高中數(shù)學(xué)人教A版選修21講義第三章31313空間向量的數(shù)量積運算

eq\a\vs4\al(空間向量及其運算)3．1.1空間向量及其加減運算預(yù)習(xí)課本P84～85，思索并完成以下問題1．空間向量、零向量、單位向量、相反向量及相等向量的定義分別是什么？2．空間向量的加法和減法是怎樣定義的？滿意交換律及結(jié)合律嗎？eq\a\vs4\al([新知初探])1．空間向量的有關(guān)概念(1)定義：在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度：向量的大小叫做向量的長度或模．(3)表示法：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(①幾何表示法：空間向量用有向線段表示.,②字母表示法：用字母表示，假設(shè)向量a,的起點是A，終點是B，那么向量a也,可以記作eq\o(AB,\s\up7(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up7(→))|.))2．幾類特殊向量特殊向量定義表示法零向量長度為eq\a\vs4\al(0)的向量0單位向量模為eq\a\vs4\al(1)的向量|a|＝1或|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝1相反向量與a長度相等而方向相反的向量稱為a的相反向量－a相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))空間向量的運算加法eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b加法運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)eq\a\vs4\al([小試身手])1．推斷以下命題是否正確．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)向量eq\o(AB,\s\up7(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up7(→))的長度相等()(2)假設(shè)表示兩個相等空間向量的有向線段的起點相同，那么終點也相同()(3)零向量沒有方向()(4)空間兩個向量的加減法運算與平面內(nèi)兩向量的加減法運算完全全都()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．化簡eq\o(PM,\s\up7(→))－eq\o(PN,\s\up7(→))＋eq\o(MN,\s\up7(→))所得的結(jié)果是()A．eq\o(PM,\s\up7(→)) B．eq\o(NP,\s\up7(→))C．0 D．eq\o(MN,\s\up7(→))答案：C3．在四邊形ABCD中，假設(shè)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，那么四邊形ABCD的外形肯定是()A．平行四邊形 B．菱形C．矩形 D．正方形答案：A4．在平行六面體ABCD-A′B′C′D′的頂點表示的向量中，模與向量eq\o(A′B′,\s\up7(→))的模相等的向量有________個．答案：7

空間向量的概念辨析[典例]以下說法中正確的選項是()A．假設(shè)|a|＝|b|，那么a，b的長度相同，方向相同或相反B．假設(shè)向量a是向量b的相反向量，那么|a|＝|b|C．空間向量的減法滿意結(jié)合律D．在四邊形ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))[解析]|a|＝|b|，說明a與b模相等，但方向不確定；對于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B正確；只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律；一般的四邊形不具有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，只有在平行四邊形中才能成立．應(yīng)選B.[答案]B空間向量有關(guān)概念問題的解題策略(1)兩個向量的模相等，那么它們的長度相等，但方向不確定，即兩個向量(非零向量)的模相等是兩個向量相等的必要不充分條件．(2)嫻熟把握空間向量的有關(guān)概念、向量的加減法的運算法那么及向量加法的運算律是解決好這類問題的關(guān)鍵．[活學(xué)活用]以下關(guān)于空間向量的命題中，正確命題的個數(shù)是()①長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量；②平行且模相等的兩個向量是相等向量；③假設(shè)a≠b，那么|a|≠|(zhì)b|；④兩個向量相等，那么它們的起點與終點相同．A．0 B．1C．2 D．3解析：選B依據(jù)向量的定義，知長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量，①正確；平行且模相等的兩個向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正確；當(dāng)a＝－b時，也有|a|＝|b|，③不正確；只要模相等、方向相同，兩個向量就是相等向量，與向量的起點與終點無關(guān)，④不正確．綜上可知只有①正確，應(yīng)選B.空間向量的加法、減法運算[典例]在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化簡eq\o(A1F1,\s\up7(→))－eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．[解]在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四邊形AA1F1F是平行四邊形，所以eq\o(A1F1,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→)).同理eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))，eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(DD1,\s\up7(→))，eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(D1F1,\s\up7(→))，所以eq\o(A1F1,\s\up7(→))－eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FE,\s\up7(→))＋eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＋eq\o(D1F1,\s\up7(→))＝eq\o(AF1,\s\up7(→))，如圖．[一題多變]1．[變設(shè)問]假設(shè)本例條件不變，化簡eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(B1D1,\s\up7(→))，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．解：依據(jù)六棱柱的性質(zhì)知四邊形BB1C1C，DD1E1E都是平行四邊形，所以eq\o(BB1,\s\up7(→))＝eq\o(CC1,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(D1E1,\s\up7(→))，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＋eq\o(B1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(D1E1,\s\up7(→))＋eq\o(B1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1E1,\s\up7(→))＝eq\o(AE1,\s\up7(→)).2．[變條件、變設(shè)問]假設(shè)本例中的六棱柱是底面為正六邊形的棱柱，化簡eq\o(AF1,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．解：由于六邊形ABCDEF是正六邊形，所以BC∥EF，BC＝EF，又由于E1F1∥EF，E1F1＝EF，所以BC∥E1F1，BC＝E1F1，所以BCE1F1是平行四邊形，所以eq\o(AF1,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BF1,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BE1,\s\up7(→)).