高中立體幾何-直線與平面課件

如果一條直線l

垂直于平面α

內(nèi)的任意一條直線，我們就說直線l

與平面α

互相垂直。平面的垂線直線l的垂面垂足記作：lα直線與平面垂直的定義：（2）線面垂直

線線垂直三、實驗探究得出定理

如果直線l與平面α內(nèi)的一條（兩條，無數(shù)條）直線垂直，則直線和平面α互相垂直?（1）一條直線（3）兩條平行直線

（2）無數(shù)條直線（4）兩條相交直線

？

猜想：直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么此直線與這個平面垂直。lα

4、猜想：若直線與平面α內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則.BAαmnaCFDE如何證明這個猜想成立？文字語言：一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。直線和平面垂直的判定定理：線線垂直線面垂直判定定理性質(zhì)垂直內(nèi)相交符號語言：圖形語言：隨堂練習(xí)

例1有一根旗桿AB高8m，它的頂端A掛有一條長10m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點（和旗桿腳不在同一條直線上）C、D，如果這兩點都和旗桿腳的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？DCBA

例2

在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求證：AC⊥BD.ABCDE

例3求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．已知：，．

求證：．

證明：設(shè)是內(nèi)的任意一條直線．

定義方法判定

練習(xí):已知平面，是⊙的直徑，是⊙上的任一點，求證：．

練習(xí):已知，于，于，于點，求證：．

三垂線定理及逆定理aAPoα一、三線概念:平面的斜線、垂線、射影aAPoα如圖PO是平面α的斜線,O為斜足;

PA是平面α的垂線,A為垂足;

AO是PO在平面α內(nèi)的射影.

PO平面PAO∪a⊥PO③

二、三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線(a)，如果和這個平面的一條斜線(PO)的射影(AO)垂直，那么它(a)也和這條斜線垂直。PA⊥αaα∪①PA⊥aAO⊥aPA∩AO=A②a⊥平面PAOPaAoα已知:如圖,PO為平面α的斜線,PA⊥α,a在平面α內(nèi)且垂直PO的射影AO.求證:a⊥PO證明:

1、三垂線定理描述的是斜線、射影、直線之間的垂直關(guān)系.

2、a與PO可以相交，也可以異面.

3、三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理.說明：4、轉(zhuǎn)化思想:空間兩直線的垂直問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩直線的垂直問題.aAPoα三、知識運(yùn)用例1.如圖,PD⊥平面ABC,AC=BC,D為AB的中點,求證AB⊥PC.PABCD證明:∵PD⊥平面ABC,

∴

DC為PC在平面的射影,

而△ABC為等腰三角形,D為AB的中點,∴

AB⊥CD∴AB⊥PC例2.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)

BD1，AC，CB1，B1A，求證：BD1⊥平面AB1C∵DD1⊥平面ABCD∴BD是斜線D1B在平面ABCD上的射影

∵ABCD是正方形∴AC⊥BD

(AC垂直射影BD)，∴AC⊥BD1

A1D1C1B1ADCB同理:BA1是斜線BD1在平面ABB1A1上的射影,AB1⊥

BD1

而AC∩AB1=A

∴BD1⊥平面AB1C證明：連結(jié)BD、A1B在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理ＡＰＯ斜線垂線規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是0的角直線和平面所成角的