考研專業(yè)課流力第四章

§4-5

動量矩方程及其應(yīng)用從理論力學(xué)知道，對某一系統(tǒng)，此定理可表述為：“在某一瞬時，系統(tǒng)對某一固定軸的動量矩的時間變化率等于作用在該系統(tǒng)上的合外力對于同一軸的矩?！?/p>

將適用于系統(tǒng)的動量矩定理轉(zhuǎn)換為適用于控制體的動量方程。也就是：“作用在控制體上諸外力對于某軸的力矩的總和，等于單位時間內(nèi)從控制面流出和流入的流體對該軸的動量矩之差?！?/p>

運用動量方程能夠確定流體與邊界之間作用力大小，但是不能給出作用力的位置，與求合力作用點要應(yīng)用力矩平衡方程相類似，在確定流體與邊界之間作用力的位置時，需要應(yīng)用動量矩方程。對上圖（a）所示控制體和（b）所示的坐標(biāo)系及速度，關(guān)于x軸y軸z軸的動量矩方程分別為zyx1122v1v2ozyxoyxzvvyvxvz動量矩方程

(a)

(b)

在研究葉輪機中的流體流動問題時，經(jīng)常采用圓柱坐標(biāo)系，而且主要應(yīng)用對于旋轉(zhuǎn)軸（z軸）的動量矩方程。合外力對三個坐標(biāo)軸的矩之總和。（動量）矩的正負(fù)號規(guī)定為：逆坐標(biāo)軸的正方向看去，逆時針方向為正，順時針方向為負(fù)。式中分別表示作用在控制體上的如左圖，對于圓柱坐標(biāo)系的z軸的動量矩方程可寫為式中分別代表葉輪入口與出口沿圓周切線方向的速度。oθ柱坐標(biāo)系

例4－10流體在如下圖所示的一個簡單的徑流式葉輪機中流動，流體從葉輪的內(nèi)圈入口流入，經(jīng)流道外圈流出。流體進入葉輪的絕對速度為v1，它是入口處的牽連速度v1e與相對速度v1r的合成速度。流體質(zhì)點經(jīng)流道流出至出口時的牽連速度v2e，相對速度為v2r，絕對速度為v2。試寫出該流動對于旋轉(zhuǎn)軸（z軸）的動量矩方程。1122例4－10圖

r1r2v1v2ωo(a)

vvθvr(b)

(c)

1122例4－10圖

r1r2v1v2ωo(a)

vvθvr(b)

(c)

解：設(shè)在控制面的流體進出口截面1－1及2－2上，運動參數(shù)沿周向是均勻的。則單位時間內(nèi)從截面2－2及截面1－1流出與流入的流體對z軸的動量矩之差為作用于控制體上諸外力對z軸的力矩：作用在1－1截面及2－2截面上的壓力對于z軸的力矩為0。如果忽略由于轉(zhuǎn)子與充滿在葉輪機殼體內(nèi)的流體之間的摩擦所產(chǎn)生的力矩，則作用在控制體中流體上的外力矩就等于外界通過轉(zhuǎn)軸加于葉輪的轉(zhuǎn)矩Mz。根據(jù)（4－30）式，可得（4－31）

式（4－31）是動量矩定理應(yīng)用于流體在葉輪機中的穩(wěn)定流動的解析式，它叫做動量矩的歐拉方程式。如果將（4－31）式兩端同乘以葉輪的旋轉(zhuǎn)角速度ω，則可得外界給予葉輪的功率為或

式中v1e、v2e依次表示葉輪在葉輪進口及出口處的

圓周速度，也是牽連速度。由于功率是單位時間葉輪機對流體的作功，由式（4－19）可得其揚程為這就是在分析和計算壓氣機或渦輪的功時經(jīng)常用到的公式。如果作用在流體上的外力矩為零，根據(jù)動量矩方程（4－30）式，得即

（4－33）上式就是著名的面積定律。它說明：在沒有外力矩作用而只依靠本身的慣性運動的情況下，流體的切向速度與半徑成反比。半徑越大，流體的切向速度越小；反之則相反。例如，氣體在離心式壓氣機的擴壓器內(nèi)的流動，燃料在離心式噴嘴內(nèi)的旋轉(zhuǎn)運動等，就屬于這種情形。思考：說明什么？例4-9已知離心式通風(fēng)機的葉片如圖所示。葉輪的轉(zhuǎn)速為

，內(nèi)徑

，入口角

，入口寬度

，外徑

，出口角

，出口寬度

；流量

。試求葉輪入口及出口處的牽連速度、相對速度和絕對速度，并求單位重量空氣由葉輪入口至出口所獲得的能量。

解：單位重量流