課高二數(shù)學(xué)人教B版時(shí)作業(yè)詳解答案

課時(shí)作業(yè)?詳解答案?數(shù)學(xué)選擇性必修?第一冊(cè)(人教B版)

課時(shí)作業(yè)(一)空間向量及其運(yùn)算

1.解析：當(dāng)兩個(gè)空間向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量

必相等；但兩個(gè)向量相等，不一定起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同，故①錯(cuò)；

根據(jù)向量相等的定義，要保證兩個(gè)向量相等，不僅模要相等，而且方

向還要相同，但②中向量a與8的方向不一定相同，故②錯(cuò)；根據(jù)正

方體的性質(zhì)，在正方體中，向量AC與向量4G的方

—>—?

向相同，模也相等，所以AC=AiG,故③正確；命題④顯然正確.

答案：C

2.解析：根據(jù)空間向量的加法法則以及正方體的性質(zhì)逐一進(jìn)行判

斷：

―?—?—?—?—?-?

①(AB+BC)+CG=AC+CCi=ACi.

—?—>—?—?—?-?

②(441+4Q)+Z)iG=A。=AG.

—A—?—?―?―A—?

③(A8+38i)+8]C=48i+8iG=AG.

―?—?―?—?—?-?

④(A4i+A8i)+3iG=Agi+8]G=AG.

所以，所給4個(gè)式子的運(yùn)算結(jié)果都是AG.

答案：D

3.解析：?.?(20+力)包=0,：.2ab-\-b2=0,

即2⑷網(wǎng)cos(a,b)+|肝=0,而悶=網(wǎng),

2cos(a,b〉+1=0,/.cos〈a,b)=—

又(a,b)e[0°,180°],

二.(a,b)=120。,選C.

答案：C

4.解析:由aJL/得a必=0,A(2ei+3e2)-(kex-4^)=0,

?.?e「e2=0,.?.2攵-12=0,:.k=6.

答案：B

—?—?—?―?—?―?―?—?—?―?—?

5.解析：AB-AC+BC—BQ-QA=A3+3C+C4+AZ)+08=AC

―?―?—?-?

+CA+AD+DB^AB.

答案：AB

6.解析：|〃+例2=02+2。?力+力2

TT

=1+2X1X2XcoSa+22=7,

.,.|a+川=巾.

答案：3

—?-?―A

7.解析：\AB+BC\=\AC\=2；

EF=：BD,

―?―?

BDBC=2X2Xcos60°=2,

故|3。一￡62=獲茄2

=BC^-BCBD+|BD2=4-2+1X4=3,

—>―?

故|8。一七月=小.

答案：2小

―?—?―?—?

8.解析：(1)A3'+4C+C'D'=AD'.

[fIf

(2'A—^AD+^AB+^AA'

乙乙乙4乙乙

—^(AD+AB+AA')—^ACf.

]fff1f

設(shè)〃是線(xiàn)段AU的中點(diǎn)，則刃C'=AM,向量A。'，^AC如

圖所示.

9.證明：'CABLCD,ACLBD,

―?―A―A-?

：.ABCD^O,ACBD=O.

—?—?—?—?―?―?

二.ADBC=(A8+孫(AC-48)

—?—?―?―?―?―?―?

=ABAC+BDAC-\AB^^ABBD

—?―?—?―?—?

=ABAC-\AB^-ABBD

=AB(AC-AB-BD)=ABDC=O.

—?—?

：.AD.LBC,從而

—?

10.解析：由題意知|P8|=也，

—?—?—?―?—?—?—?-?

理|=隹PB^PA+AB,DC=DA+AB+BC,

?.?用J_平面ABCD,

―?―?―?—?—?-?

：.PADA=PAAB=PABC=O,

'：AB.LAD,AAB-DA=0,

'：AB±BC,：.ABBC=0,

―A—>―A―A—A—?—A

：.PBDC=(FA-\-ABy(DA-\-AB-\-BC)

—A—A—A―?

=A82=|A8|2=1,又；[PBl=也,\CD\=y[2,

—?—?

:PBDC11

..cos(PB,DC)=__=6也=「

\PB\\DC\

(PB,DC)=60。，...PB與CO所成的角為60。.

課時(shí)作業(yè)（二）空間向量基本定理

1.解析：①中當(dāng)方=0時(shí)，。與c不一定共線(xiàn)，故①錯(cuò)誤；②中”,

b,c共面時(shí)，它們所在的直線(xiàn)平行于同一平面不一定在同一平面內(nèi)，

故②錯(cuò)誤；③正確；④不對(duì)，a,b不共線(xiàn).當(dāng)c=2a+〃A時(shí)，a,b,

c共面.

