2020年數(shù)學(xué)中考最值問題試題總匯含答案

初中代數(shù)、幾何所有最值問題

一代數(shù)問題中的最值問題

1、從-3,-2,-1,4,5中任取兩個(gè)數(shù)相乘，所得積中最大值為。，最小值為6,求；的值？

b

.4

答案：？

2、若。,b,c都是大于1的自然數(shù)，且個(gè)=252b,求〃的最小值？

答案：42.

解析：252b可以分成某數(shù)基的形式。252b=6X6X7b,b=7,即a=6X7=42.

X即

3、下面是按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：

第一個(gè)數(shù)：1-11+二fl

2<2)

1(-1Y(-1)2Y(-1戶

第二個(gè)數(shù)：-11+_||1+__II1+___I

3I2W314J

I(-1V(-1)2Y卜1)3(-1)4Y(7產(chǎn)

第二個(gè)數(shù)：-Ii+_|i1+____||i+_____||1+||i+_____?

412A3JI4A人6J

第n個(gè)釉

if-1V(->)2V/)3r(_1產(chǎn)n

_-|l+_U+____II1+?.......H+?

IT/4J—(72〃J

那么在第10個(gè)數(shù)，第11個(gè)數(shù)，第12

個(gè)數(shù)中，最大數(shù)是？

答案：第10個(gè)。

1-n

解析:第〃個(gè)數(shù)是把"=10,〃=11,"=12,"=13分別代入得出答案。

2("+1)

4、已知:「說是整數(shù)，求滿足條件的最小整正數(shù)"的值?

答案：5

解析.20n=4X5Xn,因?yàn)?20月是整數(shù),20n是一個(gè)完全平方數(shù)，，n的最小值為5

4、當(dāng)（m+n）z+1取最小值時(shí)，求」--+相』的值?

答案：0

解析：（m+n）?+1取最小值，m+n=0時(shí)最小。再用特值法求出答案。

5、設(shè)a=35。,6=440,c=53。,求a,6,c中最大和最小的是？

答案：最大是6,最小時(shí)°。

解析：350=35,O,440=44,O,530=53，°

v44>35>53,>a>c

二.b最大,c最小.

6^已知正整數(shù)。,方,。(其中滿足a"c=M+30,求a+b+c的最大值和最小值。？

答案：最大值是33,最小值是13.

舟慚：vabc-ah=30,/.a/,(c-l)=5x6^1x30

又「為正整數(shù)，且a工b?.當(dāng)a"=5且c-l=6時(shí)有最小值。，a=5,b=l,c=7

Q+b+c=3

當(dāng)〃>(。_1)=以30時(shí)有最大值，ab=30,c-\=1

a=30,b=1,c=2,.,.a+b+c=32>

6x2+12x+10

7、求分式「--------的值的最小值？

x2+2x+2

統(tǒng)4

解析：把分子與分母看成是兩個(gè)二次函數(shù)，分別求出最小值在比商得出答案。

8、已知三角形的三邊a、b、c都是正整數(shù)，且[a,b,c]=60,(a.b)=4,(b.c)=3.

求a+b+c的最小值？

答案：31

解析：由[a,b,c]=6O可知，A,B,C的最小公倍數(shù)是60,60=2X2X3X5,由(a,b)=4

可知，a,b的最大公約數(shù)是4,；.a=4,b=12,由(b,c)=3可知，b,c的最大公約數(shù)是3,

c=15,且a=4>b=12,c=15能組成三角形。.,.a+b+c=31

9、2020年2月20S,全國19省市對(duì)口支援湖北的16個(gè)市，為援鄂的白衣天使驕傲。將

176名醫(yī)護(hù)逆行者分成甲乙兩組，因感染人的不斷增加，將從甲組抽出16名醫(yī)護(hù)到乙組，

這時(shí)乙組人數(shù)比甲組人數(shù)的m倍還多31人，求乙組原來至少有多少人？

答案：131

解析：這是帶參數(shù)的二元一次方程組。設(shè)甲原來有x人，乙原來有y人，

卜+y=176

lv-i6=a(v+16)+31

整理得用+1Vx,y,m都是整數(shù)，.?.當(dāng)m=5或29或144時(shí)此方程為整數(shù)。

?,.當(dāng)m=5時(shí)，y值最小。最小值為131.