空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法那么是解決空間向量加、減法的關(guān)鍵，敏捷運用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法那么和平行四邊形法那么進行向量加、減法運算時，務(wù)必留意和向量、差向量的方向，必要時可采納空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果．[留意](1)向量減法是加法的逆運算，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量．(2)首尾相連的假設(shè)干向量構(gòu)成封閉圖形時，它們的和向量為零向量．層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1．設(shè)A，B，C是空間任意三點，以下結(jié)論錯誤的選項是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))＝0C．eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→)) D．eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(BA,\s\up7(→))答案：B2．空間四邊形ABCD中，M，G分別是BC，CD的中點，那么eq\o(MG,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(DB,\s\up7(→)) B．3eq\o(MG,\s\up7(→))C．3eq\o(GM,\s\up7(→)) D．2eq\o(MG,\s\up7(→))解析：選Beq\o(MG,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(MG,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(MG,\s\up7(→))＋2eq\o(MG,\s\up7(→))＝3eq\o(MG,\s\up7(→)).3．設(shè)有四邊形ABCD，O為空間任意一點，且eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(DO,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))，那么四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．空間四邊形C．等腰梯形 D．矩形解析：選A∵eq\o(AO,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(DO,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→)).∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(DC,\s\up7(→))且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|.∴四邊形ABCD為平行四邊形．4．空間四邊形ABCD中，假設(shè)E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA邊上的中點，那么以下各式中成立的是()A．eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))＋eq\o(GH,\s\up7(→))＝0B．eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))＋eq\o(GE,\s\up7(→))＝0C．eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(FG,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))＋eq\o(GH,\s\up7(→))＝0D．eq\o(EF,\s\up7(→))－eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(CG,\s\up7(→))＋eq\o(GH,\s\up7(→))＝0解析：選B由于E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的中點，所以四邊形EFGH為平行四邊形，其中eq\o(EH,\s\up7(→))＝eq\o(FG,\s\up7(→))，且eq\o(FC,\s\up7(→))＝eq\o(BF,\s\up7(→))，而E，B，F(xiàn)，G四點構(gòu)成一個封閉圖形，首尾相接的向量的和為零向量，即有eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))＋eq\o(GE,\s\up7(→))＝0.5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以下各式中運算的結(jié)果為eq\o(AC1,\s\up7(→))的有()①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))；②eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))；③eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(C1C,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))；④eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→)).A．①④ B．①②③C．①②④ D．①②③④解析：選D依據(jù)空間向量的加法運算法那么及正方體的性質(zhì)，逐一進行推斷：①eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；②eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AD1,\s\up7(→))＋eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；③eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(C1C,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))；④eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AB1,\s\up7(→))＋eq\o(B1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→)).所以，所給四個式子的運算結(jié)果都是eq\o(AC1,\s\up7(→)).6.如下圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(A′C′,\s\up7(→))是________向量，eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(B′A′,\s\up7(→))是________向量．(用相等、相反填空)解析：由相等向量與相反向量的定義知：eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(A′C′,\s\up7(→))是相等向量，eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(B′A′,\s\up7(→))是相反向量．答案：相等相反7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，假設(shè)eq\o(CA,\s\up7(→))＝a，eq\o(CB,\s\up7(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up7(→))＝c，那么eq\o(A1B,\s\up7(→))＝________.解析：如圖，eq\o(A1B,\s\up7(→))＝eq\o(B1B,\s\up7(→))－eq\o(B1A1,\s\up7(→))＝eq\o(B1B,\s\up7(→))－eq\o(BA,\s\up7(→))＝－eq\o(CC1,\s\up7(→))－(eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)))＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.答案：－c－a＋b8．給出以下四個命題：①方向相反的兩個向量是相反向量；②假設(shè)a，b滿意|a|>|b|且a，b同向，那么a>b；③不相等的兩個空間向量的模必不相等；④對于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正確命題的序號為________．