氣溶膠力學(xué)第7章-氣溶膠粒子的擴(kuò)散與沉降-課件

第七章

氣溶膠粒子的擴(kuò)散與沉降

1872年植物學(xué)家布朗（RobertBrown）首先觀察到水中花粉的連續(xù)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，后來(lái)人們稱之為布朗運(yùn)動(dòng)。大約50年后才有人觀察到煙塵粒子在空氣中的類似運(yùn)動(dòng)。1900年愛(ài)因斯坦導(dǎo)出了布朗運(yùn)動(dòng)的關(guān)系式，后來(lái)被實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證。氣溶膠粒子的擴(kuò)散是由于氣體分子隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，碰撞粒子并使其內(nèi)系統(tǒng)的一部分輸?shù)搅硪徊糠莸倪^(guò)程。在這一過(guò)程中粒子沒(méi)有特定的運(yùn)動(dòng)方向。隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果使得粒子總是由高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域擴(kuò)散。

在任何氣溶膠系統(tǒng)中都存在擴(kuò)散現(xiàn)象，而對(duì)粒徑小于幾個(gè)

的微細(xì)粒子，擴(kuò)散現(xiàn)象尤為明顯，而且往往伴隨有粒子的沉降、粒子的收集和粒子的凝并發(fā)生。無(wú)論采取何種收集手段，氣溶膠粒子的擴(kuò)散對(duì)其收集性能有著重要的影響。為了除塵凈化目的，在本章中我們將著重介紹有關(guān)擴(kuò)散的基本理論及其應(yīng)用。一

擴(kuò)

散

的

基

本

定

律

在各向同性的物質(zhì)中，擴(kuò)散的數(shù)學(xué)模型是基于這樣一個(gè)假設(shè)：即穿過(guò)單位截面積的擴(kuò)散物質(zhì)的遷移速度與該面的濃度梯度成比例，即（7-1）式（7-1）稱為費(fèi)克第一擴(kuò)散定律。這里F——在單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的粒子的數(shù)量；C——擴(kuò)散物質(zhì)的濃度；D——擴(kuò)散系數(shù)。在某些情況下，D為常數(shù)。而在另一些情況下，D可能是變量。其單位為。式（7-1）中的負(fù)號(hào)說(shuō)明物質(zhì)向濃度增加的相反方向擴(kuò)散。在各向同性介質(zhì)中，物質(zhì)擴(kuò)散的基本微分方程可以從式（7-1）中推導(dǎo)出來(lái)?？紤]一體積微元，令其各邊平行相應(yīng)的坐標(biāo)軸，而長(zhǎng)邊分別為2dx，2dy,2dz。微元體的中心在P（x,y,z）點(diǎn)，這里擴(kuò)散物質(zhì)的濃度為C，ABCD和

二面垂直x軸，如圖7-1所示。那么穿過(guò)平面ABCD進(jìn)入微元體的擴(kuò)散物質(zhì)為：同理，穿過(guò)

面流出微元體的擴(kuò)散物質(zhì)為：

那么對(duì)于這兩個(gè)面在微元體中擴(kuò)散物質(zhì)的增量為：對(duì)于其它相應(yīng)的面，我們分別得到：

和

而微元體中擴(kuò)散物質(zhì)的總量的變化率為：因而我們可以得出（7-2）如果擴(kuò)散系數(shù)為常數(shù)，F(xiàn)x,Fy,Fz

由式（7-1）決定，則式（7-2）變?yōu)椋海?-3）對(duì)于一維情況，式（7-3）變?yōu)椋?-4）式（7-3）或式（7-4）通常稱為費(fèi)克擴(kuò)散第二定律。對(duì)于柱坐標(biāo)，式（7-3）可改寫為：

（7-5）對(duì)于球面坐標(biāo)，式（7-3）可改寫為：

（7-6）所有這些方程都可以寫成向量形式：（7-7）對(duì)于一維情況，當(dāng)x方向上有速度為的介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，則在微元體中對(duì)應(yīng)兩面擴(kuò)散物質(zhì)的增加率為：同理，在微元體中擴(kuò)散物質(zhì)的總量的變化率為：因而，考慮到式（7-1）我們可以得到此時(shí)的擴(kuò)散方程為：對(duì)于三維情況：