答案：B

2.解析：...a與p,q共面，

,；b=%—；q,；.b與p,q共面，

\?不存在2,林,使c=2p+〃q,

；.c與p,q不共面，故｛c,p,q｝可作為空間的一個(gè)基底，故選

C.

答案：c

解析：(

3.MN=ON—0M=5乙0B+OG-^JOA

1.22

=2(力十。)一郎二—^a

答案：B

―1f]f1f

4.解析：VOP^OA+^OB+^OC,

-A-A―?-A

.?.30P=0A+0B+0C,

—A—A—?—?—?—A

...OP—。4=(OB-OP)+(OC—OP)

―A—>―>

：.AP^PB-\-PC,

—?—?—?

：.PA^-PB-PC,:.P,A,B,C四點(diǎn)共面.

答案：B

―?-?

5.解析：①為真命題，A,B,C,。在一條直線(xiàn)上，向量A&CD

的方向相同或相反，因此A3與8是共線(xiàn)向量；②為假命題，A,B,C,

。不在一條直線(xiàn)上，則4B,CO的方向不確定，不能判斷A8與。是否

為共線(xiàn)向量；③為假命題，因?yàn)槲遥簝蓚€(gè)向量所在的直線(xiàn)可能沒(méi)

有公共點(diǎn)，所以A,B,C,。四點(diǎn)不一定在一條直線(xiàn)上；④為真命題，

因?yàn)槭ⅲ秲蓚€(gè)向量所在的直線(xiàn)有公共點(diǎn)A,且盛與能是共線(xiàn)向量，

所以A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn).故填①④.

答案：①④

6.解析：因?yàn)闄C(jī)與〃共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)九使機(jī)=2鹿，即a

—b-\-c—Xxa-\-Xyb-\-Xc,

/1=八,

x—\,

于是有<一1=均，解得，.

)=一]

[1=2,

答案：1—1

-?-?-?1-?-?

7.解析：DM=OM-OD=^OA-OD,所以有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)

=&0，-1).

答案：g0，-1J

8.解析：假設(shè)OA,OB,OC共面，

由向量共面的充要條件知，存在實(shí)數(shù)X,y,使得OA=%O8+yOC

成立，

即e\+2。2-e3=%(i3ei+e2+2e3)+y(ei+e2-03)

—(-3%+y)ei+(%+y)e2+(2%-.)-3.

因?yàn)椋祝?3｝是空間的一個(gè)基底，

所以01，02，03不共面,

3%+y=l,

所以＜%+y=2,此方程組無(wú)解.

―?—?-?

即不存在實(shí)數(shù)％,y,使得。4=%O3+yOC成立，

—?―?―A

所以O(shè)A,OB,0c不共面.

故｛Q4,OB,0C｝能作為空間的一個(gè)基底.

9.解析：連接AC,AD',AC'(圖略).

一1ff

(1)AP=2(AC+A4Z)

^AB+AD+AA')

=/(a+A+c).

f1一f

(2)AM=1(AC+A?)

1fff

=1(A3+2AO+A4')

1,,,1

=呼+6+呼.

⑶AN=；(AC'+AD')

1―?—?—?—?-?

=^[(AB-\-AD+AA')+(AO+A4')]

1fff

=](AB+2AO+2A4')

=%+b+c.

(4)AQ=AC+C。

f4ff

=AC+-^AA'-AC)

1—4一

=5AC+jA4，

1f1f4f

=-^AB-]-^AD+-^AA'

=5+5+/?

10.解析：TG是△BCD的重心，

：.\GE\^\BE\,:.GE=*E.

f1f

又EF=1C4,

—?]―?―?—?—?—?—?―?

：.AG+-jBE=AG-\-GE^AE,AE+EF^AF,

f1f1f一

從而彳

AG+J3￡+5乙CA=AE

答案：A

課時(shí)作業(yè)(三)空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系

1.解析：p=a—b=(l,0,—1),q=a+2>-c=(0,3,l),

.?.p?=lX0+0X3+lX(-l)=-l.

答案：A

2.解析：a_L〃=(l,5,—2)-(m,2,m+2)—10—2m—4=

0"加=6.

答案：C

c匚,/i\a，b2T+48

3.解析：由cos〈a,b'=麗=*+/.m=§，

,2

解得幺=-2或2=豆".

