高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題Word版含解析

廣東省珠海市實(shí)驗(yàn)中學(xué)-東莞六中-河源高中三校2021屆高考聯(lián)盟下學(xué)期第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題第一卷〔選擇題，共60分〕一、選擇題〔共有12小題，每題5分，共60分，四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的.〕,集合,那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由全集及，求出補(bǔ)集，找出集合的補(bǔ)集與集合的交集即可.詳解：，集合，，又，應(yīng)選B.點(diǎn)睛：研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，此題實(shí)質(zhì)是求滿足屬于集合或不屬于集合的元素的集合.為虛數(shù)單位，那么的值為〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡(jiǎn)的等式，再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件，解方程組求得x的值．【詳解】∵∴，∴，即應(yīng)選A【點(diǎn)睛】此題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法法那么的應(yīng)用，以及兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件，根本知識(shí)的考查．與共線,那么實(shí)數(shù)〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圖像，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法那么，可直接用表示出，進(jìn)而可得出.【詳解】由題中所給圖像可得：，又，所以.應(yīng)選D【點(diǎn)睛】此題主要考查向量的線性運(yùn)算，熟記向量的線性運(yùn)算法那么，即可得出結(jié)果，屬于根底題型.4.“紋樣〞是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶，“火紋〞是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測(cè)算某火紋紋樣〔如圖陰影局部所示〕的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為5的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn)，己知恰有80個(gè)點(diǎn)落在陰影局部，據(jù)此可估計(jì)陰影局部的面積是〔〕A. B. C.10 D.【答案】C【解析】【分析】由條件可知，計(jì)算結(jié)果.【詳解】設(shè)圖中陰影局部的面積為，正方形的面積為25，那么，解得：應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】此題考查幾何概型，屬于簡(jiǎn)單題型.的定義域是，且滿足，當(dāng)時(shí)，，那么圖象大致是〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除B,C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，可知，排除D選項(xiàng)，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，且滿足，所以是奇函數(shù)，故函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，排除選項(xiàng)B,C，又當(dāng)時(shí)，，可知，故排除選項(xiàng)D,應(yīng)選：A【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象，屬于中檔題.6.“干支紀(jì)年法〞是中國(guó)歷法上自古以來使用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、玉、癸被稱為“十天干〞，子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支〞.“天干〞以“甲〞字開始，“地支〞以“子〞字開始，兩者按干支順序相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配順序?yàn)椋杭鬃?、乙丑、丙寅?癸酉，甲戌、乙亥、子、.癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，共得到60個(gè)組合，周而復(fù)始，循環(huán)記錄.2021年是“干支紀(jì)年法〞中的庚寅年，那么2021年是“干支紀(jì)年法〞中的〔〕A.己亥年 B.戊戌年 C.庚子年 D.辛丑年【答案】A【解析】【分析】根據(jù)“干支紀(jì)年法〞依次寫出2021-2021年的“干支紀(jì)年〞，得到結(jié)果.【詳解】2021年是辛卯年，2021年是玉辰年，2021年是癸已年，2021年是甲午年，2021年是乙未年，2021年是丙申年，2021年是丁酉年，2021年是戊戌年，2021年是己亥年.應(yīng)選：A【點(diǎn)睛】此題考查新定義，重點(diǎn)考查讀懂題意，列舉法，屬于根底題型.，那么，，，的大小關(guān)系為〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所?.綜上；應(yīng)選D.8.一幾何體的三視圖如下圖，正視圖和側(cè)視圖是兩個(gè)直角邊分別為2和1的全等三角形，那么這個(gè)四面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為〔〕A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三視圖畫出如圖的幾何體，再求最長(zhǎng)的棱長(zhǎng).【詳解】由三視圖可知，此幾何體是三棱錐，如圖，畫出四面體，由三視圖可知，，長(zhǎng)方體的側(cè)棱長(zhǎng)為1，最長(zhǎng)的棱是，應(yīng)選：B【點(diǎn)睛】此題考查由三視圖復(fù)原幾何體，重點(diǎn)考查空間想象能力，屬于中檔題型，一般由三視圖復(fù)原幾何體，根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等〞的原那么復(fù)原，也可將幾何體放在正方體或長(zhǎng)方體中，找點(diǎn)作圖.