解析：對于①，長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故①錯；對于②，向量是不能比擬大小的，故不正確；對于③，不相等的兩個空間向量的模也可以相等，故③錯；只有④正確．答案：④9.如下圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以該長方體的八個頂點中的兩點為起點和終點的全部向量中，(1)單位向量共有多少個？(2)試寫出模為eq\r(5)的全部向量；(3)試寫出與eq\o(AB,\s\up7(→))相等的全部向量；(4)試寫出eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量．解：(1)由于AA1＝1，所以eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(A1A,\s\up7(→))，eq\o(BB1,\s\up7(→))，eq\o(B1B,\s\up7(→))，eq\o(CC1,\s\up7(→))，eq\o(C1C,\s\up7(→))，eq\o(DD1,\s\up7(→))，eq\o(D1D,\s\up7(→))這8個向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共8個．(2)由于這個長方體的左、右兩側(cè)的對角線長均為eq\r(5)，所以模為eq\r(5)的向量為eq\o(AD1,\s\up7(→))，eq\o(D1A,\s\up7(→))，eq\o(A1D,\s\up7(→))，eq\o(DA1,\s\up7(→))，eq\o(BC1,\s\up7(→))，eq\o(C1B,\s\up7(→))，eq\o(B1C,\s\up7(→))，eq\o(CB1,\s\up7(→))(3)與向量eq\o(AB,\s\up7(→))相等的全部向量(除它自身之外)為eq\o(A1B1,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))，eq\o(D1C1,\s\up7(→)).(4)向量eq\o(AA1,\s\up7(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up7(→))，eq\o(B1B,\s\up7(→))，eq\o(C1C,\s\up7(→))，eq\o(D1D,\s\up7(→)).10．正方體ABCD-A1B1C1D1中，化簡以下向量表達式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(C1C,\s\up7(→))；(2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(C1C,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))(如圖)．(2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋(eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→)))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))(如圖)．層級二應(yīng)試力量達標(biāo)1．以下命題中，正確的個數(shù)為()①假設(shè)a＝b，b＝c，那么a＝c；②|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分條件；③eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))的充要條件是A與C重合，B與D重合．A．0 B．1C．2 D．3解析：選C①正確，∵a＝b，∴a，b的模相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的模相等且方向相同，∴a＝c.②正確，a＝b?|a|＝|b|，|a|＝|b|?/a＝b.③不正確，由eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，知|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\o(|CD|,\s\up7(→))，且eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))同向．應(yīng)選C.2．空間中任意四個點A，B，C，D，那么eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))等于()A．eq\o(DB,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\o(BA,\s\up7(→))解析：選D法一：eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝(eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→)))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→)).法二：eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(DA,\s\up7(→))＋(eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)))＝eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→)).3．假如向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))滿意|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|，那么()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)) B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))同向 D．eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(CB,\s\up7(→))同向解析：選D∵|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|＋|eq\o(BC,\s\up7(→))|，∴A，B，C共線且點C在AB之間，即eq\o(AC,\s\up7(→))與eq\o(CB,\s\up7(→))同向．4．正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，那么以下結(jié)論中正確的有()①eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))與eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→))是一對相反向量；②eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))與eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OD1,\s\up7(→))是一對相反向量；③eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))與eq\o(OA1,\s\up7(→))＋eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→))＋eq\o(OD1,\s\up7(→))是一對相反向量；④eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))與eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC1,\s\up7(→))是一對相反向量．