演示文稿單純矩陣的譜分解

演示文稿單純矩陣的譜分解當(dāng)前第1頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)（優(yōu)選）單純矩陣的譜分解當(dāng)前第2頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)

矩陣的分解第四章當(dāng)前第3頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)

§4.4單純矩陣的譜分解定理1:

設(shè)是一個階可對角化的矩陣，相異特征值為，則使得:此式稱為A的譜分解稱為A的譜族且滿足:當(dāng)前第4頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)分析:設(shè)是的代數(shù)重復(fù)度則:當(dāng)前第5頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)證明(1)

因?yàn)樗?證明(2)當(dāng)前第6頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)(3)由得同理可得證明:而:,所以:證明:證明:(5)

假設(shè)A有譜分解和當(dāng)前第7頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)則由(3)知:由于,所以:同理可得:因?yàn)橐驗(yàn)樗?唯一性得證當(dāng)前第8頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)

可對角化矩陣的譜分解步驟：（1）首先求出矩陣的全部互異特征值及每個特征值所決定的線性無關(guān)特征向量（3）令:（2）寫出（4）最后寫出當(dāng)前第9頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)例1：已知矩陣為一個可對角化矩陣，求其譜分解表達(dá)式。解:

首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計(jì)算從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關(guān)的特征向量:當(dāng)前第10頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)于是當(dāng)前第11頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)取令那么其譜分解表達(dá)式為當(dāng)前第12頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)正規(guī)陣的譜分解:設(shè)為正規(guī)矩陣，那么存在使得:

其中是矩陣的特征值所對應(yīng)的單位特征向量。我們稱上式為正規(guī)矩陣的譜分解表達(dá)式。當(dāng)前第13頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)

設(shè)正規(guī)矩陣有個互異的特征值，特征值的代數(shù)重?cái)?shù)為，所對應(yīng)的個兩兩正交的單位特征向量為,則的譜分解表達(dá)式又可以寫成其中，并且顯然有:當(dāng)前第14頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)（6）滿足上述性質(zhì)的矩陣是唯一的。我們稱為正交投影矩陣。即對于正規(guī)陣,滿足如下6條:推論1

設(shè)是一個階可對角化的矩陣，譜分解為:,若:則有當(dāng)前第15頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。容易計(jì)算例2：求正規(guī)矩陣的譜分解表達(dá)式。從而的特征值為當(dāng)前第16頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)當(dāng)時，求得三個線性無關(guān)的特征向量為

當(dāng)時，求得一個線性無關(guān)的特征向量為將正交化與單位化可得當(dāng)前第17頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)將單位化可得：當(dāng)前第18頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)于是有當(dāng)前第19頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)這樣可得其譜分解表達(dá)式為當(dāng)前第20頁\共有24頁\編于星期四\8點(diǎn)解：首先求出矩陣的特征值與特征向量。求正規(guī)矩陣的譜分解表達(dá)式。練習(xí)從而的特征值為

可以求出分別屬于這三個特征值的三個線性無關(guān)的特征向量:當(dāng)前第21頁\共有24頁\編于星期四