（7-8）（7-9）擴(kuò)散方程也可以用其他概念來(lái)概括，若以

表示粒子在t時(shí)刻出現(xiàn)在區(qū)間[x,x+dx]的概率，以C0表示系統(tǒng)中粒子的個(gè)數(shù)濃度，那么在t時(shí)刻落在區(qū)間[x,x+dx]內(nèi)的粒子的個(gè)數(shù)濃度為這樣，我們可以把擴(kuò)散方程用概率寫成為（7-10）對(duì)于一維情況：（7-11）當(dāng)沒(méi)有介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，vx=0，則（7-12）擴(kuò)散系數(shù)的確定無(wú)疑是非常重要的。1905年愛(ài)因斯坦曾指出：氣溶膠粒子的擴(kuò)散等價(jià)于一巨型氣體分子；氣溶膠粒子布朗運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能等同于氣體分子；作用于粒子上的擴(kuò)散力是作用于粒子的滲透壓力。對(duì)于單位體積中有n個(gè)懸浮粒子的氣溶膠，其滲透壓力P0由范德霍夫（Van’tHoff）定律得：式中k是波爾茲曼常數(shù)；T是絕對(duì)溫度。圖7-1粒子的擴(kuò)散模型

由圖7-1，因?yàn)榱Ｗ拥臐舛扔勺笙蛴沂侵饾u降低，氣溶膠粒子從左向右擴(kuò)散并穿過(guò)平面E、E’、E，E'平面間微元距離dx,相應(yīng)的粒子濃度變化為dn，由式（7-13）知，驅(qū)使粒子由左向右擴(kuò)散力Fdiff為：（7-14）進(jìn)行擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的粒子還受斯托克斯阻力的作用，當(dāng)粒子擴(kuò)散是穩(wěn)定的，則式中C——肯寧漢修正系數(shù)，所以

（7-15）式（7-15）中左面的乘積nv是單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的粒子的數(shù)量，即式（7-1）中的F，所以（7-16）式（7-16）是氣溶膠粒子擴(kuò)散系數(shù)的斯托克斯-愛(ài)因斯坦公式?；蛘邔憺椋海?-17）式中B——粒子的遷移率。擴(kuò)散系數(shù)D隨溫度的增高而增大,與粒徑大小成反比，其大小可表征擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱。粒徑對(duì)擴(kuò)散系數(shù)的影響見(jiàn)表7-1。

表7-1單位密度球體的擴(kuò)散系數(shù)（20℃）擴(kuò)散系數(shù)粒子直徑（μm）遷移率（cm/s.N）

此外，由式（7-16）知，物質(zhì)的擴(kuò)散系數(shù)與其密度無(wú)關(guān)系，因此，在考慮氣溶膠粒子的擴(kuò)散問(wèn)題時(shí)，可以應(yīng)用其幾何直徑。

二

在

靜

止

介

質(zhì)

中

氣

溶

膠

粒

子

的

擴(kuò)

散

沉

降關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)引起的氣溶膠粒子在“壁”上的沉降有很大的實(shí)際意義。這里所說(shuō)的“壁”是指氣溶膠粒子所接觸的固體及液體表面。我們可以認(rèn)為：只要?dú)馊苣z粒子與“壁”接觸，粒子就粘在其上。這樣，確定粒子在“壁”上沉降的速度，可以歸結(jié)為計(jì)算一定分布狀態(tài)的粒子到達(dá)一直邊界的概率。

在大多數(shù)情況下，以粒子的濃度表示更方便一些。這時(shí)和壁相碰撞粒子的濃度等于零。我們可以用擴(kuò)散理論來(lái)解決很多實(shí)際問(wèn)題。（一）平面源在x=0處存在一平面源的擴(kuò)散物質(zhì)，對(duì)擴(kuò)散系數(shù)D為常數(shù)的一維情況，可以應(yīng)用式（7-4）來(lái)描述，即該方程的解可以很容易看出為：該式對(duì)x=0是對(duì)稱的，當(dāng)x趨近于+∞或-∞時(shí)，對(duì)t>0,式（7-18）趨于零，除x=0以外，對(duì)t=0,它處處為零。在單位橫截面為無(wú)限長(zhǎng)圓柱體中擴(kuò)散物質(zhì)的總量M為：（7-18）（7-19）如果濃度分布是由式（7-18）表示，令那么

