2022-2023學年北京市海淀區(qū)高二下學期期中練習數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年北京市海淀區(qū)高二下學期期中練習數(shù)學試題一、單選題1．數(shù)列的一個通項公式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列分子分母的規(guī)律求得通項公式.【詳解】由于數(shù)列的分母是奇數(shù)列，分子是自然數(shù)列，故通項公式為.故選：B2．若函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)導數(shù)的運算法則及簡單的復合函數(shù)的導數(shù)計算規(guī)則計算可得.【詳解】因為，所以.故選：A3．二項式的展開式中含項的系數(shù)是A．21 B．35 C．84 D．280【答案】C【詳解】的系數(shù)為：，故選C．4．函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求導數(shù)，令求解不等式可得答案.【詳解】由題可知，由，解得.所以單調遞減區(qū)間為.故選：A.5．汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖，在時間段，，上的平均速度分別為，，，則三者的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結合圖象，利用平均變化率的定義求解.【詳解】因為，，，由圖象知，所以．故選：A6．定義在區(qū)間上的函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間單調遞增 B．函數(shù)在區(qū)間單調遞減C．函數(shù)在處取得極小值 D．函數(shù)在處取得極小值【答案】D【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象可知，的單調性，進而可得的極值，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)導函數(shù)圖象可知，在區(qū)間，上，，單調遞減，在上，，單調遞增，所以在處取得極小值，沒有極大值，故正確，錯誤，故選：．7．已知曲線在點處的切線方程為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】通過求導數(shù)，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．【點睛】本題關鍵得到含有a，b的等式，利用導數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關系．8．設是首項為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為則“”是“對任意的正整數(shù)”的A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】試題分析：由題意得，，故是必要不充分條件，故選C.【解析】充要關系【名師點睛】充分、必要條件的三種判斷方法：①定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件．②等價法：利用p?q與非q?非p，q?p與非p?非q，p?q與非q?非p的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法．③集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．9．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像，結合圖像可知直線介于與軸之間，利用導數(shù)求出直線的斜率，數(shù)形結合即可求解.【詳解】由題意可作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像.

由圖像可知：函數(shù)的圖像是過原點的直線，當直線介于與軸之間符合題意，直線為曲線的切線，且此時函數(shù)在第二象限的部分的解析式為，求其導數(shù)可得，因為，故，故直線的斜率為，故只需直線的斜率.故選：D【點睛】本題考查了不等式恒成立求出參數(shù)取值范圍，考查了數(shù)形結合的思想，屬于中檔題.10．幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A．440 B．330C．220 D．110【答案】A【詳解】由題意得，數(shù)列如下：則該數(shù)列的前項和為，要使，有，此時，所以是第組等比數(shù)列的部分和，設，所以，則，此時，所以對應滿足條件的最小整數(shù)，故選A.點睛:本題非常巧妙地將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項和求和.另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進行判斷.二、填空題11．用紅、黃、藍三種顏色對如圖所示的三個方格進行涂色．若要求每個小方格涂一種顏色，且涂成紅色的方格數(shù)為偶數(shù)，則不同的涂色方案種數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】14【分析】根據(jù)給定條件，求出涂成紅色的方格數(shù)為偶數(shù)的涂色方法數(shù)即可計算作答.【詳解】當不涂紅色時，有種，當紅色方格數(shù)為2時，有種，所以共有：.故答案為：.12．若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，則_______.【答案】【分析】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題中條件求出、的值，進而求出和的值，由此可得出的值.【詳解】設等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和，則，求得，，那么，故答案為.【解析】等差數(shù)列和等比數(shù)列【點睛】等差、等比數(shù)列各有五個基本量，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運算問題轉化為解關于基本量的方程（組）問題，因此可以說數(shù)列中的絕大部分運算題可看作方程應用題，所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.13．已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項和等于.【答案】【詳解】由題意，，解得或者，而數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，即，所以，因而數(shù)列的前項和，故答案為.【解析】1.等比數(shù)列的性質；2.等比數(shù)列的前項和公式.14．已知函數(shù)的定義域為，，對任意，則的解集為____________．【答案】.【分析】構造，根據(jù)題意得到在為單調遞增函數(shù)，又由，得到，進而得到時，，即可求解.【詳解】設，可得，因為對任意，所以，所以在為單調遞增函數(shù)，又由，可得，所以當時，，即不等式的解集為.故答案為：.三、多選題15．