A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選C∵O為正方體的中心，∴eq\o(OA,\s\up7(→))＝－eq\o(OC1,\s\up7(→))，eq\o(OD,\s\up7(→))＝－eq\o(OB1,\s\up7(→))，故eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝－(eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→)))，同理可得eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up7(→))＋eq\o(OD1,\s\up7(→)))，故eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up7(→))＋eq\o(OB1,\s\up7(→))＋eq\o(OC1,\s\up7(→))＋eq\o(OD1,\s\up7(→)))，∴①③正確；∵eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OD1,\s\up7(→))＝eq\o(D1A1,\s\up7(→))，∴eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))與eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OD1,\s\up7(→))是兩個相等的向量，∴②不正確；∵eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC1,\s\up7(→))＝eq\o(C1C,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))，∴eq\o(OA1,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝－(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OC1,\s\up7(→)))，∴④正確．5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，假設(shè)eq\o(CA,\s\up7(→))＝a，eq\o(CB,\s\up7(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up7(→))＝c，E是A1B的中點，那么eq\o(CE,\s\up7(→))＝________.(用a，b，c表示)解析：eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA1,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．答案：eq\f(1,2)(a＋b＋c)6．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，假設(shè)eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(D1M,\s\up7(→))，那么eq\o(D1M,\s\up7(→))＝________.解析：eq\o(D1M,\s\up7(→))＝eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(DM,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→)))＝c＋eq\f(1,2)(－eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c.答案：eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c7.如下圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up7(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up7(→))；(3)eq\o(MP,\s\up7(→)).解：(1)∵P是C1D1的中點，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1P,\s\up7(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中點，∴eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AP,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.8.如下圖，空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡以下式子，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果．(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(DC,\s\up7(→))；(2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(DG,\s\up7(→))－eq\o(CE,\s\up7(→)).解：(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))－eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，如圖中向量eq\o(AD,\s\up7(→)).(2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(DG,\s\up7(→))－eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(GD,\s\up7(→))＋eq\o(EC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＋eq\o(EC,\s\up7(→))＝eq\o(AG,\s\up7(→))＋eq\o(GF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))，如圖中向量eq\o(AF,\s\up7(→)).3．1.2空間向量的數(shù)乘運算預(yù)習(xí)課本P86～89，思索并完成以下問題1．實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa的方向如何確定？2．空間向量的數(shù)乘運算滿意哪些運算律？3．共線向量(平行向量)、方向向量及共面對量的定義分別是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])1．空間向量的數(shù)乘運算定義與平面對量一樣，實數(shù)λ與空間向量a的乘積eq\a\vs4\al(λa)仍舊是一個向量，稱為向量的數(shù)乘幾何意義λ>0λa與向量a的方向相同λa的長度是a的長度的|λ|倍λ<0λa與向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的運算律安排律λ(a＋b)＝λa＋λb結(jié)合律λ(μa)＝(λμ)a[點睛]對空間向量數(shù)乘運算的理解(1)λa是一個向量．(2)λa＝0?λ＝0或a＝0.(3)由于a，b可以平移到同一平面內(nèi)，所以λa，μb，a＋b，λa＋μb都在這個平面內(nèi)，因而平面對量的數(shù)乘運算律適用于空間向量．2．共線、共面對量共線(平行)向量共面對量定義表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個平面的向量叫做共面對量充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb假設(shè)兩個向量a，b不共線，那么向量p與a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb推論假如l為經(jīng)過點A平行于非零向量a的直線，那么對于空間任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋ta，①其中a叫做直線l的方向向量，如下圖．假設(shè)在l上取eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，那么①式可化為eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))如圖，空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，或?qū)臻g任意一點O來說，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))[點睛]對共線、共面對量的理解(1)共線向量、共面對量不具有傳遞性．(2)共線向量定理及其推論是證明共線(平行)問題的重要依據(jù)．定理中的條件b≠0不行遺漏．(3)直線的方向向量是指與直線平行或共線的向量．一條直線的方向向量有無限多個，它們的方向相同或相反．(4)空間任意兩個向量總是共面的，空間任意三個向量可能共面，也可能不共面．(5)向量p與a，b共面的充要條件是在a與b不共線的前提下才成立的，假設(shè)a與b共線，那么不成立．eq\a\vs4\al([小試身手])1．推斷以下命題是否正確．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)向量eq\o(AB,\s\up7(→))與向量eq\o(CD,\s\up7(→))是共線向量，那么點A，B，C，D必在同一條直線上()(2)空間兩向量共線是指表示它們的有向線段在同一條直線上()(3)假設(shè)向量a，b，c共面，那么表示這三個向量的有向線段所在的直線共面()答案：(1)×(2)×(3)×2．