（7-20）因而式（7-20）可以寫為（7-21）式（7-21）描述了在t=0時(shí)刻在平面x=0上的物質(zhì)M由于擴(kuò)散而引起的擴(kuò)散。圖7-2上所表示的是三個(gè)連續(xù)時(shí)間的典型分布。以上討論的問(wèn)題，擴(kuò)散物質(zhì)的一半沿x的負(fù)方向移動(dòng)。然而如果我們有一半無(wú)限圓柱體伸展于x>0的區(qū)間里并且在x=0處有一不滲透的邊界，所有的擴(kuò)散發(fā)生在x的正方向，這時(shí)濃度分布為（7-22）

圖7-2平面源濃度-距離曲線（曲線上的數(shù)字為Dt）

（二）對(duì)垂直墻的擴(kuò)散垂直墻在x=x0處與含有靜止氣溶膠的很大空間相聯(lián)，此處初始濃度n0是均勻的，在這里我們可以應(yīng)用一維擴(kuò)散方程（7-4）式，且有：

初始條件x>x0時(shí)，n(x,0)=n0

邊界條件t>0時(shí)，n(x0,t)=0,這一問(wèn)題的解是：（7-23）——概率積分函數(shù)。

其中

如果x0=0，即垂直墻位于x=0處，此時(shí)，（7-24）圖7-3壁面附近氣溶膠的濃度分布

圖7-4壁面附近氣溶膠的濃度分布

式（7-23）與式（7-24）所表示的濃度分布見(jiàn)圖7-3及圖7-4：通常比粒子的分布更有興趣的問(wèn)題是粒子的擴(kuò)散速度，或在單位時(shí)間、單位面積上粒子的沉降量。單位面積上的擴(kuò)散速度F可以按（7-1）式表示，即（7-25）把式（7-23）代入式（7-25）有那么在t1—t0時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)單位面積墻壁上的粒子數(shù)量為：（7-26）（7-27）在0—t時(shí)間內(nèi)粒子沉降的數(shù)量為（7-28）此問(wèn)題中的壁可以成為“吸收壁”。（三）半無(wú)限原始分布時(shí)的擴(kuò)散

在實(shí)踐中更經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題，是由原始分布發(fā)生在半無(wú)限區(qū)間的情況，此時(shí)我們規(guī)定為：當(dāng)t=0時(shí)，C=C0，x<0;C=0,x>0,以上情況可以參看圖（7-5），對(duì)寬度微元擴(kuò)散物質(zhì)的強(qiáng)度為

那么，在距微元

,,處的點(diǎn)P在t時(shí)刻的濃度由式（7-21）知為：

圖7-5半無(wú)限原始分布

由于原始分布（7-21）引起的擴(kuò)散方程的解是整個(gè)分布區(qū)間的積分，即

(7-30)這里

，一般寫為：

（7-31）次函數(shù)可以查誤差函數(shù)表，并且次函數(shù)有下列基本性質(zhì)；（7-32）因而（7-33）——誤差函數(shù)的余函數(shù)。這樣該問(wèn)題的擴(kuò)散方程的解可以寫為（7-34）式（7-34）所表示的濃度分布的形式見(jiàn)圖（7-6）可以看出，對(duì)所有的t>0時(shí)刻，在x=0處。該情況的墻壁稱為“滲透壁”。圖7-6濃度-距離曲線

（7-35）這種情況下的濃度分布見(jiàn)圖7-7，該分布對(duì)x=0是對(duì)稱的。區(qū)間里的初始濃度為C0的擴(kuò)散物質(zhì)的擴(kuò)散問(wèn)題，幾分限用從x-h到x+h來(lái)代替（7-30）式中x到∞，可以得到：

用同樣的方法，對(duì)于分布在

圖7-7對(duì)有范圍的線源的濃度-距離曲線[曲線上的數(shù)值

]

