2023屆高考前迅速提分復(fù)習(xí)專題2-3數(shù)形結(jié)合思想中的八種題型 （導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列、不等式、立體與解析幾何、統(tǒng)計概率） （解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海地區(qū)專用））題型一：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、填空題1．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的表達式為，如果且，則abc的取值范圍為__________．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出函數(shù)的大致圖象，令，可得的范圍，則的三個根為，從而可得，右邊去括號即可得解.【詳解】，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，則函數(shù)的極大值為，極小值為，作出函數(shù)的大致圖象，若且，令，則，即的三個根為，即，又，所以.故答案為：.2．（2022春·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）已知在區(qū)間上．在下面所示的圖象中，可能表示函數(shù)的圖象的有___________(填寫所有可能的選項）．【答案】（1）【分析】根據(jù)題意切線的斜率始終大于1，對比選項得到答案.【詳解】在上，切線的斜率始終大于1，僅（1）滿足．故答案為：（1）3．（2022春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學(xué)?？计谀┤鐖D，水缸為圓錐形，圓錐底面直徑為2.5米，高為5米，水被以立方米/小時的速度注入水缸中，當(dāng)水缸中的水深為2米時，此時水面上升的瞬時速度（變化率）為_________（單位：米/小時）.【答案】4【分析】根據(jù)半徑與高度關(guān)系得到，則根據(jù)體積公式得到，，對求導(dǎo)代入時間即可.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，水深的高度為，水注入的時間為，則有，則，，則，化簡得，則，當(dāng)時，代入，則，，故答案為：4.4．（2022秋·上海虹口·高三上外附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得，則的最小值為__________.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式畫出函數(shù)的簡圖，設(shè)，根據(jù)圖像確定的取值范圍，將化成只含有一個變量的二次函數(shù)，由定區(qū)間內(nèi)二次函數(shù)的性質(zhì)，從而確定的最小值.【詳解】當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，取得極小值為.當(dāng)時，為增函數(shù)，且，函數(shù)的圖像如圖：設(shè)，由題可知，由得，則，則，，所以當(dāng)時，取得最小值為.故答案為：.【點睛】本題重點是根據(jù)函數(shù)解析式做出函數(shù)圖像，然后根據(jù)換元的思想，把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，然后就可以輕松求解.題型二：三角函數(shù)與解三角形一、單選題1．（2023春·上海金山·高一上海市金山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法正確是（

）A．角60和角600是終邊相同的角B．第三象限角的集合為C．終邊在軸上角的集合為D．第二象限角大于第一象限角【答案】C【分析】根據(jù)終終邊相同角的表示，可以判斷A錯誤，C正確；根據(jù)象限角的表示可以判斷B錯誤；舉特例可以判斷D錯誤.【詳解】，與終邊不相，故A錯誤；第三象限角的集合為，故B錯誤；終邊在軸上角的集合為，即，即，故C正確；是第二象限角，第一象限角，，故D錯誤；故選：C.2．（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題首先根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式，化簡得出，再根據(jù)平移的左正右負的原則得到的解析式，最后得到的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，，，，，，，將函數(shù)向左平移單位的解析式是，令,，結(jié)合所給的選項，令，則的一個增區(qū)間為，故選：B.二、填空題3．（2023春·上海金山·高一上海市金山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是邊長為2的等邊三角形.如圖，將的頂點與原點重合，在軸上，然后將三角形沿著順時針滾刓，每當(dāng)頂點再次回落到軸上時，將相鄰兩個之間的距離稱為“一個周期”，給出以下四個結(jié)論：①一個周期是6；②完成一個周期，頂點的軌跡是一個半圓；③完成一個周期，頂點的軌跡長度是；④完成一個周期，頂點的軌跡與軸圍成的面積是；其中說法正確的是__________.【答案】①③【分析】根據(jù)題目分析出圖像的運動情況，畫出簡圖，可以得到一個周期為6，可以判斷①正確：根據(jù)運動情況完成一個周期，頂點的軌跡是兩段曲線，不是半圓，可以判斷②錯誤；利用弧長公式可以判斷③正確；利用面積公式可以判斷④錯誤.