答案：C

—?-A

4.解析：A8=(3,4,—8),AC=(5,1,—7),

-?-?_________

BC=(2,-3,1),A\AB\-^32+42+82=V89,

\AC\=y^2+^p72=y]15,|BC|=V2A

-?-A—?

二.|ACF+|BC|2=75+14=89=|AB|2.

...△ABC為直角三角形.

答案：C

5.解析：Tz與4共線(xiàn),設(shè)z=(2九-2,24).

又07=42+2+42=-18,

.?.2=-2.Az—(—4,2,14).

答案：(一4,2,—4)

-?―A

6.解析：由于AB=(-2,-1,3),04=(—1,3,-2),

—?—?-?

所以4&CA=(-2)X(-l)+(-l)X3+3X(-2)=-7,|A3|=

―?

14,|CA|=VR

所以cosO=cos(AB,CA)=而｝森=一

則e=i2o。.

答案：120。

—?-?

7.解析：設(shè)點(diǎn)P(%,y,z),貝U由AP=2PB,

得(%+1,y-3,z—1)=2(-1-x,3-y,4—z),

[%+1——2-2x,

貝白y—3=6—2y,

、z-1=8-2z,

fx=-1,

解得<y=3,即尸(-1,3,3),

、z=3,

—?

則\PD\="(1+1)2+(1-3)2+(1-3)2=遮=2小.

答案：2y/3

8.解析：(1)因?yàn)閍〃方，所以存在實(shí)數(shù)九使a=2瓦

所以(2,4,5)=，3,x,y),

’2=3九

所以<4=&,所以jx=6,

、5=檢15

（2）向量（一3,一4,5）的模為4（-3）2+（-4）2+5占5陋,

所以與向量（一3,—4,5）共線(xiàn)的單位向量為±4^（—3,—4,5）=

±指（一3,-4,5）,

即嚅嗜-郛（端-嗜f(wàn)l.

9.解析：

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。%yz,則0（0,0,0）,00，°，｝），

C(0,l,0),

oj,G[1,1,m，

ff111

(1)證明:X0=0,：.EFLCF,

即EFA.CF.

ffii<nii

(2)VEF-CG=2X1+2X0+l_2JX2=4,

加邛

|CG|=址+02+陟邛,

一一1

EF-CG4遮

.,.cos〈EF,CG)=

一一出x/亞15

\EF]\CG\2X2

(3)|CE|=42+(—iy+吩苦

10.解析：

(1)因?yàn)镹SAB=NSAC=90。，所以SA_LA&SA_LAC且ABCAC

=A,所以SAI■平面ABC,如圖所示，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC,AS所

在直線(xiàn)分別為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由AC=2,BC=V13,

S3=叵得C(0,2,0),3(一巫，2,0),5(0,0,2^3).

—?-?

所以SC=(0,2,一25BC=(VH0,0).

因?yàn)镾C3c=0,所以SCJ_3c.

(2)設(shè)SC與AS所成的角為仇

―?

因?yàn)?8=(一行，2,0),

―?-?

所以SCA8=4,

-?―A

又|5。||4q=4*，1?=4捫，

所以cos6—----------i^T-

|SC||A3|

課時(shí)作業(yè)(四)空間中的點(diǎn)、直線(xiàn)與空間向量

1.解析：因?yàn)?2=—2S，所以功〃02.

答案：A

f(12]f

2.解析：VAB=(1,2,3),「.G，手lJ=w(l,2,3)=gA8,

???&I,1)是直線(xiàn)/的一個(gè)方向向量.

故選A.

答案：A

—>—?-?

3.解析：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,的方向?yàn)槿胼S，y軸,

z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則F(1,0,0),D,(0,0,2),0(1,1,0),

￡(0,2,1),則0￡=(—1,1,1),皿=(一1,0,2),

—?―?—?-A

：.\OE\=y[3,\FD^\=y[5,OEF/=3,

OE-FDy_3_V15

/.cos〈OE,FDi)

ff5'

\OE\\FDi\

答案：A

4.解析：不妨令CB=1,則CA=CCt=2,可得0(0,0,0),8(0,0,1),

G(0,2,0),A(2,0,0),Bi(0,2,1),

.?.3G=(0,2,-1),AB,=(-2,2,1),

BCyAB,4-11__正

cos(BQ,ABi)n

行聲5＞。

\BC^ABy\

二.BG與AB1的夾角即為直線(xiàn)BG與直線(xiàn)A3i的夾角，其余弦值為

5

T-

答案：A

,

5.解析：：vi-v2=a,0,-l).(-2,0,-2)=0,

，。?JL,;?A_LA

答案：垂直

2

6.解析：設(shè)C(%,y,z),則(%—?3,y-3,z+5)=g(—1,—6,6),

解得％=,,y=—1,z=-1,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為《，—1,—1]

(7)

答案：回T，-1J

―-1—2—v

7.解析：由題思，得A3=(-1,—2—y,z—3),則"y=j

z—333

二一丁，解得)=一會(huì)Z=1,所以y+z=O.

