空間和軸對(duì)稱問題的有限單元法

空間和軸對(duì)稱問題的有限單元法第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日5-1-2彈性力學(xué)空間問題中一點(diǎn)的位移5-1-3彈性力學(xué)空間問題中一點(diǎn)的應(yīng)變及應(yīng)變與位移的關(guān)系第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日5-1-4彈性力學(xué)空間問題的彈性方程

根據(jù)六個(gè)虎克定律的公式求出六個(gè)應(yīng)力分量表達(dá)式并用矩陣表示把公式代入虎克定律,可得空間問題的彈性方程第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日矩陣表達(dá)式如下:所以空間問題的彈性方程也可寫成第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日§5-2空間問題的簡(jiǎn)單四面體單元單元編號(hào)按右手法則

i,j,m,p單元的節(jié)點(diǎn)位移

δe第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日5-2-1

位移函數(shù)單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移f假定為座標(biāo)的線性函數(shù)節(jié)點(diǎn)i,j,m及p的坐標(biāo)分別為(xi,yi,zi),(xj,yj,zj),(xm,ym,zm)及(xp,yp,zp)，把它們代入上式的第一式，得出各節(jié)點(diǎn)在x方向的位移第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日解方程組，求得，代入第一式，整理后得到其中稱為形函數(shù)，其系數(shù)是第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日V為四面體的體積，可用下式表達(dá):(i,j,m,p)第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日形態(tài)矩陣N如下:同樣，可以得到單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移可以寫成如下形式：第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日

5-2-2四面體單元的應(yīng)變第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日

(i,j,m,p)其中第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日5-2-3四面體單元的應(yīng)力

(i,j,m,p)其中第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)虛功原理可得Ke可分成四行四列的子矩陣，其中每個(gè)子矩陣為三行三列5-2-4

單元?jiǎng)偠染仃嚨谑?，共二十七頁，編輯?023年，星期日每個(gè)子矩陣按下式計(jì)算(r=i,j,m,p)(s=i,j,m,p)其中第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日5-2-5載荷移置單元上的節(jié)點(diǎn)力第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日由集中力引起的等效節(jié)點(diǎn)載荷由體積力引起的等效節(jié)點(diǎn)載荷5-2-6

結(jié)構(gòu)總體剛度方程單元特性分析→建立單元?jiǎng)偠染仃噯卧d荷移植→建立節(jié)點(diǎn)載荷列陣根據(jù)結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)的靜力平衡條件，得出結(jié)構(gòu)總體剛度方程。第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日§5-3

軸對(duì)稱問題的簡(jiǎn)單三角形單元5-3-1

研究對(duì)象

當(dāng)彈性體的幾何形狀，約束情況，以及所受的外力都軸對(duì)稱于某一軸，則這種彈性體的應(yīng)力分析問題稱為軸對(duì)稱應(yīng)力分析問題，在工程中如活塞，壓力容器等。5-3-2與平面問題的差異

軸對(duì)稱問題采用極座標(biāo)

r,θ,z

雖然物體上任一點(diǎn)用三個(gè)座標(biāo)

r,θ，z描述，但物體中無論應(yīng)力σ、位移

δ

都與θ無關(guān)，所以它只是

r,z的函數(shù)。第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日

由于軸對(duì)稱問題的研究對(duì)象是一個(gè)回轉(zhuǎn)體，當(dāng)它的徑向尺寸有變化時(shí)，必然它的圓周大小也有變化。εθ稱為周向應(yīng)變。

平面問題的應(yīng)變與軸對(duì)稱問題的應(yīng)變的不同

因此軸對(duì)稱問題也象平面問題一樣，作為二維問題求解平面問題

軸對(duì)稱問題

第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日與應(yīng)變分量相對(duì)應(yīng)，軸對(duì)稱問題的應(yīng)力分量有，應(yīng)力矩陣表示軸對(duì)稱問題應(yīng)力應(yīng)變之間關(guān)系的物理方程為式中，彈性矩陣為:第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日環(huán)形單元在子午面（通過對(duì)稱軸的平截面）上的節(jié)點(diǎn)位移位移函數(shù)取為坐標(biāo)的線性函數(shù)同理可求出

α1,α2,α3,α4,α5,α65-3-3

形狀函數(shù)

第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日

因此三角形環(huán)形單元的位移模式為其中形函數(shù)為

(i,j,m)Δ為截面三角形面積簡(jiǎn)寫為第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日5-3-4單元的應(yīng)變和應(yīng)力其中令第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日則[B]可以分塊(i,j,m)單元的應(yīng)力式中，S稱為應(yīng)力矩陣。

第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日[Si]如下式所示其中(i,j,m)

從S

中可知應(yīng)力與f

有關(guān)，但有分母為零的情況，當(dāng)r=0

則應(yīng)力為無窮大，這是不合理的，所以必須排除奇異性。因此在式f

中取r

和z

的平均值作為式f

中的值則第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日軸對(duì)稱問題的三角形單元實(shí)際上代表一個(gè)環(huán)狀的單元體。因此，單元?jiǎng)偠染仃?-3-5單元?jiǎng)偠染仃嚻渲蠽是環(huán)狀單元的體積域，其微分為式中Δ為單元ijm的面積。第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期日5-3-6載荷移置集中力P的等效節(jié)點(diǎn)載荷體積力g的等效節(jié)點(diǎn)載荷對(duì)于軸對(duì)稱問題，等效節(jié)點(diǎn)載荷仍然是軸對(duì)稱載荷，是分布在節(jié)點(diǎn)圓上