2015年高考新課標(biāo)2卷理科數(shù)學(xué)試題及答案

2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項：.本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號框。寫在本試卷上無效。.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。(1)已知集合>={-2,-1,0,1,2},8={x[(x-l)(x+2)v0},則=<A){-1,0} (B){0,1} (C){-1,0,1} (D){0,1,2}(2)若a為實數(shù)，且(2+5)(。-2i)=-4i,貝ija=<A)-1 (B)0 (C)1 (D)2(3)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量(單位：萬噸)柱形圖，(A)逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢(D)2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)-11-(4)已知等比數(shù)列｛4｝滿足q=3,q+%+%=21,貝ljq+4+/=(6)(A)21設(shè)函數(shù)/(x)=(B)42(C)63(D)841+1%(2-x),21,XV】，工2,貝丫(一2)+”1限12)=(A)3 (B)6(C)9一個正方體被一個平面裁去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則栽去部分體積與剩余部分體積的比值為(A)-8(C)-6(B)-7(D)-5(D)12(7)過三點4(1,3),8(4,2),C(l,-7)的圓交y軸于“，N兩點，則|MV|=(A)2>/6(B)8CC)476(8)右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,輸入的力分別為14,18,則輸出的。=(A)(B)(C)(D)14(D)10若C為該球面上的動點.若二棱錐<9)已知力，8是球。的球面上兩點，乙408=90。,(D)256(D)256兀。一48c體積的最大值為36,則球。的表面積為(A)367c(B)64(A)367c(B)64兀(10)如圖，長方形/BCO的邊Z4=2,BC=l,O是的中點.點尸沿著邊6c,8與DN運動，記N8”=x.將動點尸到4,8兩點距離之和表示為x的函數(shù)/(x),則丁=/(切的圖像大致為(A)424(C)(D)12-(11)已知力，8為雙曲線E的左，右頂點，點”在七上，ZX/aM為等腰三角形，月_頂角為120。，則上的離心率為(A)x/5 (B)2 (C)x/3 (D)4i(12)設(shè)函數(shù)，(x)是奇函數(shù)/(x)(xwR)的導(dǎo)函數(shù)，/(-】)=0,當(dāng)工>0時，-fM<0，則使得，(x)>o成立的X的取值范圍是(A)(-oo,-l)U(0,1) (B)(-l,0)U(l,+oo)(C)(-oo,-l)U(-l,0) (D)(0,l)U(l,+oo)第II卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題?第21題為必考題，每個試題考生都必須做答。第22題?第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。填空題：本大題共4小題，每小題5分。(13)設(shè)向量。，6不平行，向量及+6與。+2"平行，則實數(shù)4=.x-y+120,(14)若工，y滿足約束條件<x-2yW0, 則2=彳+尸的最大值為 .[x+2y-2這0,(15)S+x)(l+x)4的展開式中x的奇數(shù)次解項的系數(shù)之和為32,則。=.(16)設(shè)S”是數(shù)列｛/｝的前〃項和，且q=-l,4+i=S￡,1,則S,,=.三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(17)(本小題滿分】2分)△Z8C中，。是灰?上的點，AD平分/B4C,△力面積是△力DC面積的2倍.sinN5

sinZC(H)若4D=1,DC=—,求和4c的長.2(18)(本小題滿分12分)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)杳了20個用戶.得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579(I)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結(jié)論即可)；A地區(qū)B地區(qū)（II）根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶456789的滿意度從低到高分為三個等級:滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C：“A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級”.假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,求C的概率.（19）（本小題滿分12分）如圖，長方體工BCD-《BCD］中,48=16,8c=10,以產(chǎn)8,點E,斤分別在4耳，上，A}E=D^=4.過點￡F的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.（I）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；（II）求直線4戶與平面。所成角的正弦值.<20）（本小題滿分12分）已知橢圓C：9/+必=/⑺>0）,直線/不過原點o且不平行于坐標(biāo)軸，/與C有兩個交點4B,線段48的中點為A/.（I）證明：直線O"的斜率與/的斜率的乘積為定值；（11）若/過點號,加），延長線段?！芭c。交于點P,四邊形。力所能否為平行四邊形？若能，求此時/的斜率：若不能，說明理由.（21）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)/（%）=-+Y-mx.（I）證明：/（X）在（-8,0）單調(diào)遞減，在（0,+8）單調(diào)遞增；（II）若對于任意玉,馬［-1,1］，都有I/（不）-/32）1士e-l,求加的取值范圍.-id-請從下面所給的22、23、24三題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應(yīng)的題號方框涂黑，按所涂題號進(jìn)行評分；不涂、多涂均按所答第一題評分；多答按所答第一題評分°(22)(本小題滿分10分)選修4一1：幾何證明選講如圖，O為等腰三角形力及？內(nèi)一點，與的底邊BC交于?M,N兩點，與底邊上的高4。交于點G,且與43,ZC分別相切于以F兩點.(I)證明：EF//BCx(H)若NG等于OO的半徑，且AE=MN=20求四邊形EBCF的面積.(23)(本小題滿分10分)選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程■y=fCCS/>在直角坐標(biāo)系X。中，曲線G： 一.'(I為參數(shù)，，工0)，其中OWav兀.在y=fsina,以。為極點，”軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線Q：P=2sin0,G：P=2x/3cos^.(I)求與G交點的直角坐標(biāo)；(1[)若G與G相交于點4G與c3相交于點耳，求|力用的最大值.(24)(本小題滿分10分)選修4一5：不等式選講設(shè)a,8,c,d均為正數(shù)，且a+6=c+d,證明：(I)若ab>cd,則八+6>&+yfd；(II)Va+VK>4c+>/d^\a-b\<\c-d\的充要條件.2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)試題答案及評分參考?選擇題(DA(2)B(3)D(4)B(5)C(6)D(7)C(8)B(9)C(10)B(11)D(12)A二.填空題(13)13(14)-(15)3(16)」22n三.解答題(17)解：(I)S.ABD=-AB-ADs\nZ.BAD,aAdu2?ADsinZiCAD.a 2因為s△皿=2S。3，NBAD=NCAD,所以N8=2NC.由正弦定理可得sinZB_ACs\nZ.C~~~AB~2'(ID因為Samd：S.adc=BD:DC,所以BD=g.在△430和△NOC中，由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcgs2DB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcos&DC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(I)知4B=2ZC,所以AC=l.