答案：0

8.證明：

如圖，以。為原點(diǎn)，DA,DC,DA所在直線(xiàn)分別為1軸，y軸,

z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,

可求得從0,1,卷端，1,11,D(0,0,0),Ai(l,O,l),

frin

于是0,

04=(1,0,1).

得D4i=2MN,：.DAi//MN,

又DA?與MN不重合，

：.DAi//MN.

9.證明：

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

'：PA^AB=BC=^AD^1,

.”(0,0,1),B(1,0,0),C(l,l,0),。(0,2,0).

.?.CD=(-1,1,0),尸C=(l,l,-1).

'：PCCD=(1,1,-l)-(-l,l,0)=0,

：.PC±CD.

10.證明：

AB,AD,AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)41

=AB=BC=\,貝I尸(0,0』).

(1)因?yàn)镹43C=60。，AB=BC,

所以△A3C為正三角形,

所以cf；,￥，01出1)

々4'2)

設(shè)0(0,y,0),由AC_LCD,

得ACCD=0,

即y=弩,則電，亭，0)，

所以C￡>=J；,坐，0.

又坐，1,所以CZ>AE=—；義"+平義坐=0,所以AE

―?

.LCD,即A瓦LCD

(2)因?yàn)槭?0,0,1),所以防=(0,卒，-1.

ff2、巧1ff

又因?yàn)?足以)=勺義拶+5*(-1)=0,所以PD_LA￡,即

PD1AE.

―?―?—?

因?yàn)锳3=(l,0,0),所以尸。-A3=0.所以尸。J_45,又因?yàn)?BGAE

=A,所以尸。_1_平面A3E

課時(shí)作業(yè)(五)空間中的平面與空間向量

1.解析：?:a/邛,.'.(I,-2,2)=加(2,2,4),；"=一4.

答案：D

2.解析：因?yàn)閍邛,所以它們的法向量也互相垂直，所以ab

—(—l,2,4)-(x,—1,-2)=0,即一x—2—8=0,解得％=—10.

答案：B

3.解析：設(shè)平面A3C的法向量為“=(%,y,z),

ABa=O,

則有j

、ACa=O

.J2x+2y+z=0

*4%+5y+3z=0'

令z=l,得y=—1,%=；,?,“=g-1,1)

故平面ABC的一個(gè)單位法向量為“=&—I，I)

答案：C

4.解析：因?yàn)??A3=2X(-3)+(-2)Xl+4X2=0,所以nLAB.

又點(diǎn)A不在平面a內(nèi)，〃為平面a的一個(gè)法向量，所以45〃a,故選

D.

答案：D

5.解析：連接AG,8G(圖略)，則AG,8G分別為AP,BP在平

面ABC內(nèi)的射影.因?yàn)镻A1BC,所以由三垂線(xiàn)定理的逆定理知

AGLBC,同理，BGVAC,所以G是△A3C的垂心.

答案：垂心

6.解析：'：l//a,.*.(2,-8,1)-(1,y,2)=0,而2Xl-8y+2=0,

.1

??y2,

答案：；

—?—?

7.解析：APAB=(-1,2,-1)-(2,-1,-4)

=-1X2+2X(-1)+(-1)X(-4)=0,

：.APLAB,即①正確.

AP-AD=(-1,2,-1)-(4,2,0)

=-lX4+2X2+(-l)X0=0.

：.APLAD,即②正確.

又?.?A8GAO=A,平面ABC。，

―?

即A尸是平面A8CD的一個(gè)法向量，③正確.④不正確.

答案：①②③

8.證明：

p

如圖，取8C的中點(diǎn)O,連接AO交8□于點(diǎn)E,連接PO.

因?yàn)镻B=PC,所以POLBC.

又平面尸平面ABCD,平面尸8CG平面ABCD=BC,

所以PO_L平面ABCQ,所以A尸在平面A3CZ)內(nèi)的射影為AO.

在直角梯形ABCD中，由于AB=5C=2CQ,

易知RtAABO^RtABCD,

所以/BEO=ZOAB+/DBA=ADBC+NQ3A=90。，

即AOLBD.