（四）重力場(chǎng)中的擴(kuò)散粒子在重力作用下向水平表面的沉降，如果沒(méi)有布朗運(yùn)動(dòng)在氣溶膠云中發(fā)生，在沉降過(guò)程中，氣溶膠云的頂部將保持一明顯的邊界。然而在布朗擴(kuò)散的情況下，就不存在明顯的邊界了。錢德萊塞克哈（Chandrasekehar）曾經(jīng)討論了這個(gè)問(wèn)題，作用在粒子上的重力為：此時(shí)粒子的沉降速度為：（7-36）亦可查表7-2。表7-2氣溶膠粒子的特征參數(shù)粒子直徑表中β——粒子遷移率；D——粒子的擴(kuò)散系數(shù)；τ——張弛時(shí)間；——平均熱速度；

——粒子的平均自由程。

那么對(duì)在垂直方向上的一維情況；可以應(yīng)用式（7-37）邊界條件：t>0時(shí)，n(0,t)=0(7-38)

初始條件：x≠h時(shí)，n(x,0)=0（7-39）x=h時(shí)

此時(shí)，方程（7-37）的解為：（7-40）因而粒子在（t,t+dt）之間與水平壁面相撞的概率為：（7-41）若把式（7-41）對(duì)h從0到∞積分，我們可以得到在時(shí)間（t,t+dt）中在一厘米的壁上所沉積的粒子數(shù)：（7-42）當(dāng)

，則式（7-42）化為

即布朗運(yùn)動(dòng)已

不影響對(duì)壁的沉降速度，此時(shí)它只與粒子的沉降速度

有關(guān)。

當(dāng)

時(shí)，式（7-42）化為

在這種情況下沉淀由沒(méi)有沉降作用時(shí)的擴(kuò)散和沒(méi)有擴(kuò)散作用時(shí)的沉降各占一半貢獻(xiàn)。由此可見(jiàn)，同時(shí)有布朗運(yùn)動(dòng)和外力作用情況下，計(jì)算氣溶膠在壁上的沉降速度時(shí)，只取兩種效應(yīng)簡(jiǎn)單的總和會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的偏差。以上各點(diǎn)，只有在靜止介質(zhì)中才是正確的，在實(shí)踐中這種情況是很少遇到的，只能認(rèn)為是理想化的結(jié)果。三

層

流

中

氣

溶

膠

粒

子

層流中氣溶膠粒子的擴(kuò)散問(wèn)題在實(shí)際中遇到得較少，往往在一些測(cè)量方法中遇到的擴(kuò)散（一）圓管中氣溶膠粒子向筒壁的沉淀：氣溶膠粒子轉(zhuǎn)移的概率

為：

而位移的絕對(duì)平均值為（7-43）因而可以認(rèn)為在管子進(jìn)口地方和管壁之間的距離小于

（7-44）的粒子全部沉淀在壁上，若我們假定層流時(shí)的速度分布為（7-45）式中

——平均速度；R——管的直徑；

——某一點(diǎn)到圓心的距離。

這樣在層流

內(nèi)的平均速度為

，因而在t時(shí)間內(nèi)在這個(gè)層中的粒子沿軸向走過(guò)的平均距離為（7-46）把式（7-44）與式（7-46）中的t消去，我們得到（7-47）因而在單位時(shí)間流過(guò)離管口x的橫截面的粒子數(shù)目為：（7-48）其中N0是進(jìn)入管口剖面的粒子數(shù)目，因?yàn)?/p>

于是（7-49）其中（7-50）式（7-49）的圖形見(jiàn)圖7-8。圖7-8粒子在細(xì)管中的沉降（二）均一速度場(chǎng)中氣溶膠粒子的擴(kuò)散對(duì)于濃度為N0的粒子流，瞬時(shí)的從一點(diǎn)源射出，并有一均一的速度v的氣流在x方向流過(guò)點(diǎn)源，這一問(wèn)題常稱瞬間點(diǎn)源問(wèn)題。在和氣流一起運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系統(tǒng)中，對(duì)位于原點(diǎn)的點(diǎn)源，濃度分布為（7-51）其中N0時(shí)在t=0時(shí)刻，源所放出來(lái)的粒子數(shù)目。而在靜止的坐標(biāo)系統(tǒng)中，式（7-51）變?yōu)椋海?-52）同理，對(duì)于分布在y坐標(biāo)軸上的無(wú)限長(zhǎng)的粒子的線源，我們可以得到：（7-53）其中