(18)解：(I)兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下A地區(qū)B地區(qū)4683513646426245568864373346992865183217552913通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散.(II)記表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”：。祇表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”：表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”；表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”，則與Gl獨立，C,2與C的獨立，Gn與。82互斥，C=CbC/iUC82C/2.尸?=尸(/011。2。)=P(Cfll)P(C4I)+/>(Cfl2)P(C42).由所給數(shù)據(jù)得。川，。，以2發(fā)生的頻率分別為或，3，或，故 >208 4—x—=0.48.尸?嘿嘮十2020(19)解:(I)交線圍成的正方形EHG >208 4—x—=0.48.尸?嘿嘮十2020(19)解:(I)交線圍成的正方形EHG尸如圖:(H)作瓦WJL4B,垂足為貝lJZ〃=4Z=4,EAf=AAt=8.因為EHGF為正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH=NEH?-EM?=6,所以力H=10.-71一以。為坐標(biāo)原點，五？的方向為X軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz>則2(10,0,0),H。0,10,0),石(10,4,8),尸(0,4,8),而=(10,0,0),麻=(0,-6,8).1Ox=0,-6y+Sz=0,設(shè)〃=(x1Ox=0,-6y+Sz=0,,可二°，即[n-HE=Q,所以可取〃=(0,4,3).又衣=(-10,4,8),故|cos0,/>|=5?空I=中鳥.\n\\AF\ 15所以力尸與平面EHGF所成角的正弦值為空.1J(20)解:(I)設(shè)直線/:y=d+6(kx0,6w0),4(玉,乂)，8(又2，匕)，〃(%“，％)?將y=Ax+)4C入9x2+y2=加？得(A:2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故TOC\o"1-5"\h\zx.+X,—kb . .9b=- =- , yM=kxM+b=z ?w2k1+9 " 1+9于是直線OM的斜率壇“=應(yīng)=一3，即心“?左=-九Xm無所以直線OW的斜率與I的斜率的乘積為定值.(II)四邊形。4尸4能為平行四邊形.因為直線/過點號,m),所以/不過原點且與C有兩個交點的充要條件是2>0,〃工3.由(】)得加的方程為八一%設(shè)點P的橫坐標(biāo)為由(】)得加的方程為八一%設(shè)點P的橫坐標(biāo)為4.將點(?，加)的坐標(biāo)代入/的方程得b=mG”,因此為=需米?四邊形arm為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段。尸互相平分，即4=2功.于是…產(chǎn)=2/(?見,解得占=4一夕，月=4+夕.3a/PT9 3駐2+9)因為勺>0,￡=3,i=l,2,所以當(dāng)/的斜率為4一〃或4+0時，四邊形。4PB為平行四邊形.-72-

(21)解：(I)ffM=m(emx-\)+2x.若m》0,則當(dāng)xw(-oo,0)時，emx-1 0,ff(x)<0；當(dāng)x€(0,+oo)時，ef-120,/\x)>0.若mVO,則當(dāng)x€(—oo,0)時，emJf-1>0,f{x)<0；當(dāng)xG(0,+oo)時，emx-l<0,fXx)>0.所以，/(x)在(一8,0)單調(diào)遞減，在(0,+oo)單調(diào)遞增.(H)由(I)知，對任意的m,y(x)在［-1,0］單調(diào)遞減，在［0,1］單調(diào)遞增，故/(X)在x=0處取得最小值.所以對于任意玉,馬€［-1，1］，"(玉)一/(三)1??-1的充要條件是/⑴-/(O)We-l,即 k-^e-1, ①+mWe-1.設(shè)函數(shù)g(r)=e'—f-e+l,則g'(/)=e，一1.當(dāng)，VO時，g'?)vO；當(dāng)〉0時，g'Q)>0.故g(f)在(一8,0)單調(diào)遞減，在(0,+oo)單調(diào)遞增.又g(l)=O,g(-i)=e-,+2-e<0,故當(dāng)，時，g(z)WO.當(dāng) ［-1,1］時，g(m)W0,g(-m)W0,即①式成立：當(dāng)m>l時，由g(f)的單調(diào)性，g(m)>0>即當(dāng)mV—1時，g(—m)>0?即e-w+m>e—1.綜上，m的取值范圍是［-1,1］.(22)解：(I)由于△/HC是等腰三角形，AD1BC,所以/。是NC45的平分線.又因為OO分別與48,4c相切于點E,尸，所以= 故NOJLE尸.從而EF//BC.(II)由(I)知，AE=AF,4D上EF,故4D是跖的垂直平分線.又EF為?O的弦,所以。在上.連結(jié)OE,OM,貝iJOE?LZE.由NG等于OO的半徑得4。=2。￡,所以NOAE=30°.因此△45。和△NEF都是等邊三角形.因為<七=2百，所以NO=4,OE=2.因為OA/=OE=2,DM=、MN=0所以O(shè)0=l.2于是4。=5,所以四邊形E8C尸的面積為所以四邊形E8C尸的面積為.加亭竽-73-(23)解：(I)曲線G的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2y=0,曲線G的直角坐標(biāo)方程