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為-40，那么a的值為〔〕A.2 B.-2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】由題意可知的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是-40，利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求的系數(shù)求的值.【詳解】由題意可知的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是-40，，當(dāng)時(shí)，，那么，解得：.應(yīng)選：C【點(diǎn)睛】此題考查二項(xiàng)式定理指定項(xiàng)系數(shù)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于根底題型.在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上存在唯一的使得，那么的取值不可能為〔〕A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上存在唯一的最大值，建立關(guān)于的不等式組，求解的范圍，比擬選項(xiàng).【詳解】由題意可知，解得：四個(gè)選項(xiàng)只有B不成立.應(yīng)選：B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)考查最值，屬于中檔題型，此題的關(guān)鍵是考查端點(diǎn)值和最大值的比擬.的右焦點(diǎn)F的直線交兩漸近線于E、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑為，且，那么雙曲線的離心率為〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因?yàn)閮?nèi)切圓的圓心是三角形角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，畫出如圖的圖象，再結(jié)合焦點(diǎn)到漸近線的距離為，和數(shù)形結(jié)合分析出，再求離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，那么在的角平分線上，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，由，得四邊形是正方形，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為，那么，又，，，，，應(yīng)選：D【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的幾何性質(zhì)和三角形內(nèi)心的幾何性質(zhì)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于中檔題型，此題的關(guān)鍵是利用雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于，再根據(jù)勾股定理確定，再根據(jù)內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)確定幾何關(guān)系.12.如圖，在正方體中,平面垂直于對(duì)角線AC,且平面截得正方體的六個(gè)外表得到截面六邊形,記此截面六邊形的面積為,周長(zhǎng)為,那么〔〕A.為定值,不為定值 B.不為定值,為定值C.與均為定值 D.與均不為定值【答案】B【解析】【分析】將正方體切去兩個(gè)正三棱錐和，得到一個(gè)幾何體，是以平行平面和為上下底，每個(gè)側(cè)面都是直角等腰三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，，可求得六邊形的周長(zhǎng)為與無關(guān)，即周長(zhǎng)為定值；當(dāng)都在對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，是正六邊形，計(jì)算可得面積，當(dāng)無限趨近于時(shí)，的面積無限趨近于，從而可知的面積一定會(huì)發(fā)生變化．【詳解】設(shè)平面截得正方體的六個(gè)外表得到截面六邊形為，與正方體的棱的交點(diǎn)分別為〔如下列圖〕，將正方體切去兩個(gè)正三棱錐和，得到一個(gè)幾何體，是以平行平面和為上下底，每個(gè)側(cè)面都是直角等腰三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，，那么，，故，同理可證明，故六邊形的周長(zhǎng)為，即周長(zhǎng)為定值；當(dāng)都在對(duì)應(yīng)棱中點(diǎn)時(shí)，是正六邊形，計(jì)算可得面積，三角形的面積為，當(dāng)無限趨近于時(shí)，的面積無限趨近于，故的面積一定會(huì)發(fā)生變化，不為定值．故答案為B.【點(diǎn)睛】此題考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查了截面的周長(zhǎng)及外表積，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于難題．第二卷〔非選擇題，共90分〕二、填空題〔共20分.本大題共4小題，每題5分〕，那么的最小值是____【答案】-8【解析】【分析】首先畫出可行域，然后平移直線，判斷目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】如圖，畫出可行域，令，作出初始目標(biāo)函數(shù)：，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)直線的橫截距最小時(shí)，取得最小值，由圖象可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，，解得，即,即故答案為：-8【點(diǎn)睛】此題考查線性規(guī)劃，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于根底題型.14.為響應(yīng)中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)?