表示單位長(zhǎng)線源放出的粒子數(shù)目。

在源頭連續(xù)的情況下，空氣中氣溶膠粒子的分布應(yīng)是恒定的，因而對(duì)式（7-9）我們假定，此外我們還假定物質(zhì)的對(duì)流輸送速度比擴(kuò)散輸送要大，如果氣流速度v是x軸方向，那么

項(xiàng)比

小很多，因而可略去

項(xiàng)，式（7-9）可化為：（7-54）這樣式（7-54）的解與式（7-4）的解是一樣的。即用x代替t，用z代x，用D/v代替D，并乘以，對(duì)線源得：

（7-55）而對(duì)于定常的點(diǎn)源則得：（7-56）四

氣

溶

膠

粒

子

向

圓

柱

體

對(duì)于懸浮在氣體中的細(xì)小粒子，被截留和慣性碰撞收集的可能性是很小的，因?yàn)樗鼈儾粌H服從繞圓柱體的流線，而且也以不規(guī)則的方式橫斷流線而運(yùn)動(dòng)，在氣體分子的撞擊下粒子作隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，粒子的軌跡離開(kāi)氣體流線而沉降到障礙物的整個(gè)表面，越是細(xì)小的粒子和較小的流動(dòng)速度，越表現(xiàn)出這一效果。朗繆爾（Langmuir）第一個(gè)研究了由于擴(kuò)散作用粒子在孤立圓柱體上的沉降。利用方程（5-57），假設(shè)在t時(shí)間內(nèi)粒子完全沉降到物體表面的氣溶膠的厚度為xo，則由式（7-44）得：的

擴(kuò)

散（7-57）把式（5-57）用于擴(kuò)散沉降，此時(shí)（7-58）為了確定xo，必須求出在x0厚度中的沉降時(shí)間t，為此假設(shè)擴(kuò)散發(fā)生在之間，如圖7-9所示。

圖7-9擴(kuò)散沉降發(fā)生的時(shí)間如果圓柱體的半徑a遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于厚度xo時(shí)，該式可簡(jiǎn)化為：把此式代入式（7-57）可得：（7-59）其中

稱為派克萊特?cái)?shù)。粒子擴(kuò)散系數(shù)D為：

（7-60）其中k——波爾茲曼常熟；

T——絕對(duì)溫度；

C——肯寧漢修正系數(shù)；

dp——粒子直徑。也可以應(yīng)用圖7-10來(lái)查粒子擴(kuò)散系數(shù)D值。圖7-10粒子擴(kuò)散系數(shù)對(duì)于

，式（7-58）可以簡(jiǎn)化為：

（7-61）耐坦森也推倒一同樣的關(guān)系式，當(dāng)

時(shí)為：

（7-62）福爾德蘭德?tīng)柾械降年P(guān)系式為：（7-63）同樣，基于庫(kù)瓦帕拉-黑派爾速度場(chǎng)，富克斯和斯太乞金娜托到的公式為：（7-64）這里，C=0.75或C=0.5，這個(gè)方程有個(gè)優(yōu)點(diǎn)，即不需要進(jìn)行干擾效果的修正。若假定為勢(shì)流，斯太爾曼（Stairmand）托到的關(guān)系為：（7-65）把Peclet數(shù)引進(jìn)擴(kuò)散收集效率的關(guān)系式中，在孤立圓柱體情況下，對(duì)于勢(shì)流

，對(duì)于粘性流，

，所以用無(wú)因次數(shù)

可表征擴(kuò)散沉降的強(qiáng)度，即擴(kuò)散沉降效率是

的函數(shù)。

例1.已知

求擴(kuò)散沉降效率。解：由式（7-64）對(duì)于小于

數(shù)情況，斯太乞金娜和桃捷森（Torgeson）得出：

（7-67）如果

此時(shí)Re=0.0513，式（7-61）、（7-64）、（7-65）分別為：由圖7-10中查得擴(kuò)散系數(shù)D，那么上列三式的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖7-11?？梢?jiàn)計(jì)算結(jié)果式（7-61）〈式（7-64）〈式（7-65）。在沒(méi)有實(shí)驗(yàn)資料驗(yàn)證的情況下，在實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用式（7-64）可能較穩(wěn)妥些。

