(1)知

.??|西=

即尸”的長為卑.

廠........規(guī)律0法.............................

通過分析幾何體的結構特征，建立適當?shù)淖鴺讼?，使盡可能多的點落在坐標軸上,

以便寫出點的坐標.建立坐標系后，寫出相關點的坐標，然后再寫出相應向量的坐標

表示，把向量坐標化，然后利用向量的坐標運算求解夾角和距離問題.

提醒：建立適當?shù)淖鴺讼的芙o解題帶來方便.

1.2空間向量在立體幾何中的應用

1.2.1空間中的點、直線與空間向量

1.空間中的點與空間向量

一般地，如果在空間中指定一點。，那么空間中任意一點P的位置，都可以由向

量查唯一確定，此時，通常稱為點p的位置向量.

提醒：空間直角坐標系中的任意一點都由它的位置向量唯一確定.

2.空間中的直線與空間向量

一般地，如果/是空間中的一條直線，。是空間中的一個非零向量，且表示。的

有向線段所在的直線與/平行或重合,則稱。為直線/的一個方向向量.此時，也稱

向量。與直線/當I，記作2〃/.

(1)如果A、B是直線/上兩個不同的點，則。=贏，即為直線/的一個方向向量.

思考1:直線/的方向向量唯一嗎？直線/的方向向量之間有怎樣的關系？

［提示］直線/的方向向量不唯一，若。為直線的方向向量，則加(%W0)也為直

線/的方向向量，直線/的任意兩個方向向量都平行.

思考2：空間中的直線/的位置由0能確定嗎？

［提示］空間中直線/的位置可由。和直線上的一個點唯一確定.

(2)如果S是直線的一個方向向量，V2是直線/2的一個方向向量，則小〃020

/1〃/2或與/2重合.

3.空間中兩條直線所成的角

(1)設01、02分別是空間中直線/1，/2的方向向量，且/1與，2所成角的大小為仇

則8=〈初，3〉或6=兀一〈01,次〉,所以sin6=sin〈初，也〉,cos6=|cos(01,

P2LA-

71

(2)(vi,V2)=2^/i-Lh^vi-V2=0.

4.異面直線與空間向量

設S，。2分別是空間中直線人與，2的方向向量.

(1)若1\與12異面，則V1與V2的關系為V1與V2不平行.

(2)若S與6不平行，則:與/2的位置關系為相交或異面.

提醒：“小與02不平行”是“/1與/2異面”的必要不充分條件.

(3)若AW/1，B02,則人與辦異面時，V\,02，AB不共面.若小，02，A8不共

面，則/1與6異面.

提醒：”小，6,贏不共面”是與〃異面”的充要條件.

(4)公垂線段：一般地，如果/i與/2是空間中兩條異面直線，MGli，NGb，MN

MNLh.則稱MN為(與/2的公垂線段，兩條異面直線的公垂線段的長，稱為這兩

條異面直線之間的距離.

提醒：空間中任意兩條異面直線的公垂線段都存在并且唯一.

重點題型一空間中點的位置確定

【例1】已知。是坐標原點，A,B,C三點的坐標分別為A(3,4,0),8(2,5,5),

C(0,3,5).

(1)若蘇=3(贏一元)，求P點的坐標；

(2)若P是線段48上的一點，且AP：PB=1：2,求P點的坐標.

［思路探究］(1)由條件先求出港，前的坐標，再利用向量的運算求P點的坐標.

(2)先把條件AP：PB=1：2轉化為向量關系，再運算.

［解］(1)AB=(-1,1,5),AC=(-3,-1,5),

-AC)=1(2,2,0)=(1,1,0),

點的坐標為(1,1,0).

(2)由P是線段A3上的一點，且AP：PB=1：2,

—?1—?

知AP/PB.

設點P的坐標為(x,y,z),

則AP=(x—3,y—4,z),PB=(2~x,5—y,5—z),

故(x-3,y-4,z)=g(2—x,5—y,5—z),

C1

x—3=2（2—x）,x=y

13

即vy-4=2（5-y）,得j尸子

、（）5

z=g5-z,z=z.