【詳解】如下圖：沿著軸順時針滾動完成一個周期的過程如下：第一步，繞點順時針旋轉(zhuǎn)至線段落到軸上位置，得到，此時頂點的軌跡是以為圓心，為半徑的一段圓弧，即頂點由原點沿運動至位置；第二步，繞點順時針旋轉(zhuǎn)至線段落在軸上位置，得到，此時頂點的軌跡是以為圓心，為半行的一段圓弧，即頂點由沿運動至位置，落到軸，完成一個周期.對于①，，所以一個周期，故①正確：對于②，完成一個周期，頂點的軌跡是和組成的曲線，不是半圓，故②錯誤；對于③，由已知，的?長，的弧長，完成一個周期，頂點的軌跡長度為，故③正確；如圖④，完成一個周期，頂點的軌跡與軟圍成的圖形為扇形，扇形與的面積和，，，等邊邊長為，完成個周期，頂點的軌跡與軸圍成的面積是：，故④錯誤.故答案為：①③.4．（2023春·上海金山·高一上海市金山中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是第二象限角，則終邊在第__________象限.【答案】一或三【分析】根據(jù)象限角的范圍即可求出結(jié)果.【詳解】由題意知，則，當(dāng)時，，此時終邊在第一象限，當(dāng)時，，此時終邊在第三象限.所以終邊在第一和三象限.故答案為：一或三.5．（2021秋·上海楊浦·高二復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）將函數(shù)的圖像繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，得到曲線．若對于每一個旋轉(zhuǎn)角，曲線都是一個函數(shù)的圖像，則的最大值為__（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．【答案】【分析】作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，確定當(dāng)此圓弧繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角大于時，曲線將不是一個函數(shù)的圖像，由此求得答案.【詳解】先畫出函數(shù)的圖像,如圖：，函數(shù)圖像是一個圓弧，圓心為，與軸分別交于，設(shè)此時過原點和圓弧相切的直線為l,由圖可知當(dāng)此圓弧繞坐標(biāo)原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角大于時，此時l將逆時針旋轉(zhuǎn)越過y軸，y軸將與旋轉(zhuǎn)后的圓弧有兩交點，此時曲線將不是一個函數(shù)的圖像，故的最大值為，因為，故,故答案為：6．（2022春·上海浦東新·高一上海市川沙中學(xué)?？计谥校┒x在區(qū)間上的函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)為____.【答案】16【分析】畫出時的圖像，根據(jù)圖像結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到答案.【詳解】由于，故為偶函數(shù)，因為也為偶函數(shù)，故考慮的情況，畫出圖像，如圖所示：共有個交點，且時，沒有交點，故共有16個交點.故答案為：167．（2022春·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）終邊在直線上的角的集合是_______．（用弧度制表示）【答案】【分析】把直線分成兩條射線，來考慮終邊落到這兩條射線上的角的集合，然后取兩部分的并集.【詳解】當(dāng)角的終邊落到上，則①當(dāng)角的終邊落到上，則②①與②的并集得：故答案為：8．（2022春·上海閔行·高一?？计谀⑦呴L為20的正三角形，按“斜二測”畫法在水平放置的平面上畫出為，則_______．【答案】【分析】先在直角坐標(biāo)系中得出各邊的數(shù)值，再按“斜二測”畫法作圖，得出相關(guān)關(guān)系，再利用余弦定理，求出邊【詳解】解：由題意在平面直角坐標(biāo)系中，三角形是邊長為20的正三角形∴，邊上的高為，按“斜二測”畫法如下圖所示：∴,，在三角形中，，由余弦定理得，故答案為：.題型三：平面向量1．（2020·上海市大同中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，正方形的邊長為6，點、分別在邊、上，且，，如果對于常數(shù)，在正方形的四條邊上，有且只有6個不同的點使得成立，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題畫出圖形,設(shè)的中點為,則，可解得，討論點P在每一條邊上時，的取值范圍，進而求解即可得選項.【詳解】如圖所示，設(shè)的中點為，則，兩式平方相減得，所以，即,所以，①當(dāng)點P在DC上時，當(dāng)P在DC的中點處時，，此時，當(dāng)P在DC的中點兩側(cè)(非端點A、D)時，，此時，②當(dāng)點P在AB上時，當(dāng)P在AB的中點處時，，此時，當(dāng)P在AB的中點兩側(cè)(非端點A、B)時，，此時，③當(dāng)點P在AD上時，當(dāng)P在點E處時，，此時，當(dāng)，此時，點P有2個滿足的點；當(dāng)，此時，點P有1個滿足的點；④當(dāng)點P在BC上時，當(dāng)P在點F處時，，此時，當(dāng)，此時，點P有2個滿足的點；當(dāng)，此時，點P有1個滿足的點；⑤當(dāng)P在點A處時，，此時，當(dāng)P在點B處時，，此時，當(dāng)P在點C處時，，此時，當(dāng)P在點D處時，，此時，綜上得：當(dāng)時，有1個滿足條件的點P；當(dāng)時，有2個滿足條件的點P；當(dāng)時，有4個滿足條件的點P；當(dāng)時，有6個滿足條件的點P；當(dāng)時，有4個滿足條件的點P；當(dāng)時，有2個滿足條件的點P；當(dāng)時，有3個滿足條件的點P；當(dāng)時，有4個滿足條件的點P；當(dāng)時，有2個滿足條件的點P；故選:C.