關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見?，高二〔1〕班5名學(xué)生自發(fā)到3個(gè)農(nóng)場(chǎng)參加勞動(dòng)，確保每個(gè)農(nóng)場(chǎng)至少有一人，那么不同的分配方案有___種〔用數(shù)字填寫答案〕【答案】150【解析】【分析】根據(jù)條件分配方案先分成兩類，一種是2，2,1，一種是1,1,3的分組分配，再按照組合排列求解.【詳解】由題意可知，有兩類分配方法，其中一種是3個(gè)農(nóng)場(chǎng)有2個(gè)農(nóng)場(chǎng)有2人，1個(gè)農(nóng)場(chǎng)有1人，共有種方法,另外一種是3個(gè)農(nóng)場(chǎng)有2個(gè)農(nóng)場(chǎng)有1人，另外一個(gè)農(nóng)場(chǎng)有3人，共有種方法，所以一共有90+60=150種方法.故答案為：150【點(diǎn)睛】此題考查排列，組合，重點(diǎn)考查分組，分配，屬于根底題型.分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，E為橢圓上任一點(diǎn)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么的最大值為_____【答案】【解析】【分析】首先利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化，利用，結(jié)合數(shù)形結(jié)合分析距離和的最大值.【詳解】，如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值是,即的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查橢圓內(nèi)距離的最大值，橢圓的定義，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于根底題型，此題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化，從而利用三點(diǎn)共線求最大值.的前n項(xiàng)和為滿足：，，那么____【答案】【解析】【分析】首先求首項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，再通過構(gòu)造可得數(shù)列是等比數(shù)列，從而求得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)列求，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題型，此題的關(guān)鍵是證明數(shù)列是等比數(shù)列.三、解答題〔共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答〕〔一〕必考題：共60分.17.如圖，點(diǎn)A在的外接圓上，且，A為銳角，，.〔1〕求；〔2〕求四邊形的面積.【答案】〔1〕10；〔2〕18【解析】【分析】〔1〕中，利用余弦定理求；〔2〕由〔1〕易求的面積，根據(jù)四點(diǎn)共圓，可知，中利用正弦定理求，再來利用兩角和的正弦公式求，最后求面積.【詳解】解：〔1〕∵，A為銳角，∴，在中由余弦定理得：，得或〔舍去〕，∴〔2〕由〔1〕可知∵四點(diǎn)共圓，∴，∴，，在中由正弦定理得：，即，得∴∴四邊形面積【點(diǎn)睛】此題考查利用正余弦定理解三角形，重點(diǎn)考查推理計(jì)算能力，屬于根底題型，此題的關(guān)鍵條件是四邊形假設(shè)有外接圓，那么對(duì)角互補(bǔ).，，在平行四邊形中，，Q為上的點(diǎn)，過的平面分別交，于點(diǎn)E、F，且平面.〔1〕證明：；〔2〕假設(shè)，，Q為的中點(diǎn)，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用線面平行的性質(zhì)可知，再后再根據(jù)條件證明平面，從而證明線線垂直；〔2〕如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面法向量求二面角的余弦值.【詳解】〔1〕證明：連結(jié)交于點(diǎn)O，連結(jié).∵在平行四邊形中，，∴，且O為、的中點(diǎn)，∵，∴，∵，且平面，∴平面，∵平面，∴，∵平面，且平面平面∴，∴〔2〕由〔1〕可知平面，故平面平面∵，且O為的中點(diǎn)，∴又∵平面平面∴平面，∴與平面所成角為∵與平面所成角的正弦值為，且，∴，在中，，由勾股定理得：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么：，∵Q為的中點(diǎn)，∴那么，易知，平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋敲矗?，即，令，那么：，，故可取平面的一個(gè)法向量為∴∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】此題考查證明線線垂直，空間坐標(biāo)法求二面角，重點(diǎn)考查推理證明，計(jì)算能力，屬于中檔題型.的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).〔1〕假設(shè)直線l過點(diǎn)F且，求直線l的方程；〔2〕點(diǎn)，假設(shè)直線l不與坐標(biāo)軸垂直，且，證明：直線l過定點(diǎn).【答案】〔1〕或；〔2〕證明見解析【解析】【分析】〔1〕法一：分斜率存在和斜率不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)直線方程為與聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求解；法二：設(shè)直線方程為，方程聯(lián)立后利用弦長(zhǎng)公式求解；〔2〕設(shè)直線方程為與聯(lián)立，由得，利用根與系數(shù)關(guān)系，得到直線過定點(diǎn).【詳解】解：〔1〕法一：焦點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為，與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，此時(shí)，不符合題意，故直線的斜率存在.設(shè)直線方程為與聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，方程只有一根，不符合題意，故.