因此P點的坐標為-y,I）.

1.......規(guī)律c方法.......................

此類問題常轉化為向量的共線、向量的相等解決，設出要求的點的坐標，利用已

知條件得關于要求的點的坐標的方程或方程組求解即可.

重點題型二利用向量法求異面直線的夾角（或余弦值）

【例2】(1)若向量a=(x,4,5),b=(l,-2,2),且。與方的夾角的余弦值為叩,

則x=()

A.3B.-3C.-11D.3或一11

A「.Z2=x—8+10=x+2,|a|=4？+41,|/>|=^l+4+4=3.

.啦/,xa,bx+2

,?6=cos("，心=麗=3也2+4「

則x+2>0,即％>—2,

則方程整理得/+8x—33=0,

解得x=-11或x=3.

x=—11舍去，

.*.x=3.]

(2)如圖，BC=2,原點。是8C的中點，點A的坐標為停0),點。在平

面)Oz上，且NBOC=90°,ZDCB=30°.

①求向量而的坐標；

②求Ab與正的夾角的余弦值.

［解］①如圖過。作。E_L3C于瓦

則DE=CDsin30。=彳，

’11

OE=OB-BDcos600=1一］=］,

二。的坐標為（0,—g,^

又1,0）,，歷=（0,一|,坐

②依題設有A點坐標為

,BC=(0,2,0),

2，

則病與反:的夾角的余弦值:

ADBCVTO

cos<Ab,5C>

\AD\-\BC\

利用向量求異面直線所成角的步驟

(1)確定空間兩條直線的方向向量；

(2)求兩個向量夾角的余弦值；

(3)確定線線角與向量夾角的關系：當向量夾角為銳角時，即為兩直線的夾角；

當向量夾角為鈍角時，兩直線的夾角為向量夾角的補角.

提醒：兩異面直線夾角范圍為(0,時刻注意兩異面直線夾角的范圍是解題的

關鍵.

重點題型三利用空間向量處理平行問題

［探究問題］

1.直線的方向向量在確定直線時起到什么作用？

［提示］(1)非零性：直線的方向向量是非零向量.

(2)不唯一性：直線/的方向向量有無數(shù)多個，可以分為方向相同和相反兩類，它

們都是共線向量.

(3)給定空間中的任一點A和非零向量a,就可以確定唯---條過點A且平行于

向量a的直線.

2.兩條平行直線的方向向量有什么關系？

［提示］設直線/,根的方向向量分別為a,b,PI'］I//m^a.

【例3】(1)已知向量a=(2,4/0),8=(3,x,15)分別是直線hb的方向向量，

若/i〃h,則x=.

(2)如圖所示，已知正方體ABCD-AiBGDi的棱長為2,E,尸分別是8小，DD\

的中點，求證：尸C〃平面AOE.

(1)6\'：l\//h,.?.存在實數(shù)%使得萬=履,

3=2左，

x=4k,解得*=6.]

15=10Jt,

(2)［證明］如圖所示，建立空間直南坐標系Dxyz,則有0(0,0,0),A(2,0,0),

C(0,2,0),G(0,2,2),E(2,2,l),F(0,0,l).

所以病i=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1),

因為D4U平面ADE,

AEU平面ADE,

且(0,2,1)=0X(2,0,0)+1X(0,2,1),

即元1=OXE1+1X危，

所以有EGU平面AOE或尸G〃平面AOE,

又因為尸。何平面ADE,

所以FG〃平面AOE.

［母題探究］

1.(變問法)本例3(2)中G,H分別為AO,8G的中點，求證：EGF”為平行四

邊形.

［證明］如圖所示，建立空間直角坐標系.

則E(2,2,l),G(1,0,0),歐0,0,1),"(122).

所以壽=(一1,-2,-1),諭=(1,2,1).

所以前=一病，所以苒｛//*.

顯然EG與FH不重合，故EG//FH.

又|壽|=4(-1)2+(-2)2+(一1)2=加,

|ra|=A/l2+22+l2=V6,：.EG=FH,

二四邊形EGFH為平行四邊形.

2.(變問法)本例3(2)條件不變，改為求平面AOE〃