導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題課一、知識點(diǎn)1．導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖：(1)已知f(x)=2x3-6x2+m（m為常數(shù)），在[-2,2]上有最大值3，函數(shù)在[-2,2]上的最小值_____-37(2)函數(shù)f(x)=x3+ax+b，滿足f(0)=0，且在x=1時取得極小值，則實(shí)數(shù)a的值為_____-3(3)已知函數(shù)f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0)，若f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,4)，則k=____1二、例題選講例1:討論函數(shù)的單調(diào)性.例2:已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2,曲線y=f(x)過點(diǎn)P(-1,2),且在點(diǎn)P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直.(1)求a、b的值；(2)若f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調(diào)遞增,求m的取值范圍.例2:已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2,曲線y=f(x)過點(diǎn)P(-1,2)且在點(diǎn)P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直.(1)求a、b的值；(2)若f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調(diào)遞增,求m的取值范圍.解:(1)由題意得:(2),解得x>0或x<-2.故f(x)的單調(diào)遞增為(-∞,-2]和[0,+∞).即m+1≤-2或m≥0,故m≤-3或m≥0.練習(xí)1:已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a>0)的極大值為6,極小值為2.(1)試確定常數(shù)a、b的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.答案:(1)a=1,b=4.(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(1,+∞).練習(xí)2:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/3與x=1處都取得極值.(1)求a、b的值;(2)若x∈[-1,2]時,不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.答案:(1)a=-1/2,b=-2.(2)利用f(x)max<c2,解得c<-1或c>2.xy例4:如圖,在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成的圖形中有一個內(nèi)接矩形ABCD,求這個矩形的最大面積.解:設(shè)B(x,0)(0<x<2),則

A(x,4x-x2).從而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面積為:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2).令,得所以當(dāng)時,因此當(dāng)點(diǎn)B為時,矩形的最大面積是例5:如圖寬為a的走廊與另一走廊垂直相連,如果長為8a的細(xì)桿能水平地通過拐角,問另一走廊的寬度至少是多少?aAB

C8a解:設(shè)細(xì)桿與另一走廊一邊夾角為又設(shè)另一走廊的寬為y.θy令由于y(θ)只有一個極小值,所以它是最小值,這時故另一走廊的寬度至少是2.