貝葉斯公式及其推廣在自然科學(xué)中的應(yīng)用

貝葉斯公式及其推廣在自然科學(xué)中的應(yīng)用摘要：貝葉斯公式是概率論中較為重要的公式，是一種建立在概率和統(tǒng)計(jì)理論基礎(chǔ)上的數(shù)據(jù)分析和輔助決策工具，以其堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)、自然的表示方式、靈活的推理能力和方便的決策機(jī)制受到越來越多研究學(xué)者的重視。貝葉斯公式在自然科學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用范圍極其廣泛，在科學(xué)和工程中的許多交叉領(lǐng)域里面很容易找到貝葉斯分析的眾多研究者。而且在統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，貝葉斯理論也在很多方面取得進(jìn)展。本文對(duì)貝葉斯公式進(jìn)行了仔細(xì)的分析，舉例說明了它的用法。為了解決實(shí)際問題的需要，我們將貝葉斯公式進(jìn)行了推廣，舉例說明了推廣后的公式在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本文結(jié)合實(shí)例說明了貝葉斯公式及它的推廣定理在產(chǎn)品檢查、醫(yī)療診斷以及統(tǒng)計(jì)決策等中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：貝葉斯公式、全概率公式一、貝葉斯決策理論及貝葉斯公式的介紹貝葉斯決策：在不完全情報(bào)下，對(duì)部分未知的狀態(tài)用主觀概率估計(jì)，然后用貝葉斯公式對(duì)發(fā)生概率進(jìn)行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最優(yōu)決策。MB=Q,P(B)〉0(i=1,2,…，n)，稱B1,MB=Q,P(B)〉0(i=1,2,…，n)，稱B1,b2,…，B是一個(gè)完備事i=1件組。[3]貝葉斯公式：如果B1,b2,…，Bn是一完備事件組，對(duì)任意隨機(jī)事件A，若P(P(A)〉0，則有P(B)P(AB),(j=1,2,…,n)

丈P(B)P(A|B) 。⑵ii=1二、貝葉斯公式的推廣當(dāng)試驗(yàn)的隨機(jī)過程不少于兩個(gè)的時(shí)候，在影響目標(biāo)事件的每一個(gè)試驗(yàn)過程中分別建立完備事件組，貝葉斯公式就可以進(jìn)一步推廣。

A,AA,A，…,A b,B,…,設(shè)12n和12Bn是先后兩個(gè)實(shí)驗(yàn)過程中的劃分，C為P(C)〉0,P(A)〉0,P(B.)〉0,P(a，B)>0,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m時(shí)，則有：P(AIC)=(1)iP(A產(chǎn)P(BP(AIC)=(1)ii ji ij J-^1 ，i=1,2,...,n（2）P(Bj1C)=，i=1,2,...,n（2）P(Bj1C)=藝P(A)P(BIA)P(CIAB)iji ij_i=1 P(C),j=1,2,...,m（3）P(ABIC)=ijP(A)P(BIA)P(CIAB)iji ijP(C)i=1,2,...,n,j=1,2,...,m證明：（1）P(AC)P(AC)P(A|C)=~P(^i藝P(A.BC)并P(A)P(Bj=1 P(C)ijj=1 二 P(C)IA)P(CIAB.)（2）、（3）與（1）同理可得證。[5]三、貝葉斯公式及其推廣后的公式在自然科學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例1、貝葉斯公式在醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用例：醫(yī)學(xué)上用甲胎球蛋白法普查肝癌，令C=｛被檢查者患肝癌｝，A=｛甲胎球蛋白檢驗(yàn)呈陽性｝，C=｛被檢查者未患肝癌｝，A=｛甲胎球蛋白檢驗(yàn)呈陰性｝,由資料已知，P（A1C）=0.95，P（A|C）=°.9O，又已知某地居民的肝癌發(fā)病率P（C）=0.0004，在普查中查出一批甲胎球蛋白檢驗(yàn)呈陽性的人，求這批人中真的患肝癌的概率P（C1A）=?解：這是已知“結(jié)果”(陽性反應(yīng))，推斷“原因”(患肝癌)的問題，由貝葉斯公式，有P(P(CIA)=P(C)P(AIC)P(C)P(AIC)+P(C)P(AIC)0.0004x°% .0.00379=0.0004x0.95+(1-0.0004)x(1-0.90)由此可見，經(jīng)甲胎球蛋白檢驗(yàn)呈陽性的人群中，其中真正患肝癌的人還是很少的，只占0.00379。當(dāng)已知病人患肝癌或未患肝癌時(shí)，甲胎球蛋白檢驗(yàn)的準(zhǔn)確性應(yīng)該說是比較高的，這從P(A|C)=0.95，P(A|C)=0.90可以得到證實(shí)，但如果病人患肝癌或未患肝癌時(shí)，而要從甲胎球蛋白檢驗(yàn)結(jié)果是否為陽性這一事件出發(fā)，來判斷病人是否患肝癌，那么它的準(zhǔn)確性還是很低的，因?yàn)镻(C|A)=0.00379。從感覺上，這點(diǎn)似乎有些許矛盾，但是從上述計(jì)算中得到的貝葉斯公式，可以得到解釋。已知P(A|C)=0.1是不大的，但是患肝癌的人數(shù)畢竟很少，P(C)=0.0004，這就使得P(C),P(A|C)相對(duì)很大，從而P(C|A)很小。貝葉斯推理的是條件概率推理問題，這一領(lǐng)域的探討對(duì)揭示人們對(duì)概率信息的認(rèn)知加工過程與規(guī)律，指導(dǎo)人們進(jìn)行有效的判斷和決策都具有十分重要的意義。[1]2、基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)