【點睛】本題考查數(shù)量積的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.2．（2021·上海市延安中學(xué)高三期中）如圖，為外接圓上一個動點，若，則的最大值為__________.【答案】【解析】先求出外接圓半徑,設(shè)，其中是在上的投影，再利用數(shù)形結(jié)合分析得解.【詳解】由余弦定理得，由正弦定理得外接圓半徑，所以，其中是在上的投影，過點作交圓于點，如圖所示，則，所以的最大值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是由題得，其中是在上的投影，再利用數(shù)形結(jié)合分析得解.3．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知，，若，則的最大值為________【答案】9【解析】由數(shù)量積公式證明，取，借助圖形進行分析，即可得出答案.【詳解】如下圖所示設(shè)，則則的最大值即為的最大值當(dāng)三點共線時，如下圖所示，此時取最大值故答案為：【點睛】本題主要考查了求向量模長的取值范圍，涉及了數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.4．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，若存在，使得與夾角為，且，則的最小值為___________.【答案】【分析】設(shè)，可得共線，又，當(dāng)為最小時最小，而此時、關(guān)于y軸對稱，結(jié)合已知即可求的最小值.【詳解】由題意，，∴令，，故有共線，∵，故當(dāng)且僅當(dāng)為最小時，最小，∴有、關(guān)于y軸對稱時，最小，此時到AB的距離為，∴，即.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用向量的線性關(guān)系及共線性質(zhì)，可知，、、的終點共線，且可分析得、關(guān)于y軸對稱時，最小，進而求最小值即可.題型四：數(shù)列1．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C． D．【答案】D【分析】化簡已知遞推關(guān)系式可得到，由此分別判斷選項，可知錯誤；設(shè)，則，；采用數(shù)形結(jié)合的方式知越來越小，錯誤；假設(shè)成立，通過化簡不等式可知不等式恒成立，知正確.【詳解】，，，又，，，對于，若，則，，，，錯誤；對于，若，則，，即，，錯誤；對于，設(shè)，則，考慮函數(shù)與的圖象，如下圖所示：當(dāng)時，單調(diào)遞減，且越來越小，，，錯誤；對于，設(shè)，則，，若，則，等價于，即，即，而顯然成立，，正確.故選：.【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式研究數(shù)列的性質(zhì)的問題，關(guān)鍵是能夠通過遞推關(guān)系式得到數(shù)列前后項所滿足的關(guān)系，同時借用函數(shù)的思想將數(shù)列前后項的大小關(guān)系變化利用函數(shù)圖象來進行表現(xiàn)，屬于難題.2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，，.已知，是雙曲線：的左右焦點，，若對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)題意，求得，類比寫出，，兩式作差，整理得出，得到，進而求得，點可化為落在雙曲線的漸近線上，結(jié)合雙曲線的定義以及漸近線的性質(zhì)，得到結(jié)果.【詳解】，，∵，∴，，，作差得，，∴，，，，，，，，設(shè)線段與雙曲線交于點，，得坐標(biāo)可化為，落在雙曲線：的漸近線上，當(dāng)時，可近似看成第一象限雙曲線上的點，，∴.故答案為：.【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列與雙曲線的綜合題，涉及到的知識點有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項以及前項和，雙曲線的性質(zhì)，極限思想，屬于較難題目.3．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖所示，設(shè)正三角形邊長為是的中點三角形，為除去后剩下三個三角形內(nèi)切圓面積之和，求．【答案】【分析】由題意和圖形，表示，并求得，說明數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，并求首項，最后代入公式求極限.【詳解】解由于邊長為的正三角形的內(nèi)切圓半徑為．于是，，又因為，所以數(shù)列是一個公比為的無窮等比數(shù)列，故．【點睛】本題考查無窮等比數(shù)列的前項和，重點考查數(shù)形結(jié)合分析問題，抽象概括能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是讀懂題意，并結(jié)合圖形分析出每個內(nèi)切圓和對應(yīng)三角形邊長的關(guān)系.題型五：不等式1．（2022·上海市控江中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)變量，滿足約束條件，則的取值范圍為______【答案】【分析】作出可行域，根據(jù)簡單線性規(guī)劃求最值即可得解.