，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義得，解得，所以方程為或法二：焦點(diǎn)，顯然直線不平行于x軸，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得，設(shè)，，由，解得，所以方程為或〔2〕設(shè)，，設(shè)直線方程為與聯(lián)立得，由得，即整理得，即整理得即，即故直線方程為過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】此題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合問題，涉及弦長(zhǎng)，斜率求法，屬于中檔題型，題中設(shè)而不求的根本方法也使得求解過程變得簡(jiǎn)單，在解決圓錐曲線與動(dòng)直線問題中，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式都是解題的根本工具.M，為評(píng)估流水線M的性能，連續(xù)兩天從流水線M生產(chǎn)零件上隨機(jī)各抽取100件零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：記抽取的零件直徑為X.第一天直徑/mm5859616263646566676869707173合計(jì)件數(shù)11356193318442121100第二天直徑/mm5860616263646566676869707173合計(jì)件數(shù)11245213421332111100經(jīng)計(jì)算，第一天樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差第二天樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差〔1〕現(xiàn)以兩天抽取的零件來評(píng)判流水線M的性能.〔i〕計(jì)算這兩天抽取200件樣本的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差〔精確到0.01〕；〔ii〕現(xiàn)以頻率值作為概率的估計(jì)值，根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判〔P表示相應(yīng)事件的概率〕，①；②；③評(píng)判規(guī)那么為：假設(shè)同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，那么設(shè)備等級(jí)為優(yōu)；僅滿足其中兩個(gè)，那么等級(jí)為良；假設(shè)僅滿足其中一個(gè)，那么等級(jí)為合格；假設(shè)全部不滿足，那么等級(jí)為不合格，試判斷流水線M的性能等級(jí).〔2〕將直徑X在范圍內(nèi)的零件認(rèn)定為一等品，在范圍以外的零件認(rèn)定為次品，其余認(rèn)定為合格品.現(xiàn)從200件樣本除一等品外的零件中抽取2個(gè)，設(shè)為抽到次品的件數(shù)，求分布列及其期望.附注：參考數(shù)據(jù)：，，；參考公式：標(biāo)準(zhǔn)差.【答案】〔1〕〔i〕，；〔ii〕合格；〔2〕分布列見解析，【解析】【分析】〔1〕〔ⅰ〕因?yàn)閮商?00個(gè)零件的平均值都是65，所以200個(gè)零件的平均值也是65，按照公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差；〔ⅱ〕分別計(jì)算的概率，然后比擬等級(jí)；〔2〕由〔ⅱ〕可知200件零件中合格品7個(gè)，次品4個(gè)，的可能取值為0，1，2，利用超幾何分布計(jì)算概率，并求分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】〔1〕〔i〕依題意：200個(gè)零件的直徑平均值為由標(biāo)準(zhǔn)差公式得：第一天：，第二天：，那么故〔注：如果寫出不給分〕〔ii〕由〔1〕可知：，，僅滿足一個(gè)不等式，判斷流水線M的等級(jí)為合格.〔2〕可知200件零件中合格品7個(gè)，次品4個(gè)，的可能取值為0，1，2，那么，，，的分布列012P那么【點(diǎn)睛】此題考查樣本期望，方差的計(jì)算，原那么的應(yīng)用，以及超幾何分布列的計(jì)算，重點(diǎn)考查數(shù)據(jù)的分析和應(yīng)用，屬于中檔題型，此題的關(guān)鍵是讀懂題意.，，.〔1〕求的單調(diào)區(qū)間；〔2〕假設(shè)有最大值且最大值是，求證：.【答案】〔1〕見解析；〔2〕見解析【解析】【分析】〔1〕對(duì)求導(dǎo)，得，對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性即可得出單調(diào)性；〔2〕利用〔1〕中結(jié)論及最大值是，可得，對(duì)進(jìn)行整理，可得，由時(shí)，可知，證明即可，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，再構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)可得，所以，問題得解.【詳解】〔1〕由函數(shù)，得1)當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；2)當(dāng)時(shí)，由，可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)故上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.〔2〕證明：由〔1〕知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一最大值，即，解得.時(shí)，所以證明即可，令可知，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極大值即最大值，且設(shè)，那么所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，故，所以所以，即問題得解.【點(diǎn)睛】此題是導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性及利用導(dǎo)數(shù)求最值證明不等式，考查了分類討論思想和放縮法，屬于難題.〔二〕選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果