由三垂線(xiàn)定理，得》_18。

9.解析：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4,DC,所在直線(xiàn)分別為工

軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則3(0,00),

A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,Q,0),AI(Q,0,a),C\(0,a,a).

設(shè)E(0,a,e)(0WeWa).

(1)A]F=(—a,a,e—a),

BD=(—a,—Q,0),

A\E-BD=a2—a2+(e—a\0=Q,'.A\ELBD,

即AyELBD.

(2)設(shè)平面AiBD,平面EB￡)的法向量分別為w=(%],y,z1)，H2

=(%2,>2,22).

'：DB=(a,Q,0),DAi—(a,Q,a),DE=(0,a,e).

—?—>

n\eDB—0,〃2，。6=0,

<

???<-?—?

/「￡)4=0,、〃2-OE=0,

cix\oy\=0(2x2H-oyi=09

即v?,

/LV]+az]^O,。竺+勿？^。.

?。?=%2=1，得〃1=(1,—1,—1),〃2=(1，-1，f

由平面A8D，平面E8D得〃]，鹿2.

a11Q

.?.鹿1?篦2=2—1=0,即e=,

.?.當(dāng)E為CG的中點(diǎn)時(shí)，平面平面防D

10.證明：

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),A(0,—3,0),

5(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),

(l)AP=(0,3,4),3c=(—8,0,0),

-A-?

所以APBC=(0,3,4)-(-8,0,0)=0,

―?-?

所以APL8C,gpAPLBC.

(2)由(1)知|AP|=5,

又|AM=3,且點(diǎn)M在線(xiàn)段AP上，

—?Q—>(o]2、

所以AM=5AP=(0,亍yj

—?

又因?yàn)閰^(qū)4=(-4,-5,0),

所以3M=BA+AM=1—4,—亍，-yI,

f(“1612)

則AP-BM=(0,3,4)1—4,—y,引=0,

—?—?

所以APL3M,gpAP.LBM.

又根據(jù)(1)的結(jié)論知AP_L3C,BMCBC=B,

所以AP_L平面BMC,于是AM_L平面BMC.

又因?yàn)锳MU平面AMC,

故平面AA/C_L平面BMC.

課時(shí)作業(yè)(六)直線(xiàn)與平面的夾角

1.解析：由線(xiàn)面垂直的判定定理，得G。，平面B6QN,所以

0B為BG在平面BBQQ上的射影，所以/。歸。為BG與平面

8BQQ所成的角，故選D.

答案：D

2.解析：取3C中點(diǎn)連接AM,0M,易知NOAM即為A。

與平面A3CQ所成的角，可求得sinNOAM=*.

七

J

/M

4B

答案：c

3.解析：

Cl

IM1%

x/AEB

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1,

則4(1,0,1),ao],

*0,/1),5.(1,1,1).

AiE=[o,-1),小/=1—1,0),4囪=(0,1,0),設(shè)平面

的法向量〃=(%,y,z),

c―?

n-A\E=0,

貝以

―?

、n?A]F=0,

fl

z=0,

一x+5=0.

x=l,

令y=2,貝?

?=(1,2,1),cosA|i9])==3，

即AxBx與平面AyEF所成角的正弦值為坐

答案：B

4.解析：

如圖，設(shè)A在平面3尸C內(nèi)的射影為0,

ZAPB=ZAPC.

...點(diǎn)。在N8PC的角平分線(xiàn)上，

...NOPC=30。，NAP0為與平面PBC所成的角.

二.cosXAPC—cosZAPO-cosZOPC,

即cos60°=cosZAPO-cos30°,

cos?

答案：D

an1X2+2X1+3X12+2+3

系所以,與平面a所成角的正弦值為空

6.解析：連接3G交3C于。點(diǎn)，連接40.

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a.

易證平面AiSCO,

：.AXO為AiB在平面4SC。上的射影.

：.ZBAXO為AXB與平面ABC。所成的角.

、也

在RtAAiSO中，AiB=yj2a,B0=^a,

??sinZ_BAiO_Ap一0,

.?.NBAiO=30°.

即A由與平面AiBiCD所成角為30°.

答案：30°

7.解析：

以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,

設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a,

?,Ccid]

則A(a,0,0),B(0,a,0),C(~a,0,0),PlO,一》句,

從而CA=(2a,0,0),

一(QGf

AP=\—a,—2pCB=(a,a,0).

