第12章全等三角形（單元提升卷）（解析版）

第12章全等三角形（單元提升卷）（滿分100分，完卷時間90分鐘）考生注意：1．本試卷含三個大題，共26題．答題時，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應(yīng)位置上寫出解題的主要步驟．一．選擇題（共10小題）1．如圖所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延長線交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，則∠DFB為（）A．40° B．50° C．55° D．60°【分析】設(shè)AD與BF交于點M，要求∠DFB的大小，可以在△DFM中利用三角形的內(nèi)角和定理求解，轉(zhuǎn)化為求∠AMC的大小，再轉(zhuǎn)化為在△ACM中求∠ACM就可以．【解答】解：設(shè)AD與BF交于點M，∵∠ACB＝105，∴∠ACM＝180°﹣105°＝75°，∠AMC＝180°﹣∠ACM﹣∠DAC＝180°﹣75°﹣10°＝95°，∴∠FMD＝∠AMC＝95°，∴∠DFB＝180°﹣∠D﹣∠FMD＝180°﹣95°﹣25°＝60°．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，由已知條件，聯(lián)想到所學的定理，充分挖掘題目中的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在AB、AC上各取一點E、D，使AE＝AD，連接BD、CE相交于點O，再連接AO、BC，若∠1＝∠2，則圖中全等三角形共有（）A．5對 B．6對 C．7對 D．8對【分析】認真觀察圖形，確定已知條件在圖形上的位置，結(jié)合全等三角形的判定方法，由易到難，仔細尋找．【解答】解：①在△AEO與△ADO中，，∴△AEO≌△ADO（SAS）；②∵△AEO≌△ADO，∴OE＝OD，∠AEO＝∠ADO，∴∠BEO＝∠CDO．在△BEO與△CDO中，，∴△BEO≌△CDO（ASA）；③∵△BEO≌△CDO，∴BE＝CD，BO＝CO，OE＝OD，∴CE＝BD．在△BEC與△CDB中，，∴△BEC≌△CDB（SAS）；④在△AEC與△ADB中，，則△AEC≌△ADB（SAS）；⑤∵△AEC≌△ADB，∴AB＝AC．在△AOB與△AOC中，，∴△AOB≌△AOC．綜上所述，圖中全等三角形共5對．故選：A．【點評】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．3．一塊三角形玻璃被小紅碰碎成四塊，如圖，小紅只帶其中的兩塊去玻璃店，買了一塊和以前一樣的玻璃，你認為她帶哪兩塊去玻璃店了（）A．帶其中的任意兩塊 B．帶1，4或3，4就可以了 C．帶1，4或2，4就可以了 D．帶1，4或2，4或3，4均可【分析】要想買一塊和以前一樣的玻璃，只要確定一個角及兩條邊的長度或兩角及一邊即可，即簡單的全等三角形在實際生活中的應(yīng)用．【解答】解：由圖可知，帶上1，4相當于有一角及兩邊的大小，即其形狀及兩邊長確定，所以兩塊玻璃一樣；同理，3，4中有兩角夾一邊，同樣也可得全等三角形；2，4中，4確定了上邊的角的大小及兩邊的方向，又由2確定了底邊的方向，進而可得全等．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定；熟練掌握全等三角形的判定，能夠聯(lián)系實際，靈活應(yīng)用所學知識．4．已知圖中的兩個三角形全等，則∠1等于（）A．72° B．60° C．50° D．58°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠2＝58°；然后由全等三角形是性質(zhì)得到∠1＝∠2＝58°．【解答】解：如圖，由三角形內(nèi)角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°．∵圖中的兩個三角形全等，∴∠1＝∠2＝58°．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找準對應(yīng)角．5．如圖，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上兩點，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，則AD的長為（）A．a(chǎn)+c B．b+c C．a(chǎn)﹣b+c D．a(chǎn)+b﹣c【分析】只要證明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，推出AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c；【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE，∴AF＝CE＝a，BF＝DE＝b，∵EF＝c，∴AD＝AF+DF＝a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故選：D．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．6．如圖，若△ABC≌△DEF，四個點B、E、C、F在同一直線上，BC＝7，EC＝5，則CF的長是（）A．2 B．3 C．5 D．7【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到EF＝BC＝7，計算即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，又BC＝7，∴EF＝7，∵EC＝5，∵CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．故選：A．【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．7．如圖，已知A、B、C、D四點共線，AE∥DF，BE∥CF，AC＝BD，則圖中全等三角形有（）A．4對 B．6對 C．8對 D．10對【分析】由AC＝BD可得AB＝CD，由AE∥DF可得∠EAB＝∠FDC，由BE∥CF可得∠EBC＝∠FCB，根據(jù)等角的補角相等得出∠EBA＝∠FCD，利用ASA得△ABE≌△DCF，進一步得其它三角形全等．【解答】解：∵AC＝BD，∴AB＝CD．∵AE∥DF，∴∠EAB＝∠FDC．∵BE∥CF，∴∠EBC＝∠FCB，∴∠EBA＝∠FCD．在△ABE與△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA）．進一步得△EBC≌△FCB，△ECD≌△FBA，△AEC≌△DFB，△EBD≌△FCA，△AED≌△DFA，共6對．故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．做題時要從已知條件開始結(jié)合圖形利用全等的判定方法由易到難逐個尋找．8．如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB＝AC，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A為公共角，A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可證明△ABE≌△ACD；B、如添AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；C、如添BD＝CE，等量關(guān)系可得AD＝AE，利用SAS即可證明△ABE≌△ACD；D、如添BE＝CD，因為SSA，不能證明△ABE≌△ACD，所以此選項不能作為添加的條件．故選：D．