高二數(shù)學(xué)北師大版選修23講義第1部分第一章2第二課時(shí)排列的應(yīng)用

其次課時(shí)排列的應(yīng)用無限制條件的排列問題[例1]由數(shù)字1,2,3,4可組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？[思路點(diǎn)撥]可分別求出一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)的個(gè)數(shù)，再求和．[精解詳析]第一類：組成一位數(shù)有Aeq\o\al(1,4)＝4個(gè)；其次類：組成二位數(shù)有Aeq\o\al(2,4)＝12個(gè)；第三類：組成三位數(shù)有Aeq\o\al(3,4)＝24個(gè)；第四類：組成四位數(shù)有Aeq\o\al(4,4)＝24個(gè)．依據(jù)加法原理，一共可以組成4＋12＋24＋24＝64個(gè)正整數(shù)．[一點(diǎn)通]對(duì)于無限制條件的排列問題，可直接依據(jù)排列的定義及排列數(shù)公式列式求解．假設(shè)解決問題時(shí)需要分類或分步，那么要結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解．1．從4種蔬菜品種中選3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行試驗(yàn)，有多少種不同的種植方法？解：從4種蔬菜品種中選3種，分別種在3塊不同土質(zhì)上，對(duì)應(yīng)于從4個(gè)元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)．因此不同的種植方法數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24.故共有24種不同的種植方法．2．(1)有3名高校畢業(yè)生到5個(gè)聘請(qǐng)雇員的公司應(yīng)聘，每個(gè)公司至多聘請(qǐng)一名新雇員，且3名高校畢業(yè)生全部被聘用，假設(shè)不允許兼職，共有多少種不同的聘請(qǐng)方案？(2)有5名高校畢業(yè)生到3個(gè)聘請(qǐng)雇員的公司應(yīng)聘，每個(gè)公司只聘請(qǐng)一名新雇員，并且不允許兼職，現(xiàn)假定這三個(gè)公司都完成了聘請(qǐng)工作，問共有多少種不同的聘請(qǐng)方案？解：(1)將5個(gè)聘請(qǐng)雇員的公司看作5個(gè)不同的位置，從中任選3個(gè)位置給3名高校畢業(yè)生，那么此題即為從5個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的排列問題，所以不同的聘請(qǐng)方案共有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60種．(2)將5名高校畢業(yè)生看作5個(gè)不同的位置，從中任選3個(gè)位置給3個(gè)聘請(qǐng)雇員的公司，那么此題仍為從5個(gè)不同的元素中任取3個(gè)元素的排列問題，所以不同的聘請(qǐng)方案有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60種.元素“在〞與“不在〞型排列問題[例2]7名同學(xué)站成一排．(1)其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？(2)甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？(3)甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？[思路點(diǎn)撥]這是一個(gè)有限制條件的排列問題，每一問均應(yīng)優(yōu)先考慮限制條件，遵循特別元素或位置優(yōu)先支配的原那么．[精解詳析](1)先考慮甲站在中間有1種方法，再在余下的6個(gè)位置排另外6名同學(xué)，共有Aeq\o\al(6,6)＝6×5×4×3×2×1＝720種排法．(2)先考慮甲、乙站在兩端的排法有Aeq\o\al(2,2)種，再在余下的5個(gè)位置排另外5名同學(xué)的排法有Aeq\o\al(5,5)種，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝2×1×5×4×3×2＝240種排法．(3)法一：先考慮在除兩端外的5個(gè)位置選2個(gè)支配甲、乙有Aeq\o\al(2,5)種，再在余下的5個(gè)位置排另外5位同學(xué)的排法有Aeq\o\al(5,5)種，共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(5,5)＝5×4×5×4×3×2×1＝2400種排法．法二：考慮特別位置優(yōu)先法，即兩端的排法有Aeq\o\al(2,5)種，中間5個(gè)位置有Aeq\o\al(5,5)種，共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(5,5)＝2400種排法．[一點(diǎn)通](1)“在〞與“不在〞的有限制條件的排列問題，既可以從元素入手，也可以從位置入手，原那么是誰“特別〞誰優(yōu)先．(2)從元素入手時(shí)，先給特別元素支配位置，再把其他元素支配在剩余位置上；從位置入手時(shí)，先支配特別位置，再支配其他位置．留意：無論從元素考慮還是從位置考慮，都要貫徹究竟，不能既考慮元素又考慮位置．3．電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的產(chǎn)品廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必需播放公益廣告，那么不同的播放方式有()A．48種 B．24種C．720種 D．120種解析：4．用0,1,2這3個(gè)數(shù)字，可以排成________個(gè)無重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)．