7-11擴(kuò)散收集效率五

氣

溶

膠

粒

子

向

球

體由于擴(kuò)散作用引起的粒子的沉降服從費(fèi)克第一定律，即的

擴(kuò)

散（7-68）其中N——是粒子沉降到表面積A上的速度。圖7-12中表示出了厚度為

的濃度邊界。與速度邊界層相似，濃度邊界層的濃度可以表示為：（7-69）圖7-12擴(kuò)散邊界層與速度邊界層為了便于分析，假設(shè)濃度邊界層的厚度是速度邊界層的一部分，即（7-70）那么式（7-69）可以寫為

（7-71）且在球體表面的濃度梯度為（7-72）應(yīng)用圖7-13中所表示的球體表面積微元由式（7-72）和（7-68）得：把上式對(duì)球體的前半部分進(jìn)行積分得：（7-73）

圖

7-13向球表面擴(kuò)散

此外，粒子的沉降量還可由下式計(jì)算：

由式（6-20）及式（7-71）可把上式化為：（7-74）把表示N的兩個(gè)方程（7-73）、（7-74）等同起來(lái)并令

，

稱施密特（Schmidt）數(shù)，則由于

比1小的多，上式還可以近似寫為：

（7-75）把式（7-71）代入式（7-73）（7-76）由于尾跡的影響，球體的后半部分很難進(jìn)行精確的分析，我們假設(shè)后半球收集的粒子數(shù)目與前半球相同，這時(shí)，（7-77）粒子流過(guò)球體直徑為圓的斷面的總流量為：（7-78）把式（7-77）被式（7-78）除得到收集效率：（7-79）對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)空氣，施密特?cái)?shù)可以寫為：（7-80）表7-3例2的計(jì)算結(jié)果

0.10.20.51.05.0C2.911.891.3371.1681.034SCED0.000280.000130.0000560.0000330.00001例2.球滴直徑為0.5mm，以速度10m/s穿過(guò)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)的空氣，計(jì)算不同粒徑的擴(kuò)散收集效率，設(shè)

解：

由式（7-79）得：

計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-3。除了上述計(jì)算擴(kuò)散收集效率的克勞福德（Crawford）方法之外，約翰斯通和羅伯茲建議采用相似熱傳輸?shù)挠?jì)算公式：（7-81）例3.直徑為1.0mm的液滴，以12m/s的速度穿過(guò)含粉塵粒子的標(biāo)準(zhǔn)空氣，設(shè)，計(jì)算單一效率與綜合效率。

解：

經(jīng)計(jì)算

對(duì)對(duì)而擴(kuò)散效率為

計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖7-14。圖7-14液滴的收集效率

六

煙

塵

在

大

氣

中

的

紊

流從通風(fēng)口及煙囪中流出的污染物質(zhì)向大氣中的擴(kuò)散與很多因素有關(guān)：流出物質(zhì)的物理-化學(xué)性質(zhì)、氣象特征、煙囪的高度和位置、以及煙囪下游的地區(qū)特征，但這些因素不可能在分析方法中全部考慮到。要達(dá)到最大程度的擴(kuò)散，流出物必須由足夠的沖量和浮力，對(duì)于流出物中的細(xì)小固體粒子，他們的沉降速度較低，可以把氣體擴(kuò)散的研究成果用于小粒子的擴(kuò)散。然而對(duì)大粒子就不能以相同的方法處理，它們有明顯的沉降速度。擴(kuò)

散

與

沉

降（一）煙塵在大氣中擴(kuò)散的數(shù)學(xué)模型如果風(fēng)速取為沿x軸方向，且風(fēng)速u為常量，則擴(kuò)散方程可以寫為：（7-82）在煙囪的擴(kuò)散問(wèn)題中，式（7-82）中右邊第2項(xiàng)遠(yuǎn)小于第一項(xiàng)，因而可以略去。此外，擴(kuò)散過(guò)程是穩(wěn)定的，因而，這樣式（7-82）可以簡(jiǎn)化為：