【點評】此題主要考查學生對全等三角形判定定理的理解和掌握，此類添加條件題，要求學生應(yīng)熟練掌握全等三角形的判定定理．9．如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，與△ABC有一條公共邊且全等（不與△ABC重合）的格點三角形（頂點在格點上的三角形）共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】可以以AB和BC為公共邊分別畫出4個，AC不可以，故可求出結(jié)果．【解答】解：如圖所示，△ABD，△BEC，△BFC，△BGC，共4個，故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，以及格點的概念等知識點，能熟記全等三角形的判定定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的三條對應(yīng)邊分別相等．10．如圖，已知△ABC的周長是16，MB和MC分別平分∠ABC和∠ACB，過點M作BC的垂線交BC于點D，且MD＝4，則△ABC的面積是（）A．64 B．48 C．32 D．42【分析】連接AM，過M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出ME＝MD＝MF＝4，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【解答】解：連接AM，過M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∵MB和MC分別平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，∵△ABC的周長是16，∴AB+BC+AC＝16，∴△ABC的面積S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM＝＝×AC×4++＝2（AC+BC+AB）＝2×16＝32，故選：C．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積，能根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出DM＝ME＝ME＝4是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共8小題）11．如圖，點B、A、D、E在同一直線上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，則只需添加一個適當?shù)臈l件是BC＝EF或∠BAC＝∠EDF或∠C＝∠F．（只填一個即可）【分析】BC＝EF或∠BAC＝∠EDF，若BC＝EF，根據(jù)條件利用SAS即可得證；若∠BAC＝∠EDF，根據(jù)條件利用ASA即可得證；若添加∠C＝∠F，根據(jù)條件利用AAS即可得證．【解答】解：若添加BC＝EF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；若添加∠BAC＝∠EDF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），若添加∠C＝∠F，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．故答案為：BC＝EF或∠BAC＝∠EDF或∠C＝∠F．【點評】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．12．如圖，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P點從B向A運動，每分鐘走1m，Q點從B向D運動，每分鐘走2m，P、Q兩點同時出發(fā)，運動4分鐘后，△CAP與△PQB全等．【分析】設(shè)運動x分鐘后△CAP與△PQB全等；則BP＝xm，BQ＝2xm，則AP＝（12﹣x）m，分兩種情況：①若BP＝AC，則x＝4，此時AP＝BQ，△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，則12﹣x＝x，得出x＝6，BQ＝12（m）≠AC，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，設(shè)運動x分鐘后△CAP與△PQB全等；則BP＝xm，BQ＝2xm，則AP＝（12﹣x）m，分兩種情況：①若BP＝AC，則x＝4，AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，∴△CAP≌△PBQ；②若BP＝AP，則12﹣x＝x，解得：x＝6，BQ＝12（m）≠AC，此時△CAP與△PQB不全等；綜上所述：運動4分鐘后△CAP與△PQB全等；故答案為：4．【點評】本題考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知識；本題難度適中，需要進行分類討論．13．如圖，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，則BE的值為4．【分析】根據(jù)△ABC≌△ADE，得到AE＝AC，由AB＝7，AC＝3，根據(jù)BE＝AB﹣AE即可解答．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∵AB＝7，AC＝3，∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝7﹣3＝4．故答案為：4．【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記全等三角形的對應(yīng)邊相等．14．如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠2+∠3＝135°．【分析】觀察圖形可知∠1與∠3互余，∠2是直角的一半，利用這些關(guān)系可解此題．【解答】解：觀察圖形可知：△ABC≌△BDE，∴∠1＝∠DBE，又∵∠DBE+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°．∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．故答案為：135．【點評】此題綜合考查角平分線，余角，要注意∠1與∠3互余，∠2是直角的一半，特別是觀察圖形的能力．15．如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△ABO≌△ADO．下列結(jié)論：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC．其中所有正確結(jié)論的序號是①②③．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，∠AOB＝∠AOD＝90°，OB＝OD，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，進而得出其它結(jié)論．【解答】解：∵△ABO≌△ADO，∴AB＝AD，∠BAO＝∠DAO，∠AOB＝∠AOD＝90°，OB＝OD，∴AC⊥BD，故①正確；∵四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∴∠COB＝∠COD＝90°，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正確；∴BC＝DC，故②正確．故答案為：①②③．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，以及HL，是解題的關(guān)鍵．16．如圖，∠AOE＝∠COE＝30°，EC⊥OB于點C，若CE＝2，則點E到OA的距離為2．