矩陣論矩陣的分解演示文稿

矩陣論矩陣的分解演示文稿當(dāng)前第1頁\共有14頁\編于星期五\10點優(yōu)選矩陣論矩陣的分解當(dāng)前第2頁\共有14頁\編于星期五\10點矩陣分解的概述矩陣的分解：A=A1+A2+…+Ak矩陣的和A=A1A2

…Am矩陣的乘積矩陣分解的原則與意義：實際應(yīng)用的需要理論上的需要計算上的需要顯示原矩陣的某些特性矩陣化簡的方法與矩陣技術(shù)主要技巧：各種標(biāo)準(zhǔn)形的理論和計算方法矩陣的分塊當(dāng)前第3頁\共有14頁\編于星期五\10點§3.1常見的矩陣標(biāo)準(zhǔn)形與分解常見的標(biāo)準(zhǔn)形等價標(biāo)準(zhǔn)形相似標(biāo)準(zhǔn)形合同標(biāo)準(zhǔn)形本節(jié)分解：三角分解滿秩分解可對角化矩陣的譜分解AT=A相似標(biāo)準(zhǔn)形等價標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)前第4頁\共有14頁\編于星期五\10點一、矩陣的三角分解（triangulardecomposition)方陣的LU和LDV分解（P.61）

LU分解：AFnn，有下三角形矩陣L，上三角形矩陣U

，使得A=LU。LDV分解：AFnn，L、V分別是主對角線元素為1的下三角形和上三角形矩陣，D為對角矩陣，使得A=LDV。已知的方法：Gauss-消元法例題1（P.61eg1）設(shè)

求A的LU和LDV分解。結(jié)論：如果矩陣A能用兩行互換以外的初等行變換化為階梯形，則A有LU分解。當(dāng)前第5頁\共有14頁\編于星期五\10點三角分解的存在性和惟一性定理3.1

（P.62）

：矩陣的k階主子式：取矩陣的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2，…，n。定理:AFnn有惟一LDV分解的充要條件是A的順序主子式Ak非零，k=1，2，…，n-1。

討論（1）LDV分解的存在LU分解存在（2）矩陣可逆與順序主子式非零的關(guān)系定理3.2（P.64）設(shè)矩陣AFnn

，rank（A）=k（n），如果A的k階順序主子式大于0，則

A有LU分解。討論：LDV分解與LU分解的關(guān)系例題2

（P.65

eg2）

LU分解的應(yīng)用舉例：求解線性方程組AX=b當(dāng)前第6頁\共有14頁\編于星期五\10點二、矩陣的滿秩分解定義3.2

（P.66

）對秩為r的矩陣AFmn，如果存在秩為r的矩陣BFmr，CFrn，則A=BC為A的滿秩分解。例題2（P.69，eg5）列滿秩行滿秩定理3.2：任何非零矩陣AFmn都有滿秩分解。滿秩分解的求法：方法1：方法2例題1（P.68，eg4）方法3例題3（P.70，eg6）?方法建立的思想?方法實現(xiàn)的途徑當(dāng)前第7頁\共有14頁\編于星期五\10點三、可對角化矩陣的譜分解將方陣分解成用譜加權(quán)的矩陣和譜：設(shè)AFnn，則A的譜={1，2，，s}。，P具性質(zhì)：1.可對角矩陣的譜分解分解分析：分解結(jié)果：冪等矩陣意義：可對角化矩陣可以分解成以譜加權(quán)的冪等矩陣的加權(quán)和當(dāng)前第8頁\共有14頁\編于星期五\10點2、矩陣可以對角化的一個充要條件

定理3.5（P.73

）矩陣A可以相似對角化當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A有譜分解，滿足條件：充分性的證明：在A有譜分解時Cn=V1V2

Vn當(dāng)前第9頁\共有14頁\編于星期五\10點3.冪等矩陣的性質(zhì)

定理3.4（P.72）PFnn，P2=P，則矩陣PH和矩陣（I–P）仍然是冪等矩陣。P的譜{0，1}，P可相似于對角形。

Fn=N（P）R（P）N（P）=V=0，R（P）=V=1

P和（I–P）的關(guān)系N（I–P）=R（P），R（I–P）=N（P）Hermite矩陣的譜分解定理3.6（P.73）設(shè)A是秩為k的半正定的Hermite

矩陣，則A可以分解為下列半正定矩陣的和。A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH當(dāng)前第10頁\共有14頁\編于星期五\10點§3.2Schur分解和正規(guī)矩陣

已知：歐氏空間中的對稱矩陣A可以正交相似于對角形。討論：一般方陣A，在什么條件下可以酉相似于對角矩陣？在內(nèi)積空間中討論問題，涉及：空間Cn、Cnn，酉矩陣U，UHU=I，U–1=UH酉相似：UHAU=JU–1AU=J相似關(guān)系重點：理論結(jié)果列向量是空間Cn中的標(biāo)準(zhǔn)正交基當(dāng)前第11頁\共有14頁\編于星期五\10點一、Schur分解1、可逆矩陣的UR分解

定理3.7（P.74）ACnn為可逆矩陣，則存在酉矩陣U和主對角線上元素皆正的上三角矩陣R，使得A=UR。（稱A=UR為矩陣A的酉分解）證明：源于Schmidt正交化方法（P.18）例題1求矩陣A的UR分解，其中定理3.8（P.76）：設(shè)矩陣ACmn是列滿秩的矩陣，則矩陣A可以分解為A=QR，其中QCmn的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組，RCnn是主對角線上元素為正數(shù)的上三角形矩陣。QR分解當(dāng)前第12頁\共有14頁\編于星期五\10點2、Schur分解定理3.7（P.74

）對矩陣ACnn，存在酉矩陣U和上三角矩陣T，使得

UHAU=T=證明要點：A=PJAP–1，P=URA=PJAP–1=U（RJR–1）UH

=UTUH。當(dāng)前第13頁\共有14頁\編于星期五\10點二、正規(guī)矩陣（NormalMatrices）1、定義3.3（P.77

）A是正規(guī)矩陣AHA=AAH。常見的正規(guī)矩陣：對角矩陣對稱和反對稱矩陣：AT=A，AT=–A。Hermite矩陣和反Hermite矩陣：AH=A，AH=–A正交矩陣和酉矩陣：AT