湖北省新高考協(xié)作體高三上學(xué)期起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】，解得或，所以.所以，AB選項(xiàng)錯(cuò)誤.反之不成立，故C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C2.已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解.【詳解】依題意點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，；故選：D.3.火車站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火車，現(xiàn)要停放3列不同的火車，則不同的停放方法有（）A.種B.種C.種D.種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，直接利用排列列式作答.【詳解】火車站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火車，現(xiàn)要停放3列不同的火車，它是排列問題，所以不同的停放方法有種.故選：B4.（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式求得正確選項(xiàng).【詳解】.故選：B5.要得到的圖象，只需要將的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長度B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度D.向右平移個(gè)單位長度【答案】A【解析】【分析】先將函數(shù)化為，然后由正弦函數(shù)的圖像平移可得答案.【詳解】又所以將的圖像向左平移個(gè)單位長度，可得的圖像故選：A6.定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.若對(duì)，都有，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知，利用分段函數(shù)的解析式，結(jié)合圖像進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的部分圖像如下，由圖可知，若對(duì)，都有，則.故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.7.如圖，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到B的最短路徑有（）A.23條B.24條C.25條D.26條【答案】D【解析】【分析】先假設(shè)是實(shí)線，計(jì)算出所有的最短路徑的條數(shù)，然后減去經(jīng)過的最短路徑的條數(shù)，從而求得正確答案.【詳解】先假設(shè)是實(shí)線，則從到，向上次，向右次，最短路徑有條，其中經(jīng)過的，即先從到，然后到，最后到的最短路徑有條，所以，當(dāng)不通時(shí)，最短路徑有條.故選：D8.當(dāng)時(shí)，恒成立，則整數(shù)的最大值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，求得，令，求得，單調(diào)在上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)為，根據(jù)，得到，將代入得到，即可求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，可得在上恒成立，不妨設(shè)，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)為，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，且，將代入可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以.故選：C.二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確有（）A.已知集合，，全集，若，則實(shí)數(shù)的集合為B.命題，成立的充要條件是C.設(shè)，則“”的充要條件是“都不為”D.已知，，，則的最小值為【答案】CD【解析】【分析】解方程求得集合，當(dāng)時(shí)，可知，由此可得，知A錯(cuò)誤；利用一元二次不等式能成立的求法可求得范圍，由其與的推出關(guān)系可知B錯(cuò)誤；根據(jù)可知C正確；由，利用基本不等式可求得最小值，知D正確.【詳解】對(duì)于A，集合；當(dāng)時(shí)，，，滿足，但，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，當(dāng)時(shí)，，；由，，是，成立的充分不必要條件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意知：，且，“”的充要條件是“都不為”，C正確；對(duì)于D，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)），的最小值為，D正確.故選：CD.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的定義域?yàn)锽.當(dāng)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減D.設(shè)定義域?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于中心對(duì)稱，若，且與的圖象共有2022個(gè)交點(diǎn)，記為（，2，…，2022），則的值為0【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A：由即可判斷；對(duì)B：由，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，從而即可判斷；對(duì)C：，且，即可判斷；對(duì)D：由函數(shù)和圖象關(guān)于對(duì)稱，則與圖象的交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，且每一對(duì)均關(guān)于對(duì)稱，從而即可求解判斷.【詳解】解：對(duì)A：要使函數(shù)有意義，則，即，∴的定義域?yàn)?，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)B：∵，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴當(dāng)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱時(shí)，，所以選項(xiàng)B不正確；對(duì)C：由選項(xiàng)B知，當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞減，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)D：∵，，∴的圖象關(guān)于對(duì)稱，又函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，∴與圖象的交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，且每一對(duì)均關(guān)于對(duì)稱，，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式及相互獨(dú)立事件、對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：，因?yàn)?，所以，因此，，又，所?故選：AD.12.已知方程，其中.下列條件中使得該三次方程有且僅有一個(gè)實(shí)根的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】分別對(duì)所給的值逐個(gè)分析；選項(xiàng)中添項(xiàng)去項(xiàng)，分組分解因式，可得有兩根，不符合題意;A,C,D中構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性和極值，分析函數(shù)的零點(diǎn)問題，由極值的正負(fù)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而判斷出正確的命題.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A.方程為:,令,,所以在R上單調(diào)遞增,且，,所以函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),所以方程僅有一個(gè)實(shí)根,所以A正確.對(duì)于選項(xiàng)B.方程:,可得,即,即,即，可得方程有兩個(gè)根1，-2,不符合題意,所以B不正確;對(duì)于選項(xiàng)C.方程為:,令,則；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程僅有一個(gè)實(shí)根,所以C正確;對(duì)于選項(xiàng)D.方程為:，令,，時(shí)，時(shí)，故為極大值，，時(shí),為極小值,且,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn),即方程僅有一個(gè)實(shí)根,所以D正確;故選:ACD.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.如果函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，將代入，求出的表達(dá)式，再根據(jù)確定的取值.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，，即，或恒成立，解得：，又，.