【分析】作EG⊥AO于點G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，作EG⊥AO于點G，∵∠AOE＝∠COE＝30°，EC⊥OB于點C，∴EG＝CE＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這一性質(zhì)．17．如圖，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∠2＝64°，則∠1＝26°．【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABC與Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠ACB＝∠2＝64°，∴∠1＝90°﹣∠ACB＝90°﹣64°＝26°，故答案為：26．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．18．在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，則點P、Q、M、N中在∠AOB的平分線上是Q點．【分析】利用到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上進行判斷．【解答】解：點P、Q、M、N中在∠AOB的平分線上是Q點．故答案為Q．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．三．解答題（共8小題）19．如圖，A，B分別是線段OC，OD上的點，OC＝OD，OA＝OB．求證：△OAD≌△OBC．【分析】根據(jù)題意可得到，OA＝OB，∠AOD＝∠BOC，OC＝OD，從而可以得到△OAD≌△OBC．【解答】證明：在△OAD和△OBC中，，∴△OAD≌△OBC（SAS）．【點評】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．20．如圖，在△ABC中，AB＞AC，點D在邊AB上，且BD＝CA，過點D作DE∥AC，并截取DE＝AB，且點C，E在AB同側(cè)，連接BE．求證：△DEB≌△ABC．【分析】由DE∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDB＝∠A，又BD＝CA，DE＝AB，利用SAS即可證明△DEB≌△ABC．【解答】證明：∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A．在△DEB與△ABC中，，∴△DEB≌△ABC（SAS）．【點評】本題考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目．21．如圖，點P是∠MON中一點，PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B，連接AB，∠PAB＝∠PBA．求證：OP平分∠MON．【分析】先根據(jù)等腰三角形的判定得到PA＝PB，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到距離．【解答】證明：∵∠PAB＝∠PBA，∴PA＝PB，∵PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B，∴P點在∠MON的平分線上，∴OP平分∠MON．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．在角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．22．如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，求證：AB+BD＝AC．【分析】在AC上截取AE＝AB，利用“邊角邊”證明△ABD和△AED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE＝BD，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AED＝∠ABC，然后求出∠C＝∠CDE，根據(jù)等角對等邊可得CE＝DE，然后結(jié)合圖形整理即可得證．【解答】證明：如圖，在AC上截取AE＝AB，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴DE＝BD，∠AED＝∠ABC，∵∠AED＝∠C+∠CDE，∠ABC＝2∠C，∴∠CDE＝∠C，∴CE＝DE，∵AE+CE＝AC，∴AB+BD＝AC．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，等角對等邊的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE⊥BD交BD的延長線于點E，則線段BD和CE具有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】延長CE與BA延長線交于點F，首先證明△BAD≌△CAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD＝CF，再證明△BEF≌△BCE可得CE＝EF，進而可得BD＝2CE．【解答】答：BD＝2CE，延長CE與BA延長線交于點F，∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠BAC＝∠DEC，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ABD＝∠DCE，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（ASA），∴BD＝CF，∵BD平分∠ABC，CE⊥DB，∴∠FBE＝∠CBE，在△BEF和△BCE中，，∴△BEF≌△BCE（ASA），∴CE＝EF，∴DB＝2CE．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形對應(yīng)邊相等．24．如圖，已知AB⊥AD，AC⊥AE，AB＝AD，AC＝AE，BC分別交AD、DE于點G、F，AC與DE交于點H．求證：（1）△ABC≌△ADE；（2）BC⊥DE．【分析】（1）利用AB⊥AD，AC⊥AE，得出∠DAB＝∠CAE，進一步得出∠BAC＝∠DAE，再根據(jù)已知條件及全等的判定方法SAS即可證得△ABC≌△ADE；（2）由△ABC≌△ADE，得出∠E＝∠C，利用∠E+∠AHE＝90°，推出∠C+∠DHC＝90°，結(jié)論成立．【解答】證明：（1）∵AB⊥AD，AC⊥AE，∴∠DAB＝∠CAE＝90°，∴∠DAB+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS）．（2）∵△ABC≌△ADE，∴∠E＝∠C，∵∠E+∠AHE＝90°，∠AHE＝∠DHC，∴∠C+∠DHC＝90°，∴BC⊥DE．【點評】本題考查了全等三角形全等的判定及性質(zhì)，垂直的意義，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．25．如圖，已知△ABC中，∠1＝∠2，AE＝AD，求證：DF＝EF．【分析】先利用“角角邊”證明△ABE和△ACD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB＝AC，然后求出BD＝CE，再利用“角角邊”證明△BDF和△CEF全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．【解答】證明：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