化簡：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.答案：3a－2b3．點C在線段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(BC,\s\up7(→))，那么λ＝________.答案：－eq\f(5,3)4．A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，假設(shè)由eq\o(OM,\s\up7(→))＝－2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋λeq\o(OC,\s\up7(→))確定的點M與A，B，C共面，那么λ＝________.答案：2空間向量的線性運算[典例]正四棱錐P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中點，求以下各式中x，y，z的值．(1)eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))＋yeq\o(PC,\s\up7(→))＋zeq\o(PA,\s\up7(→))；(2)eq\o(PA,\s\up7(→))＝xeq\o(PO,\s\up7(→))＋yeq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→)).[解](1)如圖，∵eq\o(OQ,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(PO,\s\up7(→))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→)))＝eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up7(→))，∴y＝z＝－eq\f(1,2).(2)∵O為AC的中點，Q為CD的中點，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(PC,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))，eq\o(PC,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))＝2eq\o(PQ,\s\up7(→))，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))－eq\o(PC,\s\up7(→))，eq\o(PC,\s\up7(→))＝2eq\o(PQ,\s\up7(→))－eq\o(PD,\s\up7(→))，∴eq\o(PA,\s\up7(→))＝2eq\o(PO,\s\up7(→))－2eq\o(PQ,\s\up7(→))＋eq\o(PD,\s\up7(→))，∴x＝2，y＝－2.解決空間向量線性運算問題的方法進行向量的線性運算，實質(zhì)上是在正確運用數(shù)乘運算律的根底上進行向量求和，即通過作出向量，運用平行四邊形法那么或三角形法那么求和．運算的關(guān)鍵是將相應(yīng)的向量放到同一個三角形或平行四邊形中．[活學(xué)活用]如下圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中點，化簡以下各式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量：(1)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BA1,\s\up7(→))；(2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))；(3)eq\o(AA1,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→)).解：(1)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BA1,\s\up7(→))＝eq\o(CA1,\s\up7(→)).(2)由于M是BB1的中點，所以eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up7(→)).又eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(BB1,\s\up7(→))，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BM,\s\up7(→))＝eq\o(AM,\s\up7(→)).(3)eq\o(AA1,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(CA1,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(BA1,\s\up7(→)).向量eq\o(CA1,\s\up7(→))，eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(BA1,\s\up7(→))如下圖.空間向量共線問題[典例]如下圖，四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，推斷eq\o(CE,\s\up7(→))與eq\o(MN,\s\up7(→))是否共線．[解]由于M，N分別是AC，BF的中點，且四邊形ABCD，四邊形ABEF都是平行四邊形，所以eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\o(FN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→)).又由于eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＋eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))－eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up7(→))，以上兩式相加得eq\o(CE,\s\up7(→))＝2eq\o(MN,\s\up7(→))，所以eq\o(CE,\s\up7(→))∥eq\o(MN,\s\up7(→))，即eq\o(CE,\s\up7(→))與eq\o(MN,\s\up7(→))共線．證明空間三點共線的三種思路對于空間三點P，A，B可通過證明以下結(jié)論來證明三點共線．(1)存在實數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))成立．(2)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))(t∈R)．(3)對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．[活學(xué)活用]如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為A1C上一點，且eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，BD與AC交于點M.求證：C1，O，M三點共線．證明：連接AO，AC1，A1C1.∵eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))，∴eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1O,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1C,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→)).∵eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))＋eq\o(C1A1,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AC1,\s\up7(→))－2eq\o(AM,\s\up7(→))，∴eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AC1,\s\up7(→))－2eq\o(AM,\s\up7(→)))＋eq\f(4,3)eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC1,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up7(→)).∵eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，∴C1，O，M三點共線.