2022-2023學年廣東省佛山市高二下學期期中數(shù)學試題1【含答案】

2022-2023學年廣東省佛山市高二下學期期中數(shù)學試題一、單選題1．若前項和為的等差數(shù)列滿足，則（

）A．46 B．48 C．50 D．52【答案】C【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)化簡條件求，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式可求，由此可得結(jié)論.【詳解】由，有，根據(jù)等差數(shù)量性質(zhì)可知，所以，故，所以，所以.故選：C.2．在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05，若發(fā)送信號0和1是等可能的，則接受信號為1的概率為（

）A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.575【答案】B【分析】運用全概率公式及對立事件概率公式計算即可.【詳解】設(shè)A=“發(fā)送的信號為0”，B=“接收到的信號為0”，則=“發(fā)送的信號為1”，=“接收到的信號為1”，所以，，，，，，所以接收信號為0的概率為：，所以接收信號為1的概率為：.故選：B.3．在等比數(shù)列中，如果，，那么（

）A．72 B．81 C．36 D．54【答案】D【分析】依題意設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項公式求出，最后根據(jù)計算可得；【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，所以；故選：D4．將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.5．某社區(qū)活動需要連續(xù)六天有志愿者參加服務(wù)，每天只需要一名志愿者，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，計劃依次安排到該社區(qū)參加服務(wù)，要求甲不安排第一天，乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，則不同的安排方案共有（

）A．72種 B．81種 C．144種 D．192種【答案】D【分析】先計算乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)的排法，排除乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務(wù)的排法，即可得出答案.【詳解】解：若乙和丙在相鄰兩天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，若乙和丙在相鄰兩天且甲安排在第一天參加服務(wù)，不同的排法種數(shù)為，由間接法可知，滿足條件的排法種數(shù)為種.故選：D.6．若函數(shù)在是增函數(shù)，則a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：由條件知在上恒成立，即在上恒成立．∵函數(shù)在上為減函數(shù)，∴,∴．故選D．【解析】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．7．已知，則（

）A． B．1 C． D．0【答案】A【分析】首先利用換元，轉(zhuǎn)化為，再去絕對值后，賦值求和.【詳解】令，可得，則，二項式的展開式通項為，則且．當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，因此，．故選：A．8．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故二、多選題9．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由等差數(shù)列前項和公式求出，再結(jié)合通項公式和前項和公式逐項辨析即可.【詳解】方法一：∵等差數(shù)列滿足，，∴由等差數(shù)列前項和公式有，解得，∴，，對于A，，故選項A正確；對于B，，當取與最接近的整數(shù)即或時，最大，∴，故選項B正確；對于C，，故選項C錯誤；對于D，，故選項D錯誤.方法二：∵等差數(shù)列滿足，∴，∴對于A，，∴，故A正確；對于B，，，，∴，故選項B正確；對于C，，故選項C錯誤；對于D，，故選項D錯誤.故選：AB.10．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，下列結(jié)論正確的是（

）A．是函數(shù)的極值點B．是函數(shù)的極值點C．在處取得極大值D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的極值的定義和判斷方法，通過圖像，可判斷出選項ABC的正誤；再通過函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷出選項D的正誤.【詳解】對于選項A，由圖像可知，在的左側(cè)，在的右側(cè)，所以由函數(shù)的極值的判斷方法可知，選項A正確；對于選項B，由圖像可知，在的左側(cè)，在的右側(cè)，所以由函數(shù)的極值的判斷方法可知，選項B錯誤；對于選項C，根據(jù)圖像和極值的定義可知，選項C錯誤；對于選項D，由圖像可知，在區(qū)間上，恒有，且僅在處取到等號，故選項D正確.故選：AD.11．在的展開式中，下列結(jié)論正確的是（