解析：組成3位數(shù)，相當(dāng)于將3個(gè)元素排在三個(gè)位置，但0不能在首位，首位的排法有Aeq\o\al(1,2)，而其余兩位排法有Aeq\o\al(2,2)，由分步乘法原理知，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4種排法．答案：45．由0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中小于50萬，又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？解：法一：由于首位和個(gè)位上不能排0和5，所以先從1,2,3,4中任選2個(gè)排在首位和個(gè)位，有Aeq\o\al(2,4)種排法，再排中間4位數(shù)有Aeq\o\al(4,4)種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＝12×24＝288個(gè)符合要求．法二：六個(gè)數(shù)位的全排列共有Aeq\o\al(6,6)個(gè)，其中有0排在首位或個(gè)位上的有2Aeq\o\al(5,5)個(gè)，還有5排在首位或個(gè)位上的也有2Aeq\o\al(5,5)個(gè)，其中不合要求的要減去，但這兩種狀況都包含0和5分別在首位或個(gè)位上的排法2Aeq\o\al(4,4)種，所以有Aeq\o\al(6,6)－4Aeq\o\al(5,5)＋2Aeq\o\al(4,4)＝288個(gè)符合要求.元素“相鄰〞與“不相鄰〞型排列問題[例3]喜羊羊家族的四位成員，與灰太狼、紅太狼進(jìn)行談判，通過談判他們握手言和，預(yù)備一起照張合影．(排成一排)(1)要求喜羊羊的四位成員必需相鄰，有多少排法？(2)要求灰太狼、紅太狼不相鄰，有多少排法？[思路點(diǎn)撥]相鄰元素可看作一個(gè)集團(tuán)利用捆綁法，不相鄰元素利用插空法．[精解詳析](1)把喜羊羊家族的四位成員看成一個(gè)元素，與灰太狼、紅太狼排隊(duì)共有Aeq\o\al(3,3)種排法，又因四位成員交換挨次產(chǎn)生不同排列，所以共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144種排法．(2)第一步將喜羊羊家族的四位成員排好，有Aeq\o\al(4,4)種排法，其次步讓灰太狼、紅太狼插四位成員形成的空(包括兩端)，有Aeq\o\al(2,5)種排法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480種排法．[一點(diǎn)通](1)相鄰問題用捆綁法解決，即把相鄰元素看成一個(gè)整體作為一個(gè)元素與其他元素排列．但不要遺忘再對(duì)這些元素“松綁〞，即對(duì)這些元素內(nèi)部全排列．(2)不相鄰問題用插空法，即先把其余元素排好，再把要求不相鄰的元素插入空中排列．6．某次聯(lián)歡會(huì)要支配3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出挨次，那么同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72 B．120C．144 D．168解析：選B依題意，先僅考慮3個(gè)歌舞類節(jié)目互不相鄰的排法種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144，其中3個(gè)歌舞類節(jié)目互不相鄰但2個(gè)小品類節(jié)目相鄰的排法種數(shù)為Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24，因此滿意題意的排法種數(shù)為144－24＝120，選B.7．把5件不同產(chǎn)品擺成一排，假設(shè)產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，那么不同的擺法有________種．解析：將A，B捆綁在一起，有Aeq\o\al(2,2)種擺法，再將它們與其他3件產(chǎn)品全排列，有Aeq\o\al(4,4)種擺法，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48種擺法，而A，B，C3件在一起，且A，B相鄰，A，C相鄰有CAB，BAC兩種狀況，將這3件與剩下2件全排列，有2×Aeq\o\al(3,3)＝12種擺法，故A，B相鄰，A，C不相鄰的擺法有48－12＝36種．答案：368．有5名男生，4名女生排成一排．(1)假設(shè)從中選出3人排成一排，那么有多少種排法？(2)假設(shè)男生甲不站排頭，女生乙不站排尾，那么有多少種不同的排法？(3)要求女生必需站在一起，有多少種不同的排法？(4)假設(shè)4名女生互不相鄰，有多少種不同的排法？解：(1)只要從9名同學(xué)中任選三名排列即可，所以共有Aeq\o\al(3,9)＝9×8×7＝504種不同排法．(2)將排法分成兩類：一類是甲站在排尾，其余的可全排，有Aeq\o\al(8,8)種排法；另一類是甲既不站排尾又不站排頭，有Aeq\o\al(1,7)種排法，乙不站排尾而站余下的7個(gè)位置中的一個(gè)，有Aeq\o\al(1,7)種排法，其余人全排列，于是這一類有Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(7,7)種排法．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(8,8)＋Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(7,7)＝287280種不同排法．(3)女生必需站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法．全體女生視為一個(gè)元素與其他男生全排列有Aeq\o\al(6,6)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(6,6)＝17280種不同排法．(4)分兩步．第一步：男生的全排列有Aeq\o\al(5,5)種排法；其次步：男生排好后，男生之間有4個(gè)空，加上男生排列的兩端共6個(gè)空，女生在這6個(gè)空中排列，有Aeq\o\al(4,6)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(4,6)＝43200種不同排法．