空間向量共面問題[典例]A，B，C三點不共線，平面ABC外一點M滿意eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→)).(1)推斷eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))三個向量是否共面；(2)推斷M是否在平面ABC內(nèi)．[解](1)∵eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝3eq\o(OM,\s\up7(→))，∴eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OM,\s\up7(→))＝(eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))＋(eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→)))，∴eq\o(MA,\s\up7(→))＝eq\o(BM,\s\up7(→))＋eq\o(CM,\s\up7(→))＝－eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))，∴向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))共面，而它們有共同的起點M，且A，B，C三點不共線，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC內(nèi)．解決向量共面的策略(1)假設(shè)點P在平面ABC內(nèi)，那么有eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．(2)證明三個向量共面(或四點共面)，需利用共面對量定理，證明過程中要敏捷進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個向量來表示．[活學(xué)活用]E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)BD∥平面EFGH.證明：如圖，連接EG，BG.(1)由于eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→)))＝eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(BF,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))＝eq\o(EF,\s\up7(→))＋eq\o(EH,\s\up7(→))，由向量共面的充要條件知：E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)由于eq\o(EH,\s\up7(→))＝eq\o(AH,\s\up7(→))－eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up7(→))，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1．設(shè)a，b是不共線的兩個向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，那么()A．λ＝μ＝0 B．a(chǎn)＝b＝0C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝0解析：選A由于a，b不共線，所以a，b均為非零向量，又由于λa＋μb＝0，所以λ＝μ＝0.2．點M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點O，有eq\o(OM,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up7(→))，那么x的值為()A．1 B．0C．3 D.eq\f(1,3)解析：選D∵eq\o(OM,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OC,\s\up7(→))，且M，A，B，C四點共面，∴x＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝1，x＝eq\f(1,3).3．假設(shè)空間中任意四點O，A，B，P滿意eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))，其中m＋n＝1，那么()A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對解析：選A由于m＋n＝1，所以m＝1－n，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝(1－n)eq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))，即eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝n(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，即eq\o(AP,\s\up7(→))＝neq\o(AB,\s\up7(→))，所以eq\o(AP,\s\up7(→))與eq\o(AB,\s\up7(→))共線．又eq\o(AP,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))有公共起點A，所以P，A，B三點在同始終線上，即P∈AB.4．在以下條件中，使M與A，B，C肯定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝3eq\o(OA,\s\up7(→))－2eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))B．eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0C．eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0D．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))解析：選C∵eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up7(→))＝－eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))，∴M與A，B，C必共面．5．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是A1C1的中點，點F是AE的三等分點，且AF＝eq\f(1,2)EF，那么eq\o(AF,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))解析：選D如下圖，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→))，eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))，eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))，eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(A1D1,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))，所以eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up7(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up7(→))，應(yīng)選D.6．化簡：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝________.解析：原式＝eq\f(1,2)a＋b－eq\f(3,2)c＋eq\f(10,3)a－eq\f(5,2)b＋eq\f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(10,3)－3))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)＋6))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(10,3)－3))c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c7．在△ABC中，D是AB邊上一點，假設(shè)eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(DB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋λeq\o(CB,\s\up7(→))，那么λ＝________.