（7-83）此二階偏微分方程的一般解為：（7-84）這里,K是任意常數(shù)，其值由邊界條件確定，必須滿足的條件是源的下游任何垂直平面上污染物的遷移量是常數(shù)（穩(wěn)定狀態(tài)），且該常數(shù)必須等于源的發(fā)散量Q，即（7-85）對(duì)y的積分限制應(yīng)為

到

，然而對(duì)z的積分限應(yīng)根據(jù)源的狀態(tài)而定。（1）在地面上的點(diǎn)源：對(duì)在地面水平的點(diǎn)源，z的積分應(yīng)取從0到

，根據(jù)式（7-84）、式（7-85）為令

，則上式為

，

由標(biāo)準(zhǔn)積分，我們有：因而或者（7-86）（2）在地面水平以上高度為H的點(diǎn)源：式（7-85）中對(duì)z的積分限可取為到

，這樣會(huì)導(dǎo)致一小的誤差，但在數(shù)學(xué)上更容易處理，此時(shí)常數(shù)化為：（7-87）（二）正態(tài)分布為了估算在源的下游污染物的濃度，往往遇到一分布函數(shù)，即正態(tài)分布函數(shù)，因而需要對(duì)正態(tài)分布函數(shù)進(jìn)行研究。正態(tài)分布函數(shù)為：（7-88）這里是任一實(shí)數(shù)；

稱標(biāo)準(zhǔn)偏差，是大于零的實(shí)數(shù)。

式（7-88）的圖形見(jiàn)圖7-15，

決定了f(x)的最大值的位置，且曲線對(duì)

是對(duì)稱的。當(dāng)

=0時(shí)，曲線對(duì)稱與x軸。

標(biāo)準(zhǔn)偏差，決定曲線的寬窄，不論

是多大，曲線下的面積總是1。分布函數(shù)隨

的增大而擴(kuò)展，在大氣污染擴(kuò)散中有重要的物理意義。通常擴(kuò)散方程取雙正態(tài)分布形式，是每一個(gè)軸向的單一正態(tài)分布函數(shù)的簡(jiǎn)單乘積，因此我們將用這些方程與下面的內(nèi)容進(jìn)行比較。圖7-15不同

的正態(tài)分布

、

（三）地面水平上點(diǎn)源的擴(kuò)散把式（7-86）代入式（7-84）中可以得到地面水平面上污染物的濃度：（7-90）在把式（7-89）應(yīng)用于解決點(diǎn)源的擴(kuò)散問(wèn)題，最大濃度發(fā)生在中心線上，相當(dāng)于式（7-89）中的、

為零，因而式（7-89）變?yōu)椋?/p>

把式（7-90）改寫成與上式相似的形式，為此我們令：；（7-91）把式（7-91）代到式（7-90）中可得到地面水平點(diǎn)源下游的濃度關(guān)系式：（7-92）在計(jì)算中，通常

的單位為m，風(fēng)速u用m/s表示，如果濃度C用

、

表示。如果y、z都取為零，那么公式（7-92）化為（7-93）這一方程金額已用來(lái)計(jì)算地面水平點(diǎn)源中心線的濃度。（三）地面水平以上高度H處的點(diǎn)源由式（7-89）知，對(duì)一有效高度為H的煙囪的擴(kuò)散，指數(shù)相

必須加以改變，需要把式（7-92）中的z以（z-H）代之，對(duì)于沒(méi)有反射的高度為H的點(diǎn)源（見(jiàn)圖7-16）濃度為（7-94）圖7-16