）A．第6項和第7項的二項式系數(shù)相等 B．奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256C．常數(shù)項為84 D．有理項有2項【答案】BC【分析】根據(jù)二項式展開式的特征，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】的展開式中共有10項，由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得展開式中的第5項和第6項的二項式系數(shù)相等，故A錯誤；由已知可得二項式系數(shù)之和為，且展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，所以奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，故B正確；展開式的通項為，令，解得．故常數(shù)項為，故C正確；有理項中x的指數(shù)為整數(shù)，故，2，4，6，8，故有理項有5項，故D錯誤．故選：BC12．已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】A選項，看出與互為反函數(shù)，確定也關(guān)于對稱，求出，兩點關(guān)于對稱，，，，A選項，利用基本不等式進行證明；B選項，得到，，，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而求出；C選項，由基本不等式得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，得到；D選項，先根據(jù)得到，再用作差法比較大小.【詳解】與互為反函數(shù)，即兩函數(shù)關(guān)于對稱，而與垂直，故也關(guān)于對稱，聯(lián)立，解得：，故，兩點關(guān)于對稱，即，且，不妨設(shè)，，畫出圖象如下：A選項，，當且僅當，即時等號成立，又，故等號取不到，A正確；因為，所以，所以，因此，故，又為與的交點，故，所以，令，，其中在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，B正確；因為，，所以，因此有，設(shè)，，因為，所以，因此在上單調(diào)遞增，當時，有，即，因此，C錯誤；因為，所以，所以，即，D正確.故選：ABD【點睛】互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的性質(zhì)：①反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域與定義域；②嚴格單調(diào)的函數(shù)存在反函數(shù)，但有反函數(shù)的函數(shù)不一定是單調(diào)的（比如反比例函數(shù)）；③互為反函數(shù)的兩個函數(shù)關(guān)于對稱，④奇函數(shù)不一定有反函數(shù)，若有反函數(shù)，則反函數(shù)也時奇函數(shù)；⑤如果一個函數(shù)圖象關(guān)于對稱，那么這個函數(shù)一定存在反函數(shù)，并且其反函數(shù)就是它本身.三、填空題13．設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，若，，則__________．【答案】或【分析】根據(jù)已知條件，由首項和公比列方程組求解．【詳解】等比數(shù)列的公比為，若，，則，則有，①，②②-①，化簡可得：，解得或故答案為：或14．函數(shù)的圖象在處的切線方程為______.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】∵，∴，，∴函數(shù)在處的切線方程為.故答案為：.15．某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有_________種．【答案】1320【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計數(shù)原理及排列、組合列式計算作答.【詳解】依題意，當甲和乙都不去時，選派方案有種，當甲和乙之一去時，選派方案有種，所以不同的選派方案共有.故答案為：132016．已知a，，若，，是函數(shù)的零點，且，，則的最小值是__________．【答案】【分析】由三次方程的韋達定理化簡，將表示為函數(shù)【詳解】即，可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點①若，此時，由對稱性可知，不合題意②若，此時，由題意得對于方程故解得故令，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故的最小值為故答案為：四、解答題17．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在上的值域.【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；(2).【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系結(jié)合條件即得.【詳解】（1）因為．所以，由，可得或，，的變化情況如下：2+00+遞增遞減遞增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2）由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以為極大值點，為極小值點，又，，，，所以在上的值域為.18．公差不為0的等差數(shù)列，滿足成等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）設(shè)的公差為d，由題意列出關(guān)于的兩個方程，求出，從而可求出通項公式；（2）利用錯位相減法即得.【詳解】（1）設(shè)的公差為，因為成等比數(shù)列，則，又，解得，，故；（2）由（1）知，則，，所以，所以．19．已知數(shù)列中，，且.(1)求，，并證明是等比數(shù)列；(2)求的通項公式；(3)數(shù)列的前項和.【答案】(1)，，證明見解析；(2)；(3)【分析】（1）利用賦值法即可求得，，利用等比數(shù)列定義即可證得是等比數(shù)列；（2）先求得數(shù)列的通項公式，進而求得的通項公式；（3）利用分組求和法即可求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）由，得，，，∴，又，∴是首項為1，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，∴.（3）數(shù)列的前項和20．袋中裝有4個大小相同的小球，編號為，現(xiàn)從袋中有放回地取球2次.(1)求2次都取得3號球的概率；(2)記這兩次取得球的號碼的最大值為，求的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析【分析】（1）根據(jù)獨立事件的乘法公式即可求得答案；（2）確定X的取值，求出每個值對應(yīng)的概率，即可求得分布列.【詳解】（1）由題意從袋中有放回地取球2次，每次取到3號球概率為，故2次都取得3號球的概率.（2）隨機變量的取值為，則，，，所以的分布列為：123421．已知數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記為數(shù)列的前n項和，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用遞推關(guān)系分類討論與兩種情況，注意檢驗，易得；（2）利用裂項求和法易得，再由可推得.【詳解】（1）由已知可得當時，；當時，，得；當時，由，得，兩式相減可得，則，經(jīng)檢驗：滿足，所以；（2）由（1）得，則，因為，則，故，則，故，所以，即，得證.22．已知，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）將導(dǎo)數(shù)化為求其零點并討論零點的大小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號求解.（2）結(jié)合第（1）問的結(jié)果，利用函數(shù)的單調(diào)性、極值的符號