設(shè)平面RIC的一個(gè)法向量為打，可求得〃=(0,1,1),

CBna1

則

cos(CB,n)2,

\CB\\n\

所以〈CB,n)=60。.

所以直線(xiàn)3C與平面公。所成的角為90。-60。=30。.

答案：30°

8.解析：取BC中點(diǎn)O,SG中點(diǎn)Q,連接AO,0Q,貝1Ao_LOC,

00[J_平面A3C,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC,OA,OO1所在的直線(xiàn)分別

為％,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。町z,則A0,*a,0,

I//

取A3中點(diǎn)M,連接CM,則CMLAA

?.?平面平面ABC,...CM，平面ABBA,

二.CM為平面A881A的一個(gè)法向量.

VB^—0,o],「.M—呼a,0).

又,雅,0,o],/.CM-—%,呼a,0

__32

。二:、ACyCM不‘

?*cos〈AG,CM)——二>~巧

MGIICM

，AG與平面ABBiAi所成角的正弦值為

9.解析：

如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)Dxyz.

-?—"?

則QA=(l,0,0),CC'=(0,0,1).連接BD,B'D'.

在平面0中，延長(zhǎng)。尸交"D,于”.

—?

設(shè)DH=(m,m,1)(/??>0),

—>—>

由已知〈DH,DA)=60。，

—?—?—?—?—?-?

由。4QH=|Z)4||QH|cos(DH,DA),

可得機(jī)解得機(jī)=乎，

所以防=惇，乎，1]

_,當(dāng)X0+孚X0+1X1叵

(1)因?yàn)閏os<DH,CC'〉=-----------------=25

-A-?

所以〈DH,CC'〉=45。，

即。尸與CC'所成的角為45。.

(2)平面44'D'。的一個(gè)法向量是。。=(0,1,0).

一—^xo+^x1+1X0

因?yàn)閏os<DH,DC)-----------------------=:

所以〈DH,DC）=60。.

可得QP與平面44'D'。所成的角為30。.

10.解析：（1）證明：?.?四邊形ABC。是正方形,

：.AC±BD.

'：尸。J_底面ABCD,：.PDLAC.

,：PDHBD^D,.'.AC，平面PO3.

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)43=1,則41,0,0),C(0,l,0),

*/，喙

由（1）知47=（—1,1,0）為平面PDB的一個(gè)法向量.

設(shè)AE與平面ED3所成的角為G,

則sin(9=|cos(AC,AE)尸1^^1=正］

\AQ\AE\"

與平面PD5所成的角為45。.

課時(shí)作業(yè)（七）二面角

1.解析：由二面角的定義及三垂線(xiàn)定理，知選B.

答案：B

2.解析：

4

如圖取3c的中點(diǎn)為E,連接AE,DE,

由題意得AE_L3C,DEVBC,

RSA/3

且AE=DE=2。，又AD—?a,

：.ZAED=60°,即二面角A—3。一。的大小為60°.

答案：C

3.解析：設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)面與底面所成的二面角

2*也。，、后人、向

為。,高為。，斜高為"'，則j=8，2，/?sin6=

4X-ah'一

3II71

即夕=1.

答案：D

4.解析：設(shè)所求二面角的大小為仇貝Ncos0|=皆黑=坐，所以

8=30°或150°.

答案：C

5.解析：設(shè)二面角大小為仇由題意可知

八82+52—72|164+25-491

儂"二2X8X5|I80=1，

所以8=60?；?20°.

答案：60?；?20。

6.解析：取BC的中點(diǎn)O,連接PO,AO（圖略），則NPQ4就是

二面角P—3C—A的平面角.又PO=AO=，5,PA=y[6,所以N尸。4

=90°.

答案：90°

7.解析：0A3C=04(0C-0B)

―?—?—?-?

=OAOC-OAOB

7T7C

=|OA|?|(9C|cos—|OA|?|OB\?cos2

Ifff

=習(xí)。4|(|0。一|0即=0.

Acos(OABC)

\OA\\BC\

答案：0

8.解析:

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

則40,0,0),C(l,l,0),0(0,1,0),尸(0,0,1).

-?-?

故平面PAB的法向量4)=(0,1,0),0c=(1,0,0),

―?

尸。=(0,1,-1).

n-DC=0,%=0,

設(shè)平面PCD的法向量n—(x,y,z),由＜

令z=l,所以〃=(0,1,1),所以cos(n,AD)

所以〈n,AD)=45°.

即平面PAB與平面PCD的夾角為45。.

