高中數(shù)學(xué)必修一-三角函數(shù)圖像性質(zhì)總結(jié)(精華版)

一．正弦、余弦、正切函數(shù)圖象和性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)有界性有界有界無(wú)界定義域 值域當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 周期性是周期函數(shù)，最小正周期是周期函數(shù)，最小正周期奇偶性奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱單調(diào)性在上是單調(diào)增函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)對(duì)稱軸對(duì)稱中心正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像（一）三角函數(shù)的性質(zhì)

1、定義域與值域

2、奇偶性

（1）基本函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)：y＝sinx，y＝tanx；偶函數(shù)：y＝cosx.

（2）型三角函數(shù)的奇偶性

（?。ゞ（x）＝（x∈R）

g（x）為偶函數(shù)

由此得；

同理，為奇函數(shù).

（ⅱ）

為偶函數(shù)；為奇函數(shù).

3、周期性

（1）基本公式

（?。┗救呛瘮?shù)的周期y＝sinx，y＝cosx的周期為；y＝tanx，y＝cotx的周期為.

（ⅱ）型三角函數(shù)的周期

的周期為；

=5\*GB3⑤當(dāng)·；·.=6\*GB3⑥與是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，則.=7\*GB3⑦函數(shù)在上為增函數(shù).（×）[只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè)定義域，為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的].=8\*GB3⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函數(shù)：）奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：是奇函數(shù)，是非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）奇函數(shù)特有性質(zhì)：若的定義域，則一定有.（的定義域，則無(wú)此性質(zhì)）=9\*GB3⑨不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）；是周期函數(shù)（如圖）；為周期函數(shù)（）；的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：.=10\*GB3⑩有.二、形如的函數(shù)：1、幾個(gè)物理量：A―振幅；―頻率（周期的倒數(shù)）；―相位；―初相；2、函數(shù)表達(dá)式的確定：A由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點(diǎn)確定，如，的圖象如圖所示，則＝_____（答：）；3．函數(shù)最大值是，最小值是，周期是，最小正周期頻率是，相位是，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。4、研究函數(shù)性質(zhì)的方法：類比于研究的性質(zhì)，只需將中的看成中的，但在求的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意A和的符號(hào)，通過(guò)誘導(dǎo)公式先將化正。如（1）函數(shù)的遞減區(qū)間是______（答：）；（2）的遞減區(qū)間是_______（答：）；5、函數(shù)圖象的畫法：（1）利用“五點(diǎn)法”作函數(shù)(其中)的簡(jiǎn)圖，是將看著一個(gè)整體，先令列表求出對(duì)應(yīng)的的值與的值，用平滑曲線連結(jié)各點(diǎn)，即可得到其在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。②圖象變換法：這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法===由圖象推的圖象6．函數(shù)的圖象與圖象間的關(guān)系：圖象變換(1)振幅變換(2)周期變換(3)相位變換(4)上下平移(縱向平移變換):是由k的變化引起的．k＞0,上移；k＜0,下移具體變換方法：三角函數(shù)圖象的平移和伸縮函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象之間可以通過(guò)變化來(lái)相互轉(zhuǎn)化．影響圖象的形狀，影響圖象與軸交點(diǎn)的位置．由引起的變換稱振幅變換，由引起的變換稱周期變換，它們都是伸縮變換；由引起的變換稱相位變換，由引起的變換稱上下平移變換，它們都是平移變換．既可以將三角函數(shù)的圖象先平移后伸縮也可以將其先伸縮后平移．（一）先平移后伸縮的圖象得的圖象得的圖象得的圖象得圖象（二）先伸縮后平移的圖象得的圖象得的圖象得的圖象得圖象無(wú)論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移個(gè)單位，例如：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換才能得到的圖象？（答：向上平移1個(gè)單位得的圖象，再向左平移個(gè)單位得的圖象，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的2倍得的圖象，最后將縱坐標(biāo)縮小到原來(lái)的即得的圖象）；三、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)：（1）定義域：。（2）值域是R，在上面定義域上無(wú)最大值也無(wú)最小值；（3）周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期。絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說(shuō)來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定。如的周期都是,但的周期為，而，的周期不變