故答案為：.14.抽樣表明，某地區(qū)新生兒體重近似服從正態(tài)分布.假設(shè)隨機(jī)抽取個(gè)新生兒體檢，記表示抽取的個(gè)新生兒體重在以外的個(gè)數(shù).若的數(shù)學(xué)期望，則的最大值是___________.（）【答案】16【解析】【分析】根據(jù)正太分布的原則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】根據(jù)正太分布的原則可知：，得：，因?yàn)闉檎麛?shù)，故的最大值為16.故答案為：1615.函數(shù)的最大值為，最小值為，則______.【答案】6【解析】【分析】求解可得的對(duì)稱中心，再根據(jù)取得最大與最小值的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱求解即可.【詳解】由題意，，故關(guān)于對(duì)稱.故取得最大與最小值的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以.故答案為：616.已知、為實(shí)數(shù)，，若對(duì)恒成立，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷可得，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值，依題意可得，即可得到，從而得到，再令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值，即可求出的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)椋?，若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，不符合題意，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則，則，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的最小值為.故答案為：【方法點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的展開式中的系數(shù)是-35，（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）1（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）本題主要考查二項(xiàng)式定理，首先根據(jù)通項(xiàng)公式寫出，令，從而求出的值為1，于是問題轉(zhuǎn)化為的展開式，采用賦值法，首先令，求出的值，再令，可以求出的值，這樣得出的值；（2）兩次賦值，分別令，，兩個(gè)式子相減得到的值.試題解析：∵，∴，∴.（1）令時(shí)，，①令時(shí)，.∴（2）令時(shí)，.②①-②得.18.已知函數(shù).（1）求的最小正周期;（2）若，求出的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用二倍角和輔助角公式化簡函數(shù)為的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,(2)根據(jù),令，則可求出的范圍,從而得出的單調(diào)遞減區(qū)間.【小問1詳解】.的最小正周期為.【小問2詳解】令，則，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，即時(shí)，的單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為.19.袋中有同樣的球5個(gè)，其中3個(gè)紅色，2個(gè)黃色，現(xiàn)從中隨機(jī)且不放回的摸球，每次摸1個(gè)，當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時(shí)，即停止摸球，記隨機(jī)變量為此時(shí)已摸球的次數(shù)，求:（1）的值;（2）隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，ξ的數(shù)學(xué)期望為2.5【解析】【分析】(1)先求從袋中不放回的摸球兩次的所有取法，再求出事件所包含的取法數(shù)，利用古典概型概率公式求，(2)由條件確定隨機(jī)變量的所有取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望.【小問1詳解】由已知可得從袋中不放回的摸球兩次的所有取法有種，事件表示第一次取紅球第二次取黃球或第一次取黃球第二次取紅球，故事件包含種取法，所以【小問2詳解】隨機(jī)變量可取的值為得隨機(jī)變量的概率分布列為:234P隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為：20.已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值;（2）解關(guān)于的不等式;（3）設(shè)，若函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義及性質(zhì)直接化簡求值；（2）判斷時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性可得函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，解不等式即可；（3）由函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，可得有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，再利用換元法轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個(gè)根，利用判別式求參數(shù)范圍.【小問1詳解】函數(shù)的定義或?yàn)?，函?shù)為偶函數(shù).，即，，；【小問2詳解】，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；，，解得或，所以所求不等式的解集為；【小問3詳解】函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，，即，，設(shè)，則，即，又在上單調(diào)遞增，所以方程有兩個(gè)不等的正根；，解得，即的取值范圍為.21.為了檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動(dòng)物與人體試驗(yàn).研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時(shí)間后測(cè)量小白鼠的某項(xiàng)指標(biāo)值，按，，，，分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立.（1）填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān).單位：只抗體指標(biāo)值合計(jì)小于60不小于60有抗體沒有抗體合計(jì)（2）為檢驗(yàn)疫苗二次接種的免疫抗體性，對(duì)第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.（i）用頻率估計(jì)概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率；（ii）以（i）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗(yàn)，記個(gè)人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量.試驗(yàn)后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)時(shí)，取最大值，求參加人體接種試驗(yàn)的人數(shù)及.參考公式：(其中為樣本容量)參考數(shù)據(jù)：0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)；（2）（i）；（ii）當(dāng)接種人數(shù)為n=99時(shí)，；當(dāng)n=100時(shí)，.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖算出每個(gè)區(qū)間段的小白鼠數(shù)量，然后根據(jù)指標(biāo)值完成列聯(lián)表，并根據(jù)參考公式進(jìn)行運(yùn)算，然后進(jìn)行數(shù)據(jù)比對(duì)，最終得到答案；（2）（i）根據(jù)古典概型公式，結(jié)合對(duì)立事件概率求法即可得到答案；（ii）根據(jù)最大，結(jié)合二項(xiàng)定理概率求法列出不等式組解出X，最后求出期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標(biāo)值分布為：在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）.由題意，有抗體且指標(biāo)值小于60的有50只；而指標(biāo)值小于60的小白鼠共有（只），所以指標(biāo)值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，同理，指標(biāo)值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如下：單位：只抗體指標(biāo)值合計(jì)小于60不小于60有抗體50110160沒有抗體202040合計(jì)70130200零假設(shè)為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得.根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠注射