9.解析：

(1)證明：建立如圖所示/空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),￡(0,1,1),A(1,0,0),8(1,2,0),C(0,2,0),

-?—>—>

。石=(0,1,1),BE=(-1,-1,1),5C=(-1,0,0).

—?—>—?-?

因?yàn)镈EBE=0,DEBC=0,

-?-A-?-A

所以DE_LBE,DE1BC.

貝IDEtBE,DE±BC.

因?yàn)?EU平面3CE,BCU平面BCE,

BECBC=B,

所以。氏L平面BCE.

(2)AB=(0,2,0),設(shè)平面AE3的法向量為〃=(%,y,z),

n-AB=0,y=o,

則j即<

、一%—y+z=0,

gBE=0,

含％=1,所以平面AE3的法向量為〃=(1Q1).

因?yàn)?。石_L平面BCE,

所以。石=。1,1)就是平面8CE的一個(gè)法向量.

l、n-DE1

因?yàn)閏os〈〃，DE}------=彳，

\n\\DE\

由圖形可知二面角A-E3-C為鈍角，所以二面角A-E3-C的

大小為120°.

10.解析：(1)證明：取必的中點(diǎn)憶連接E尸，BF.

因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，

所以EF//AD,EF^AD.

由ZBAD=NABC=90。得BC//AD.

又8c=)。，所以Eb觸8C,

所以四邊形BCE廠是平行四邊形，所以CE〃BF.

(2)由已知，得BA_LAD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A3的方向?yàn)槿胼S正方

向，|A3|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)pz,則4(0,0,0),

―?―?

5(1,0,0),C(l,l,0),P(0,l,?PC=(l,0,一啊,A8=(l,0,0).

設(shè)M(%,y,z)(0<r<l),貝(j

BM=（x-1,y,z）,PM=（x,y—1,z—?。?/p>

因?yàn)榕c底面A8CQ所成的角為45。，

而八=。0,1）是底面48。。的法向量，

所以|cos(BM,n)|=sin450,

即因_也

^/(x—l)2+^2+z22，

即(%—l>+y2—z2=0.①

又M在棱PC上，設(shè)PM=2PC,則

x=X,y=l,z=小一小人.②

由①②解得jy=l,(舍去)，或jy=l,

L坐y[6

9=2，

所以加卜一乎，i,當(dāng),

―?/啦1W

從而AM=1—

2i2\

設(shè)機(jī)=(x(b>0,z（））是平面ABM的法向量，則

機(jī)?AM=0,(2—y/2)x()+2yo+加z()=0,

〈即＜

―?.XQ—0,

jn?AB=0,

所以可取m=(0,~~乖,2).

mnVlO

于是

cos(m,n)~\m\\n\~5'

因此二面角M—A8—Z）的余弦值為日9

課時(shí)作業(yè)（八）空間中的距離

1.解析：出=（-2。-1）,|抬|=巾，唔包=當(dāng)，則點(diǎn)。到直

273_3也

線(xiàn)I的距離d=A/|M|-空42=25-

\l\n\22,

答案：A

2.解析：作尸O_La于點(diǎn)O,連接OA、OB、OC(圖略)，?.?山=

AB

PB=PC,，OA=OB=OC,是AABC的外心.：.OA=^.

2sinZBCA

2sin120。=5小'

."。="出2-off為所求.

答案：B

3.解析：

由正方體的性質(zhì)，易得平面ABiDi〃平面3QG,則兩平面間的距

離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面A3Q1的距離.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,

DDi所在的直線(xiàn)分別為％軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，貝UA(a,0,0),B(a,a,0),Ai(a,0,a),C(0,a,0),CA\=(a,—a,

a),BA=(0,-a,0),連接AC,由AC_L平面ABQi,得平面AS。］

—?

的一個(gè)法向量為〃=(1,-1,1),則兩平面間的距離4=隼抖=?=卓

CL.

答案：D

f31

4.解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則AP=W(1,0,0)+2

,2(312)

(0,1,0)+利,0,1)=丘，2,*

fffAP-AB3

又A3=(l,0,0),...A尸在A3上的投影為^^=不.?.點(diǎn)P至UAB

_____\AB\

,I—、APAB5

的距離為A/\AP\―2=1

\l\AB\'

答案：A

―?―>―?-?-?

5.解析：設(shè)A3=a,AD—b,AA1=c,易得AC=a+Z>+c,則|AG

F=ACrACi=(a+b+c>(a+b+c)=a2+2a0+20c+2Zrc+b2+c2=4

―?

+4+4+4+4+4=24,所以|AGI=2&.

