級上課鏈接20186大一高數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分

例1設(shè)作直線運動的質(zhì)點,它的路程規(guī)律是s=s(t), s(t0+Dt 時間t0fit0DtDss(t0Dt)s(t0 Ds s(t0+Dt)-s(t0

?v(t平均速度vDt即時速度v(t

Ds=

s(t

+Dt)-s(t0 Dtfi0 Dtfi 設(shè)函數(shù)yfx)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x0處取得增量Dx( x0+Dx仍在該鄰域內(nèi))時,相應(yīng)地函數(shù)y取得增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0Dxfi0時Dy與Dx之比的極限存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo),并稱此極限為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù),記做：f(x0).ff(x)=f(0+Dx)-f(x0Dxfi0=Dxfi0說明

，dydx，dydx

，df(x)，df(x)dxf(0

xfi

f(x)-f(x0左導(dǎo)數(shù) f(x)=limDy=

f(x0+Dx)-f(x0 Dxfi0-

Dxfi 右導(dǎo)數(shù)

f(x)=limDy=

f(x0+Dx)-f(x0 Dxfi0+

Dxfi 函數(shù)在一點處可導(dǎo)的充要條件ff(x0)存 f+(x0)、f-(0)分別存在且相等步驟:(1

Dy=f(x+Dx)-f(Dy=f(x+Dx)-f(x); 求極限y￠limDyDxfi0例 求函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)解fx)limfxhfx)limCChfi (C)￠=

hfi 例 求函數(shù)y=xn(n為正整數(shù))的導(dǎo)數(shù)xn)￠hfi

(x+h)n-xnh (m? x例如:x

x=x2

)=

-1-1=-x (xm)￠=mxm-(sinx)￠=cos(cosx)￠=-sin(lnx)￠=x(ex)￠=e 定理如果函數(shù)ux),vx)在點x處可導(dǎo)們的和、差、積、(分母不為零)在點x處也可導(dǎo), 并且(v((x)v((x)v(v(x) v2(x)

(v(x)? 推論 [fi(x)]￠=( (n

f(x)]￠=

(x)

(x)f

++f1(x)f2(x)fn(x)例1

(tanx)￠sinx)￠(sinx)￠cosx-sinx(coscos

cos2

x+sin2x=

=sec2(secx)￠=

cos2 cos2 cos=sin =secxtancos2

cos2例 設(shè)y=x3lnxcosx+3ex+tan3p,求4 y=x)+)+

3p)￠4=(x3ns+ex+0 1cosx+x3lnx(-x設(shè)函數(shù)yfx)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可且fx)0xgy)在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo),且有dx=x=

1

,x?(-￥,+￥ccotx=

,x?(-￥,+￥定理定理(鏈?zhǔn)椒▌t函數(shù)ujx)在點x0可導(dǎo)則復(fù)合函數(shù)yf[jx)]在點x0可導(dǎo),=f0)(0) yf(u),uj(v),v=y則復(fù)合函數(shù)yf{j[yx)]}的導(dǎo)數(shù)為dy= dv 例31)y=

1+

2)y=tan2(ln解1)函數(shù)可視為由ysinuu

1+

復(fù)合而成故dy= du=cosu2(1+x2)-2x = = 2)y=tan2(ln故dy= dv=2usec2 =2tan(lnx)sec2(ln x注1,1+1-例4計算導(dǎo)數(shù)(1)ylnx+x2+1)(21+1-x+x2x+x2

(x+

=

x+x22x2(x+x22x2(x2+1x+xx2+1x+x2

(1+x=1-

1+1+x1-

1-

= =22221-2 例 設(shè)f(x)可導(dǎo),求y=f(lnx)

f(解yf(ln

f

f(x)fn

=fn

1arctan

f+

f)f( f

1+(

f2(x)f(x)=fn

1

f(x) f 1+f2(x)導(dǎo)數(shù)運算 Cu(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) v2(x)(5)dy= [j(x)]j(x)(C)￠=(sinx)￠=cos(tanx)￠=sec2(secx)￠=secxtan