設函數(shù)，則下列選項正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．的圖象關于點對稱C．的最小值為D．若有兩個不等實根，則，且【答案】BD【分析】A由奇偶性定義判斷正誤，B判斷是否成立即可，C應用特殊值法有，即可判斷正誤，D由題設方程有兩個不等實根，令轉化為當時，在上有兩個零點；當時，在上有兩個零點，應用導數(shù)研究單調性并確定極值，根據(jù)極值的符號求參數(shù)范圍.【詳解】A：，錯誤；B：，即的圖象關于點對稱，正確；C：當時，，錯誤；D：由題意有，整理得有兩個不同實根，顯然，令，∴當時，在上與有兩個交點，即有兩個零點，若得，則上，單調遞減；上，單調遞增；又，，故僅需在上有兩個零點，則；當時，在上與有兩個交點，即有兩個零點，若得，則上，單調遞增；上，單調遞減；又，，故僅需在上有兩個零點，則；綜上，有兩個不等實根，則，且，正確.故選：BD【點睛】關鍵點點睛：D選項，將問題轉化為：當時，在上有兩個零點；當時，在上有兩個零點，進而應用導數(shù)研究單調性，根據(jù)條件成立時極值的符號求參數(shù)范圍.四、解答題16．已知等差數(shù)列滿足，．(1)①求公差；②求數(shù)列的通項公式；③設數(shù)列的前項和為，求使得最小的的值；(2)若數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．①求數(shù)列的通項公式；②求數(shù)列的前項和．【答案】(1)①；②；③，當時，取最小值(2)①；②【分析】（1）①根據(jù)直接求解；②根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求得的表達式；③根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可求得，利用二次函數(shù)的基本性質可求得當取最小值時的值；（2）①求出數(shù)列的通項公式，結合數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；②利用分組求和法可求得.【詳解】（1）解：①因為，，則；②；③，由二次函數(shù)的基本性質可知，當時，取最小值.（2）解：①因為數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，所以，；②.17．已知函數(shù)．(1)當時，求的單調性和極值；(2)討論的單調性；(3)若，求在區(qū)間的最小值．【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為，，(2)答案見解析(3)【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再解關于導函數(shù)的不等式，即可得到函數(shù)的單調區(qū)間與極值；（2）求導函數(shù)，分，，討論可得結果；（3）結合（2）的結論，分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的最小值.【詳解】（1）當時定義域為，且，所以當或時，當時，所以的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為，所以在處取得極大值，在處取得極小值，即，.（2）函數(shù)定義域為，則，令，解得或，①當時，則當或時，，當時，，所以的單調增區(qū)間為，，單調減區(qū)間為；②當時，恒成立，所以在上單調遞增；③當時，當或時，，當時，，所以的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為．綜上可得當時的單調增區(qū)間為，，單調減區(qū)間為；當時在上單調遞增；當時的單調遞增區(qū)間為，，單調遞減區(qū)間為．（3）因為，由（2）可得的單調增區(qū)間為，，單調減區(qū)間為，若，即時在上單調遞減，所以在上的最小值為；若，即時，在單調遞減，在單調遞增，所以在的最小值為，所以.18．已知函數(shù)與函數(shù)．(1)若，的圖像在點處有公共的切線，求實數(shù)a的值；(2)設．①求函數(shù)的極值；②試判斷函數(shù)零點的個數(shù)．【答案】(1)(2)①答案見解析；②答案見解析.【分析】（1）因為的圖像在點處有公共的切線，，因此則在該點處的導數(shù)值相等，得到參數(shù)a的值．（2）①設，分別對參數(shù)a進行分類討論：i.時，在上單調遞增，無極值；ii.時，用列表法求出函數(shù)的極小值.②根據(jù)單調性結合極值正負分類討論函數(shù)零點個數(shù).【詳解】（1）因為，，所以，.所以點同時在函數(shù)的圖像上，因為，所以，，由已知，得，所以，即.（2）①因為，所以.i.當時，因為，且所以對恒成立，所以在上單調遞增，無極值；ii.當時，令，解得（舍）.列表得：x-0+減函數(shù)極小值增函數(shù)所以當時，取得極小值，且.綜上，當時，函數(shù)在上無極值；當時，函數(shù)在處取得極小值.②當時，在上單調遞增，函數(shù)零點的個數(shù)為1；當時，在上單調遞,在上單調遞增,函數(shù)在處取得極小值.設單調遞增,單調遞減,又,當時，趨近于0時趨近于正無窮大，函數(shù)零點的個數(shù)為2;當時，趨近于正無窮大時趨近于正無窮大，函數(shù)零點的個數(shù)為2;當時，在上單調遞,在上單調遞增,函數(shù)在處取得極小值,函數(shù)零點的個數(shù)為1;當或時，函數(shù)零點的個數(shù)1;當或時,函數(shù)零點的個數(shù)2;19．已知，．(1)求曲線在點處的切線；(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求的取值范圍；(3)設，在（2）的條件下，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)單調遞減，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義得曲線在點處的切線方程為，再結合題意得，進而得答案；（2）由題知在區(qū)間上有變號零點，進而分和兩種情況討論求解即可；（3）由題知，進而判斷的單調性并進而結合得函數(shù)在上恒成立，進而判斷單調性.【詳解】（1）因為，所以，，則，所以函數(shù)在出的切線方程為，即.（2）由（1）得，因為函數(shù)在區(qū)間上存在極值，所以在區(qū)間上有變號零點，當時，在區(qū)間上單調遞增，，故不符合題意；當時，在區(qū)間上單調遞減，且當趨近于時，趨近于，故要使在區(qū)間上有變號零點，則，即，綜上，，即的取值范圍是.（3）函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，理由如下：，，，所以，令，則在恒成立，所以函數(shù)在上單調遞減，由于，所以函數(shù)在上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上的單調遞減.20．已知二次函數(shù)同時滿足：①不等式的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在，使得不等式成立．設數(shù)列的前項和．(1)求的表達式．(2)求數(shù)列的通項公式．(3)設，，的前項和為，若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3).【分