ThegraphshowninFigurelcanberegardedasaBayesiannetwork,whichdenotesthesolutionstructureoftheproblem.Inthisnetwork,learningthebestrulesequenceamountstocountingthefrequencyofusingeachrule.Hence,weusethesymbol‘#’meaning‘thenumberof’inthefollowingequations.Itcalculatestheconditionalprobabilitiesofeachpossiblevalueforeachnodegivenallpossiblevaluesofitsparents.Forexample,fornodeN,+1」withaparentN、j,itsconditionalprobabilityisP(N \N)=P(N+j%)i+ij i P(N「#(N=true,N=true)#(N .=true,Nj=true)+#(N.=false,N^=true)NotethatnodesN.havenoparents.Inthiscircumstance,theirNotethatnodes#(N.#(N.=true)#(N=true)T(1j#(N=true)+#(N=false)ijTheseprobabilityvaluescanbeusedtogeneratenewrulestrings,orTheseprobabilityvaluescanbeusedtogeneratenewrulestrings,ornewsolutions.Sincethefirstruleinasolutionhasnoparents,itwillnewsolutions.SincebechosenfromnodesN.accordingtotheirprobabilitiesconditionedonthepreviousnodes.ThisbuildingprocessisrepeateduntilthelastnodehasbeenchosenfromnodesN.wherenisnumberofthenurses.Alinkfromnurse1tonursenisthuscreated,representinganewpossiblesolut-ion.Sincealltheprobabilityvaluesarenormalized,theroulette-wheelmethodisagoodstrategyforruleselection.[4]

3、貝葉斯公式在生產(chǎn)中的應(yīng)用例:三部自動(dòng)的機(jī)器生產(chǎn)同樣的汽車零件，其中機(jī)器A生產(chǎn)的占40%,機(jī)器B生產(chǎn)的占25%,機(jī)器6生產(chǎn)的占35%，平均說來，機(jī)器A生產(chǎn)的零件有10%不合格，對(duì)于機(jī)器B和C，相應(yīng)的百分?jǐn)?shù)分別是5%和1%，如果從總產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一個(gè)零件，發(fā)現(xiàn)為不合格,試問：（1） 它是由機(jī)器A生產(chǎn)出來的概率是多少？（2） 它是由哪一部機(jī)器生產(chǎn)出來的可能性最大？解：本例是在“取出的零件為不合格品”已經(jīng)發(fā)生的條件下，計(jì)算該零件由機(jī)器A、B、C生產(chǎn)的概率，即由“結(jié)果”推斷“原因”發(fā)生的概率。由貝葉斯公式得：A=“任取的零件由機(jī)器A生產(chǎn)的”B=“任取的零件由機(jī)器B生產(chǎn)的”C=“任取的零件由機(jī)器C生產(chǎn)的”D=“任取的零件為不合格品”則P(A)=0.40，P(B)=0.25，P(C)=0.35，P(D|A)=0.10,P(D|B)=0.05，P(D|C)=0.01且A、B、C組成了一個(gè)完備事件組。（1）（2）P(A)P(D|A)（1）（2）P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)0.40x0.100.40x0.10+0.25x0.05+0.35x0.010.04蝕0.7140.056類似(1)的計(jì)算，可得P(B|D)=°.25X°.05a0.2230.056P(C|D)=竺X竺.0.0630.056可見這一不合格零件是機(jī)器A生產(chǎn)的可能性最大。[1]四、我對(duì)貝葉斯公式的認(rèn)知Bayesian的思想是把數(shù)據(jù)看作客觀事實(shí)，把模型看作變量。一個(gè)現(xiàn)象可以對(duì)應(yīng)于不同的許多原因，有時(shí)候我們關(guān)心的原因只是其中的一個(gè)原因，因此只要把后者的概率除以前者的概率就可以得到這個(gè)現(xiàn)象由某種原因引起的概率。當(dāng)有很多原因分支時(shí)，我們可以先用常識(shí)去理解，再把各種各樣的因素都考慮進(jìn)來。這些原因都是父節(jié)點(diǎn)，把這些概率都乘在一起，就是綜合父節(jié)點(diǎn)即已知條件的影響，得到所謂的先驗(yàn)概率。貝葉斯公式中出現(xiàn)了全概率公式的身影，實(shí)際上貝葉斯公式是全概率公式、條件概率公式、乘法公式的合體。但是貝葉斯公式與全概率公式又有一定差別，全概率公式是根據(jù)已經(jīng)發(fā)生事情(經(jīng)驗(yàn))來推測(cè)未來某事件發(fā)生的概率，而貝葉斯公式是在知道結(jié)果后重新修正的概率，即后驗(yàn)概率，后驗(yàn)概率是以先驗(yàn)概率為基礎(chǔ)的。本文中以貝葉斯公式在醫(yī)學(xué)、生產(chǎn)上的應(yīng)用為例，以點(diǎn)概面式地說明了貝葉斯公式在自然科學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用范圍廣泛。參考文獻(xiàn)李國(guó)華.貝葉斯公式的應(yīng)用[N].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào),2011,20(7):1-2.陶永祥.淺談全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用[N].牡丹江大學(xué)學(xué)報(bào),2009,18(4):2-2.宋立新.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).北京：人民教育出版社，2008.JingpengLi,UweAicke