解有限制條件的排列問題的根本思路1．含有特別元素或特別位置的排列，通常優(yōu)先支配特別元素或特別位置；2．當(dāng)限制條件超過兩個(gè)(包括兩個(gè))，假設(shè)互不影響，那么直接按分步解決，假設(shè)相互影響，那么首先分類，在每個(gè)分類中再分步解決；3．某些元素要求必需相鄰時(shí)，可以先將這些元素看作一個(gè)整體，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序，即用“捆綁法〞；4．某些元素要求不相鄰時(shí)，可以先支配其他元素，再將這些不相鄰元素插入空位，即用“插空法〞．1．6個(gè)人站成一排，甲、乙、丙3人必需站在一起的全部排列的總數(shù)為()A．Aeq\o\al(6,6) B．3Aeq\o\al(3,3)C．Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3) D．Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,3)解析：選D甲、乙、丙3人站在一起有Aeq\o\al(3,3)種站法，把3人作為一個(gè)元素與其他3人排列有Aeq\o\al(4,4)種，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)種．2．從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24 B．18C．12 D．6解析：選B假設(shè)選0，那么0只能在十位，此時(shí)組成的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是Aeq\o\al(2,3)；假設(shè)選2，那么2只能在十位或百位，此時(shí)組成的奇數(shù)的個(gè)數(shù)是2×Aeq\o\al(2,3)＝12，依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得總個(gè)數(shù)為6＋12＝18.3．由數(shù)字1,2,3,4,5組成的全部沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中，大于23145且小于43521的數(shù)共有()A．56個(gè) B．57個(gè)C．58個(gè) D．60個(gè)解析：選C首位為3時(shí)，有Aeq\o\al(4,4)＝24個(gè)；首位為2時(shí)，千位為3，那么有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋1＝5個(gè)，千位為4或5時(shí)有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12個(gè)；首位為4時(shí)，千位為1或2有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12個(gè)，千位為3時(shí)，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋1＝5個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有符合條件的數(shù)字24＋5＋12＋12＋5＝58(個(gè))．4．6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120C．72 D．24解析：選D剩余的3個(gè)座位共有4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24.5．6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有________種．(用數(shù)字作答)解析：法一：先把除甲、乙外的4個(gè)人全排列，共有Aeq\o\al(4,4)種方法．再把甲、乙兩人插入這4人形成的五個(gè)空位中的兩個(gè)，共有Aeq\o\al(2,5)種不同的方法．故全部不同的排法共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)＝24×20＝480(種)．法二：6人排成一行，全部不同的排法有Aeq\o\al(6,6)＝720(種)，其中甲、乙相鄰的全部不同的排法有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,2)＝240(種)，所以甲、乙不相鄰的不同排法共有720－240＝480(種)．答案：4806．我國第一艘航母“〞在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲-15飛機(jī)預(yù)備著艦．假如甲、乙兩機(jī)必需相鄰著艦，而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有________種．解析：把甲、乙看作1個(gè)元素和另一飛機(jī)全排列，調(diào)整甲、乙，共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)種方法，再把丙、丁插入到剛剛“兩個(gè)〞元素排列產(chǎn)生的3個(gè)空位中，有Aeq\o\al(2,3)種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得總的方法種數(shù)為Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3)＝24.答案：247．某次文藝晚會(huì)上共演出8個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)唱歌、3個(gè)舞蹈、3個(gè)曲藝節(jié)目，求分別滿意以下條件的節(jié)目編排方法有多少種？(1)一個(gè)唱歌節(jié)目開頭，另一個(gè)放在最終壓臺(tái)；(2)2個(gè)唱歌節(jié)目互不相鄰；(3)2個(gè)唱歌節(jié)目相鄰且3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰．解