答案：2冊(cè)

6.解析：

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,oj,B(0,l,0),

31(0,1,1),C1(0,0,1),則國(guó)=惇，1,-1],

GB1=(0,1,0),C/=(0,l,

-1).

設(shè)平面ABC\的一個(gè)法向量為n=(x,yi)，

=

C\A'ti2

則有s

CB〃=y—1=0,

11,則所求距離為

解得〃,1,

7

答案：等

7.解析：

z

/般.一也

X

由已知，得AB,AD,A尸兩兩垂直....以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,

AD,AP所在的直線(xiàn)分別為％軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，

-A-?

則40,0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),一(0,0,2),PB=(2,0,-2),BC=

—>

nPB=0

(0,2,0),設(shè)平面PBC的法向量為〃=3,b,c),貝叫，

―?

<n-BC=0

2Q—2c—~0-*,

即彳，...可取"=(1,0,1).又45=(2,0,0),AD〃平面

2b=0

―?

PBC,.?.所求距離為喑1=也.

答案：啦

8.解析：?.?3]G〃8C,且3CQ平面AyBCDx,BCu平面A}BCD\,

.??5iG〃平面AiBCDi.

從而點(diǎn)到平面A.BCDi的距離即為所求.

過(guò)點(diǎn)3作5歸，43于E點(diǎn).

平面4A8B1,且8EU平面AiABBi,

：.BCLB\EXBCDAyB^B.

.,.即￡，平面AyBCDi,

線(xiàn)段3E的長(zhǎng)即為所求.

在RtAA]B,B中，

AiBiBiB5X1260

&A.=乖2+]22=1?

因此直線(xiàn)BQ和平面AyBCDx的距離是符

9.解析:

/)

f:w

(1)證明：以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,2),F(1,0,0),8(2,2,0),￡(0,1,1).

—?―?-?

FP=(-l,0,2),尸8=(1,2,0),Z)E=(0,l,l),

f1f1f

所以小=嚴(yán)+才B,

又因?yàn)?。放平面PFB,

所以O(shè)E〃平面PFB.

(2)因?yàn)椤ㄆ矫鍼FB,

所以點(diǎn)E到平面PFB的距離等于點(diǎn)D到平面PFB的距離.

設(shè)平面的一個(gè)法向量〃=(%,y,z),

n-FB=0%+2y=0,

則I臺(tái)

—x+2z=0,

jiFP=0

令％=2,得y=-1,z=l,

所以〃=(2,—1,1).

又因?yàn)镠>=(—1,0,0),

尸。?川22^6

所以點(diǎn)。到平面PFB的距離d=

\n\一加—3-

所以點(diǎn)E到平面PFB的距離為坐

10.解析：由題意知朋，AD,AB兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,

則4。,。,。)，0(020),￡(0,0,1),打0,1』).

假設(shè)在線(xiàn)段8上存在一點(diǎn)。滿(mǎn)足題設(shè)條件.

令CQ=m(0WmW2),則。。=2一八

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2—根,2,0),：,EQ=(2-m,2,-1).

—?

而后尸=(0』,0),設(shè)平面￡尸。的法向量為〃=(%,y,z),

c―?

n-EF=0|y=0

則1八’

一[(2—m)jc+2y—z=0

[n-EQ=0

令％=1,則〃=(1,0,2一m)是平面后尸。的一個(gè)法向量.

f\AE-n\

又AE=(0,0,1),...點(diǎn)A至ij平面EFQ的距離d—..—

|2—m|點(diǎn)4即(2—m)2=方16,

^/l+(2—m)2

.,.機(jī)=|或?qū)W，學(xué)＞2,不合題意,

舍去.

24

故存在點(diǎn)。，且。。=可時(shí)，點(diǎn)A到平面￡尸。的距離為亍

章末質(zhì)量檢測(cè)(一)空間向量與立體幾何

1.解析：因?yàn)棰賏=(l,—2,1)=—b——(—1,2,—1),

所以a〃b；

②。=(8,4,0),《=(2,1,0),。=4瓦

所以?！ā?；

③“=(1,0,—1),b=(—3,0,3),a=—^b,

所以?！?/p>

1,—1],b—[4,—3,3),a——^b,

所以?！ㄍ咭虼诉xD.

答案：D

2.解析：因?yàn)橄蛄俊?(2,—3,5)與1=(4,x,y)平行,

fC1

一3=中，

所以＜]解得％=—6,y=10.

答案：B

3.解析：由向量減法的三角形法則可知4