2020版人教A版高中數(shù)學選修2-2課件：171-定積分在幾何中的應用

第一章導數(shù)及其應用1.7定積分的簡單應用1.7.1定積分在幾何中的應用類型一不分割型圖形面積的求解【典例1】(1)用S表示圖中陰影部分的面積,則S的值是 (

)(2)計算由曲線y=x2與y2=x所圍成圖形的面積.【解題指南】(1)把陰影分成(a,b)和(b,c)兩部分求解.(2)為了確定出積分的上、下限,我們需要求出兩條曲線的交點的橫坐標.【解析】(1)選D.因為x∈[a,b]時,f(x)<0,x∈[b,c]時,f(x)>0,所以S=(2)作出草圖,所求面積為陰影部分的面積.解方程組得到交點橫坐標為x=0及x=1.所以S=S曲邊梯形OABC-S曲邊梯形OABD

【方法總結(jié)】1.利用定積分求平面圖形面積的步驟(1)根據(jù)題意畫出圖形.(2)借助圖形確定出被積函數(shù),求出交點坐標,確定積分的上、下限.(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和.(4)計算定積分,寫出答案.2.不分割型圖形的面積計算(1)由一條曲線y=f(x)(其中f(x)≥0)與直線x=a,x=b(a<b)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積:S=f(x)dx(如圖(1)).(2)由一條曲線y=f(x)(其中f(x)≤0)與直線x=a,x=b(a<b)以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積:(如圖(2)).(3)由兩條曲線y=f(x),y=g(x)(f(x)≥g(x))與直線x=a,x=b(a<b)所圍成的曲邊梯形的面積:(如圖(3))注意:(1)(2)兩種情況可以統(tǒng)一為(3)只需g(x)=0或f(x)=0.【跟蹤訓練】1.定積分dx的值為 (

)A. B. C.π D.2π【解析】選A.因為y=,所以(x-1)2+y2=1表示以(1,0)為圓心,以1為半徑的圓,所以定積分就是該圓的面積π·r2=π的四分之一,所以定積分

2.從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點M(x,y),則點M取自陰影部分的概率為________.

【解析】長方形的面積為S1=3,S陰=3x2dx==1,則P=答案:

【補償訓練】計算(y-1)2=x+1及y=x所圍成的平面圖形的面積.【解析】將已知條件改寫為x=y以及x=(y-1)2-1,由圖知所求面積為陰影部分的面積.解方程組得交點的縱坐標為y1=0及y2=3,因此,陰影部分面積

類型二分割型圖形面積的求法【典例2】(1)如圖所示,正弦曲線y=sinx,余弦曲線y=cosx與兩直線x=0,x=π所圍成的陰影部分的面積為(

)A.1

B.

C.2

D.2(2)求由拋物線y=-x2+4x-3及其在點M(0,-3)和N(3,0)處的兩條切線所圍成的圖形的面積.【解題指南】(1)一般情況下,定積分f(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線y=f(x)以及直線x=a,x=b之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和,其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值,在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù),所以在用定積分求曲邊梯形面積時,一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數(shù).若是兩個函數(shù)之間的面積,直接求兩函數(shù)差的定積分即可(上面函數(shù)為被減數(shù),下面函數(shù)為減數(shù)).(2)求出兩切線的交點,把待求圖形的面積分為兩部分來求.【解析】(1)選D.由圖形以及定積分的意義,得到所求陰影部分面積等價于(2)因為y′=-2x+4,所以過點(0,-3)的切線斜率為4,過點(3,0)的切線斜率為-2,切線方程分別為y=4x-3,y=-2x+6,由得兩切線交點為(,3)，則所求圖形的面積為S=[(4x-3)-(-x2+4x-3)]dx+[(-2x+6)-(-x2+4x-3)]dx=.【方法總結(jié)】兩條曲線圍成的平面圖形的面積的解題思路和步驟(1)思路:在求平面圖形的面積時,如果平面圖形的曲邊部分由兩條不同的曲線構(gòu)成,則應分兩段分別求面積,然后相加,這時在相應的兩段積分區(qū)間上分別用不同的被積函數(shù).(2)步驟:①作出示意圖(弄清相對位置關(guān)系);②求交點坐標,確定圖形范圍(積分的上限、下限);③寫出平面圖形的定積分表達式;④運用微積分基本定理計算定積分,求出面積.【跟蹤訓練】由曲線xy=1與直線y=x,y=3所圍成的封閉圖形的面積為 (

)A.2-ln3 B.ln3C.2 D.4-ln3【解析】選D.由xy=1,y=3可得交點坐標為(,3),由xy=1,y=x可得交點坐標為(1,1),由y=x,y=3可得交點坐標為(3,3),所以由曲線xy=1,直線y=x,y=3所圍成的封閉圖形的面積為

【一題多解】由xy=1,y=3可得交點坐標為(,3),由xy=1,y=x可得交點坐標為(1,1),由y=x,y=3可得交點坐標為(3,3),對y積分,則S=【補償訓練】求拋物線y2=2x與直線y=4-x圍成的平面圖形的面積.【解析】由得交點為(2,2),(8,-4)所以類型三定積分在幾何中的綜合應用【典例3】如圖,設點P在曲線y=x2上,從原點向A(2,4)移動,記直線OP與曲線y=x2所圍成的圖形的面積為S1,直線OP、直線x=2與曲線y=x2所圍成的圖形的面積為S2.(1)當S1=S2時,求點P的坐標.(2)當S1+S2有最小值時,求點P的坐標和最小值.【解題指南】(1)先用定積分求出面積S1,S2,再解方程,求點P的坐標.(2)先寫出S1+S2的函數(shù)表達式,再用導數(shù)求最小值.【解析】(1)設點P的橫坐標為t(0<t<2),則P點的坐標為(t,t2),直線OP的方程為y=tx.S1=(tx-x2)dx=t3,S2=(x2-tx)dx=-2t+t3.因為S1=S2,所以t=,點P的坐標為(2)令S=S1+S2=t3+-2t+t3=t3-2t+,S′=t2-2,令S′=0得t2-2=0.因為0<t<2,所以t=,因為0<t<時,S′<0;<t<2時,S′>0.所以當t=時,S1+S2有最小值,此時點P的坐標為(,2).【方法總結(jié)】解決與曲邊圖形有關(guān)的綜合問題的基本思路解決與曲邊圖形有關(guān)的綜合問題,關(guān)鍵是要正確分析題意,先分清是求曲邊圖形面積,還是利用曲邊圖形面積解決其他問題,再正確作出圖形,確定積分區(qū)間和被積函數(shù),然后根據(jù)條件,建立等量關(guān)系或方程,進行求解.【跟蹤訓練】如圖,在一個長為π,寬為2的矩形OABC內(nèi),由曲線y=sinx(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分,向矩形OABC內(nèi)隨機投一點(該點落在矩形OABC內(nèi)任何一點是等可能的),則所投的點落在陰影部分的概率是 (

)【解析】選A.根據(jù)題意可知所投的點落在陰影部分的概率是由S陰影=得所求概率為【補償訓練】在曲線y=x2(x≥0)上的某一點A處作一切線,使之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為.試求:切點A的坐標和過切點A的切線方程.【解析】如圖所示,設切點A(x0,y0),由y′=2x得過A點的切線方程為y-y0=2x0(x-x0),即y