高度為H的點(diǎn)源的擴(kuò)散模型

圖7-17應(yīng)用假象源來(lái)描述在地面的反射“沒(méi)有反射”這一限制是極為重要的。這個(gè)方程對(duì)計(jì)算氣溶膠粒子在x方向下游某一點(diǎn)的濃度（地面水平）是有意義的。但是對(duì)于氣體污染物，將不會(huì)被地面所吸收，而要從地面水平擴(kuò)散回大氣里，即地面對(duì)氣體污染物不是一個(gè)匯。對(duì)該情況我們可以假想在-H處有一鏡像源，如圖7-17所示。在A點(diǎn)以后的陰影面積中濃度將增加，此陰影區(qū)中的濃度由兩個(gè)正態(tài)分布曲線疊加而定，即把式（7-94）進(jìn)行疊加，因而一項(xiàng)中包含（z+H）項(xiàng)，另一項(xiàng)包含（z-H）項(xiàng)，結(jié)果濃度方程為：（7-95）當(dāng)z=0時(shí)，方程（6-90）變?yōu)椋海?-96）該式表示具有反射時(shí)的地面水平的濃度。（五）標(biāo)準(zhǔn)誤差的決定以上推導(dǎo)的幾個(gè)公式是對(duì)下風(fēng)連續(xù)源有效的，對(duì)于瞬時(shí)或間歇的點(diǎn)源是無(wú)效的。此外，僅僅已知發(fā)散強(qiáng)度Q及有效高度H還是不夠的，還必須知道

值才能進(jìn)行計(jì)算。

吐?tīng)柲蜖枺═urner）根據(jù)大量觀測(cè)資料給出了

和

對(duì)距離x的關(guān)系圖，如圖7-18、7-19所示?？梢愿鶕?jù)不同大氣穩(wěn)定性等級(jí)及下游的位置x查得水平標(biāo)準(zhǔn)誤差及垂直標(biāo)準(zhǔn)誤差

，大氣穩(wěn)定性等級(jí)可以從表7-4中查得。

（六）有效煙囪高度的計(jì)算有效煙囪高度H是煙囪的實(shí)際高度h加上煙的上升高度

的方法，卡森（Carson）和莫塞斯（Moses）總結(jié)了711個(gè)煙的升高的觀測(cè)值得出：

表7-4大氣穩(wěn)定性等級(jí)表

10米高度處表面風(fēng)速m/s白天太陽(yáng)的輻射強(qiáng)度夜間氣象條件強(qiáng)中等弱云層覆蓋晴朗<22-33-55-6>6AA-BBCCA-BBB-CC-DDBCCDDEEDDDFFEDD（7-97）其中

——煙的升高，m；

——煙在煙囪出口的速度，m/s；D——煙囪直徑，m；u——煙囪出口處的風(fēng)速，m/s；——熱擴(kuò)散速度，kJ/s。

圖7-18標(biāo)準(zhǔn)誤差

與距離x間的函數(shù)關(guān)系

圖7-19標(biāo)準(zhǔn)誤差

與距離x間的函數(shù)關(guān)系這里m——煙囪內(nèi)的質(zhì)量流量，kg/s

；——煙氣的定壓比熱；

——分別為煙囪出口溫度及煙囪出口處的大氣溫度，

；P——大氣壓力。

郝蘭德（Holland）提出：（7-98）其中P——大氣壓力，單位是毫巴，其他符號(hào)同前。此外，莫塞斯和卡森還對(duì)不同大氣穩(wěn)定性提出了下列三個(gè)公式：（不穩(wěn)定）

（7-99）（中等穩(wěn)定）

（7-100）（穩(wěn)定）

（7-101）以上n個(gè)計(jì)算煙囪的升高的公式都是可取的。（七）煙囪高度的決定在煙囪的下風(fēng)側(cè)一般都存在其他企業(yè)和居民區(qū)，在那里濃度不得超過(guò)一定值C。風(fēng)速u從氣象資料中可以確定，主要問(wèn)題是求出所需的煙囪高度H。在中等穩(wěn)定氣象條件下，比例

幾乎與距離x無(wú)關(guān)。如果此比例取為常數(shù)，且讓y=0，那么由式（7-96）可知濃度是的單一函數(shù)。把式（7-96）對(duì)x求導(dǎo)數(shù)并令其等于零，可以得到沿中心線的最大濃度及其位置。即：（7-102）由式（7-102），

值可以由煙囪高度H加以確定，而從圖（7-19）中可以讀出x值，它是最大濃度所在位置，如果把條件代入式（7-96）且令y=0，那么在點(diǎn)源下游中心線地面水平的最大濃度為:（無(wú)反射時(shí)）

（7-103）（有反射時(shí)）

（7-104）改寫以上兩式得：（無(wú)反射時(shí)）

（有反射時(shí)）

若

已知，可從式（7-103）和（7-104）決定

值。再由圖7-20