【詳解】作可行域如圖，聯(lián)立解得，聯(lián)立解得，由可得，由圖形及為上的截距可知，當(dāng)過A時，，當(dāng)過B時，，所以，故答案為：2．（2022·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）已知平面上兩個點集，，若，則實數(shù)的取值集合是___________．【答案】【分析】結(jié)合點到直線距離公式可知表示到直線與的距離之和大于的所有點的集合，又兩平行線間距離為，可得可行域；是以為中心，為邊長的正方形及其內(nèi)部的點集，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定的取值.【詳解】由得：，則表示到直線與的距離之和大于的所有點的集合；直線與之間的距離，則集合，則其表示區(qū)域如陰影部分所示（不包含與上的點）；集合是以為中心，為邊長的正方形及其內(nèi)部的點集，若，則位置關(guān)系需如圖所示，由圖形可知：當(dāng)且僅當(dāng)時，，實數(shù)的取值集合為.【點睛】思路點睛：本題考查集合與不等式的綜合應(yīng)用問題，解題基本思路是能夠確定集合所表示的點構(gòu)成的區(qū)域圖形，進而采用數(shù)形結(jié)合的方式來進行分析求解.題型六:空間向量與立體幾何1．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，，則與的位置關(guān)系是__________.【答案】平行或異面或相交或重合【分析】利用長方體，結(jié)合題設(shè)條件在不同的頂點標(biāo)上，即可判斷與的位置關(guān)系.【詳解】由題設(shè)可得如下四種情況：∴與的位置關(guān)系是平行、異面、相交、重合都有可能.故答案為：平行或異面或相交或重合題型七：解析幾何1．（2022·上海·高三開學(xué)考試）已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過右焦點的直線交該雙曲線的右支于，兩點（點位于第一象限），的內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，且滿足，則直線的斜率___________.【答案】【分析】設(shè)，，，利用雙曲線的定義可得，作出圖形，結(jié)合圖形分析，可知與直線的傾斜角相等，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，求出，即可得到直線的斜率【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓為圓，與三邊的切點分別為，如圖所示，設(shè)，，，設(shè)的內(nèi)切圓為圓，由雙曲線的定義可得，得，由引可知，在中，軸于點，同理可得軸于點，所以軸，過圓心作的垂線，垂足為，因為，所以與直線的傾斜角相等，因為，不妨設(shè),則,在中，，所以所以直線的斜率為，故答案為：【點睛】此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，直線的斜率與傾斜角的關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將直線的傾斜角轉(zhuǎn)化為進行求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計算能力，屬于中檔題2．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】【分析】化簡集合,其表示兩平行線線上及其中間部分的點(如陰影部分所示),集合表示以為圓心,為半徑的圓及其圓內(nèi)的點,而,即表示該圓與陰影部分有交點,因此,即可利用直線與圓的位置關(guān)系來解決此題.【詳解】集合,,集合,所以其表示兩平行線線上及其中間部分的點,如下圖陰影部分所示,,其中,由,解得或,在此條件下,其表示以為圓心,為半徑的圓及其圓內(nèi)的點,其圓心在直線上,依題意,即表示該圓與陰影部分相切或者相交,①當(dāng)時,圓應(yīng)與直線有交點,即解得:;②時,圓與陰影部分恒有交點,滿足題意;③時,圓應(yīng)與直線有交點,即解得:;綜上所述:實數(shù)的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,結(jié)合了集合,不等式等相關(guān)知識,有一定難度.解題關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為幾何問題.3．（2020·上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）存在實數(shù)使得，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】首先利用三角函數(shù)化簡已知，轉(zhuǎn)化為，利用兩點間距離公式構(gòu)造幾何意義，求距離差的最大值，再根據(jù)存在問題求的取值范圍.【詳解】，設(shè)，，，則，如圖，，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線且點在之間時等號成立，又，故的最大值為，因為存在實數(shù)使得所以即故答案為：【點睛】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題，重點考查構(gòu)造函數(shù)的幾何意義求最值，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是構(gòu)造兩點間距離公式，轉(zhuǎn)化幾何意義求最值.4．（2019·上?！とA師大二附中高三期中）已知A、B為橢圓（）和雙曲線的公共頂點，P、Q分別為