選修2-3期望方差練習(xí)題(含答案)

1．某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,5)，現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元，求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望．阿解：記E＝{甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}．由題設(shè)知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(E))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(F))＝eq\f(2,5).且事件E與F，E與eq\x\to(F)，eq\x\to(E)與F，eq\x\to(E)與eq\x\to(F)都相互獨(dú)立．(1)記H＝{至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功}，則eq\x\to(H)＝eq\x\to(E)eq\x\to(F)，于是P(eq\x\to(H))＝P(eq\x\to(E))P(eq\x\to(F))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率為P(H)＝1－P(eq\x\to(H))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X(萬(wàn)元)，則X的可能取值為0,100,120,220.P(X＝0)＝P(eq\x\to(E)eq\x\to(F))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\x\to(E)F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,15)，P(X＝120)＝P(Eeq\x\to(F))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,15).故所求的X分布列為X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(3,15)eq\f(4,15)eq\f(6,15)數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×eq\f(2,15)＋100×eq\f(3,15)＋120×eq\f(4,15)＋220×eq\f(6,15)＝eq\f(300＋480＋1320,15)＝eq\f(2100,15)＝140.2．現(xiàn)有一游戲裝置如圖，小球從最上方入口處投入，每次遇到黑色障礙物等可能地向左、右兩邊落下．游戲規(guī)則為：若小球最終落入A槽，得10張獎(jiǎng)票；若落入B槽，得5張獎(jiǎng)票；若落入C槽，得重投一次的機(jī)會(huì)，但投球的總次數(shù)不超過(guò)3次．(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；(2)設(shè)玩一次游戲能獲得的獎(jiǎng)票數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)由題意可知投一次小球，落入B槽的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,2).(2)落入A槽的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4)，落入B槽的概率為eq\f(1,2)，落入C槽的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4).X的所有可能取值為0,5,10，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3＝eq\f(1,64)，P(X＝5)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(21,32)，P(X＝10)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(21,64)，X的分布列為X0510Peq\f(1,64)eq\f(21,32)eq\f(21,64)E(X)＝0×eq\f(1,64)＋5×eq\f(21,32)＋10×eq\f(21,64)＝eq\f(105,16).3.在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài)，因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手．(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2),C\o\al(2,3))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).∵事件A與B相互獨(dú)立，∴觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為P(Aeq\x\to(B))＝P(A)·P(eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))[1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15).(1)試評(píng)估該校高三年級(jí)男生在全市高中男生中的平均身高狀況；(2)求這50名男生身高在172cm以上(含172(3)在這50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人，將該2人中身高排名(從高到低)在全市前130名的人數(shù)記為X，參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.解：(1)由頻率分布直方圖，經(jīng)過(guò)計(jì)算得該校高三年級(jí)男生平均身高為162×eq\f(5,100)＋166×eq\f(7,100)＋170×eq\f(8,100)＋174×eq\f(2,100)＋178×eq\f(2,100)＋182×eq\f(1,100)×4＝168.72，高于全市的平均值168.(2)由頻率分布直方圖知，后3組頻率為(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人數(shù)為0.2×50＝10，即這50名男生身高在172cm以上(含172(3)∵P(168－3×4＜X≤168＋3×4)＝0.9974，∴P(X≥180)＝eq\f(1－0.9974,2)＝0.0013，0．0013×100000＝130.∴全市前130名的身高在180cm以上，這50人中180cm隨機(jī)變量X可取0,1,2，于是P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(2,10))＝eq\f(28,45)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(