解析：eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\f(1,3)(eq\o(CB,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))，又eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋λeq\o(CB,\s\up7(→))，所以λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．有以下命題：①假設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))，那么A，B，C，D四點共線；②假設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，那么A，B，C三點共線；③假設(shè)e1，e2為不共線的非零向量，a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝－e1＋eq\f(1,10)e2，那么a∥b；④假設(shè)向量e1，e2，e3是三個不共面的向量，且滿意等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，那么k1＝k2＝k3＝0.其中是真命題的序號是________(把全部真命題的序號都填上)．解析：依據(jù)共線向量的定義，假設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))，那么AB∥CD或A，B，C，D四點共線，故①錯；由于eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))且eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))有公共點A，所以②正確；由于a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e1＋eq\f(1,10)e2))＝－4b，所以a∥b.故③正確；易知④也正確．答案：②③④ABCD中，G為△BCD的重心，E，F(xiàn)分別為邊CD和AD的中點，試化簡eq\o(AG,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．解：∵G是△BCD的重心，BE是CD邊上的中線，∴eq\o(GE,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up7(→)).又eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up7(→))－eq\o(DA,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))＝eq\o(DE,\s\up7(→))－eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(FE,\s\up7(→))，∴eq\o(AG,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AG,\s\up7(→))＋eq\o(GE,\s\up7(→))－eq\o(FE,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))(如下圖)．10．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點，點N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求證：eq\o(A1N,\s\up7(→))與eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))共面．證明：∵eq\o(A1B,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))＝eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1M,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(AN,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))－eq\o(AA1,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(eq\o(AD,\s\up7(→))－\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1M,\s\up7(→))，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))與eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(A1M,\s\up7(→))共面．層級二應(yīng)試力量達標(biāo)1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以下各式中運算的結(jié)果為向量eq\o(BD1,\s\up7(→))的是()①(eq\o(A1D1,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→)))－eq\o(AB,\s\up7(→))；②(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))－eq\o(D1C1,\s\up7(→))；③(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))－2eq\o(DD1,\s\up7(→))；④(eq\o(B1D1,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→)))＋eq\o(DD1,\s\up7(→)).A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：選A(eq\o(A1D1,\s\up7(→))－eq\o(A1A,\s\up7(→)))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AD1,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BD1,\s\up7(→))，(eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(BB1,\s\up7(→)))－eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝eq\o(BC1,\s\up7(→))＋eq\o(C1D1,\s\up7(→))＝eq\o(BD1,\s\up7(→)).應(yīng)選A.2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up7(→))，假設(shè)eq\o(AE,\s\up7(→))＝xeq\o(AA1,\s\up7(→))＋y(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，那么()A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3) D．x＝1，y＝eq\f(1,4)解析：選D由于eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))，所以x＝1，y＝eq\f(1,4).3．給出以下命題：①假設(shè)A，B，C，D是空間任意四點，那么有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件；③假設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))共線，那么AB∥CD；④對空間任意一點O與不共線的三點A，B，C，假設(shè)eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(其中x，y，z∈R)，那么P，A，B，C四點共面．其中不正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C明顯①正確；假設(shè)a，b共線，那么|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②錯誤；假設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))共線，那么直線AB，CD可能重合，故③錯誤；只有當(dāng)x＋y＋