線性代數(shù)基礎知識

線性代數(shù)知識回顧

2021/5/91矩陣的概念

矩陣的定義

矩陣是數(shù)(或是函數(shù))的矩形陣表,是數(shù)學上常用的概念.定義:由m×n個數(shù)排成的m行n列的表

稱為m行n列矩陣（matrix）,簡稱矩陣.這m×n個數(shù)叫做矩陣的元素.當元素都是實數(shù)時稱為實矩陣（realmatrix）,當元素為復數(shù)時稱為復矩陣（complexmatrix）.2021/5/923.向量n維行向量:1n矩陣[a1,a2,…,an]n維列向量:n1矩陣

a1a2…an第i分量:ai(i=1,…,n)n階方陣:nn矩陣

2.方陣2021/5/93幾種常用的特殊矩陣1.對角矩陣（diagonalmatrix）

記作2.標量矩陣（scalarmatrix）

3.n階單位矩陣（unitmatrix）

2021/5/94矩陣的乘法定義

設兩個矩陣

,,則矩陣A與矩陣B的乘積記為規(guī)定

其中

應注意:只有當矩陣A的列數(shù)與B的行數(shù)相同時，A與B才能作乘積，并且乘積矩陣的行數(shù)與A的行數(shù)相等，乘積矩陣的列數(shù)與B的列數(shù)相等.2021/5/95矩陣的乘法滿足下列運算律（假設運算都是成立的）：

(1)結合律:

(2)分配律：

(3)設k是數(shù):2021/5/96例

設

求乘積矩陣.

解：

2021/5/97矩陣的轉(zhuǎn)置定義設

則矩陣

稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣(transposedmatrix),記作

轉(zhuǎn)置矩陣就是把A的行換成同序號的列得到的一個新矩陣。

例如，矩陣

的轉(zhuǎn)置矩陣為

2021/5/98性質(zhì)：1。A2=A’A2。(AB)’=B’A’3。(kA)’=kA’4。(A+B)’=A’+B’2021/5/99逆矩陣

逆矩陣的概念

定義：設A為階n方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=I則稱A是可逆矩陣（invertiblematrix）。并稱B為A的逆矩陣(inversematrix)，記為,即

如果矩陣A是可逆的,則A的逆矩陣是唯一的.事實上，設A，B都是可逆矩陣，則有于是

2021/5/910

定義設A為n階方陣，若

則稱A是非奇異矩陣(nonsingularmatrix)或非退化矩陣,否則稱A是奇異矩陣(singularmatrix)或退化矩陣。定義設

令

為|A|中元素

的代數(shù)余子式，則稱方陣

為A的伴隨矩陣(adjointmatrix),或記為adjA。2021/5/911矩陣可逆的充要條件

定理：方陣A可逆的充分必要條件是A為非奇異矩陣，即|A|≠0，并且2021/5/912矩陣的秩

矩陣秩的概念定義：

設A是一個m×n矩陣，在A中任取k行、k列，位于這些k行和k列交叉處的元素按原來的次序組成一個k階行列式,

稱為矩陣A的一個k階子式（minor）。

例如：

矩陣

由1、2、3行與1、2、3列構成的三階子式

在矩陣A中有一個三階子式不為零，而所有的四階子式全為零,

這時我們可以稱A的秩是3。

2021/5/913

定義：

矩陣A中的非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣的秩(rank-ofamatrix），記作r(A)。

零矩陣的所有子式全為零,所以規(guī)定零矩陣的秩為零.

設A是n階方陣,若A的秩等于n,則稱A為滿秩矩陣(nonsingularmatrix），否則稱為降秩矩陣(singularmatrix)。矩陣秩的性質(zhì)

2021/5/91440829030120004700000例.的秩為

.3注:從例可以看出行階梯形矩陣的秩就等于它的階梯數(shù)(即:非零行的數(shù)目).

而任何一個矩陣都可以經(jīng)過有限次初等行

變換化為行階梯形.

2021/5/915線性方程組一.線性方程組的概念含有n個未知量,m個方程的線性方程組的一般形式如下a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)(非)齊次線性方程組,解,相容2021/5/916設A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…am1x1+am2x2+…+amnxn=bm則線性方程組可以寫成Ax=b.x=x1x2…xn,解向量,解集,通解,同解2021/5/917稱A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn為(3.1)的系數(shù)矩陣,[A,b]