(cosx)￠=-sin(cotx)￠=-csc2(cscx)￠=-cscxcot- -

1-

1-

1+

1+例6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y=sin4x-cos4 (2)y

x3+x+1+x2解(1)y￠4sin3x(sinx)￠4cos3x(cos=4sin3xcosx+4cos3xsin=4sinxcosx(sin2x+cos2x)=2sin2xy

x3+x+1+x2+1)(1+解y=

+1)(1+x1+x2 -2x( -2x(

+x=x4+2x2-2x+11先將Fx,y)0化成顯函數(shù)yfx)(顯化然后再求導(dǎo)。2由方程F(x,y)0所確定的隱函數(shù)y=yx)把yyx)代入原方程應(yīng)有恒等式F(x,y(x))”該等式兩邊對x求導(dǎo) 例7利用隱函數(shù)求導(dǎo)法，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y=cos(x+y) y(x)=cos(x+把y看作x的函數(shù)，兩邊對x求導(dǎo)，有解得

-sin(x+y)(1+y -sin(x+y)1+sin(x+y)eex)-e-x+ yx)=

-e-

+xy=(把y看作x的函數(shù)，兩邊對x求導(dǎo)，有(e

+y+ y￠=解

e-x x+ey若要求x在x0處的值從原方程知，此時ey10，y，故\y￠x =-(1+0)=- 0+例8已知y是由方程sinyxey0所確定的隱函數(shù)試求，以及在(0,0)點處的切線的斜率。解sinyxey￠+ey+xe\(cosy￠+ey+xeey

=cosy+xe\k=y￠y=0 =-x=j(t在方程yy中 (t設(shè)函數(shù)xj(t)tj-1\y=y[j-1(再設(shè)函數(shù)xj(ty=y(t)都可導(dǎo)且j(tdy= dt=

x=a(t-sint例 求擺線

在t

處的切線方程y=a(1-cost 解dydt

asina-acos

=sin1-\

t=p

sin =p

所求切線方程為p 1-2

y-a=x-2

-pt

時x

-1),y=

即：yxa(2-2如果函數(shù)fx)的導(dǎo)數(shù)fx)在點x處可導(dǎo),(f(x))￠= f(x+Dx)-f(x)Dxfi

x

f(x)存在

y

dx2 dx2yy(4,y 或fx),f(4)x),,fnx) dndx3,dx4,,

d4 dn或dx3, ,,直接法：即由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)例 y=ln(x+x2+1),求y解

x2+1(x2x2+1(x2y￠=((x2+1)2=2

(x2+1) 2x=- =(x

2-x

)(x2

(x(x2+1)5=(x2

+1)

+1)+3x2)

2x- 求由擺線x=a(q-sinq),y=a(1-cosq)所確定的函數(shù)y=y(x)的二階導(dǎo)數(shù).解dy￠=a xq￠a(1-cosq

=1-cosq\d2y=

dx2

) 1-

dq1-cosq=cosq(1-cosq)-sinqsinq (1-cosq= a(1-cosq

a(1-cosq第四節(jié)微分設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+Dx也在這區(qū)間內(nèi), 如果有：Dy=f(x0+Dx)-f(x0)=ADx+o(Dx)(其中A是不依賴于Dx的常數(shù))成立，則稱函數(shù)y f(x)在點x0可微,而ADx叫做函數(shù)y f(x)在點x0相應(yīng)于自變量增量Dx的微分記作：dyx=x或df(x),即 =ADx. x=定理fx)在點x0可微的充要條件是函fx)在點x0處可導(dǎo),Afx0通常把自變量x的增量Dx稱為自變量的微分記作 即dx=Dx.函數(shù)y=f(x)在任意點x的微分,稱為函數(shù) 記作dy或df(x), dy=f(x)Dx=f(3)dy=f(x)dx \dy=f(x)函數(shù)的微分dy與自變量