9、有兩個(gè)整數(shù)的和，差，積，商的和為144,求這兩個(gè)數(shù)對(duì)有幾種可能？這兩數(shù)和的最小

值是多少？這兩數(shù)積的最大值是多少？

答案：有7對(duì)(11,11)(一13,-13),(3,27),(-5,-45),(2,32),(—4,-64)

(-2,-288)。和最大值是34,積最大值是576.

解析：設(shè)兩數(shù)分別是x,y,由題意可知：(x+1)+(x->)+孫+L=144

y

整理得;±3+1)2=1X32x42

y

分類討論"=1,3+1)2=144；

y

當(dāng)t=9時(shí)3+1)2=16

y

當(dāng)士=16時(shí)(y+l)2=9

y

當(dāng)「=144時(shí)3+1)2=1,解出四種情況得出答案。

Y

10^如果兩個(gè)數(shù)x,歹滿足x+y+3=10-7-工一歹,求x+y的最小值。答案：一3

解析：設(shè)、+>=加，任根據(jù)緝對(duì)值地幾何意R可得出答案。

11>已知非負(fù)數(shù)x,yfz滿足與^=231=設(shè)卬=3x+4y+5z,求卬的最大值和最小值？

答案：最小值：19；最大值：35，

3

解析：題目中w含三個(gè)未知數(shù)，但這三個(gè)未知數(shù)滿足一個(gè)等式，因此用換元法得出一個(gè)新的方程,

將題目簡化。

12、已知實(shí)數(shù)x,yf求〃7=5/一4切+/—4工+6的最小值和當(dāng)它取最小值時(shí)工與?的值？

答案：x=2,y=4f最小值：2

解析：把右邊進(jìn)行配方成完全平方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)來求最小值。

13、已知a,b,c是三個(gè)非負(fù)數(shù)，并滿足3Q+26+C=5,2Q+6-3c=1,設(shè)機(jī)=3a+b-7c,

記x為根的最大值，y為〃?的最小值。求中的值。

a=7c-3

解析：由條件組成方程組，解得a,6的值,代入m=3a+b-7c,

/=7-llc

37

zn=3c-2.又a,b,c為非負(fù)數(shù)，故一一

711

當(dāng)c=Z時(shí)，x---當(dāng)c=2時(shí)，y=-—：

111177

平面幾何中的最值問題：幾何模型(代數(shù)幾何化；兩點(diǎn)之間線段最短；三角形三邊關(guān)系)；函

數(shù)模型。

幾何模型：

【幾何數(shù)化求最值】

代

1、如圖，是由9個(gè)等邊三角形組成的裝飾圖，已知中間最小的三角形的邊長為1cm,現(xiàn)在

要此圖的外圍鑲一條彩帶，問彩帶最少要多長？

答案:30

解析：AG=x轉(zhuǎn)化成方程來解。

【兩點(diǎn)之間線段最短】

1、如圖，在一條船筆直的公路MN的同旁有兩個(gè)新開發(fā)區(qū)A,B,已知AB=10千米，直線

AB與公路MN的夾角/AON=30°,新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米。

⑴求新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離。

⑵現(xiàn)從MN上某一點(diǎn)P處向新開發(fā)區(qū)A,B修兩條公PA,PBo使點(diǎn)P到新開發(fā)區(qū)A,B的距

離和最短，請(qǐng)用尺規(guī)作圖找出P的位置（保留作圖痕跡，不寫畫法），并求出此時(shí)的最小值？

答案：⑴8千米⑵將軍飲馬模型求p點(diǎn)。PA+PB的最小值是14千米。

解析：⑴作AD_LMN與D點(diǎn)，利用Rt△中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出答案

⑵

過B作HB'_LMN,連接AB'交MN與點(diǎn)P,P點(diǎn)即為所求。PA+PB的最小值就是AB

過A作AH_LHB',垂足為H,根據(jù)三角函數(shù)可知HB=5,HB'=11,

AH=5KAB,=dAH2+HB，=+11?=\4=PA+PB

【三角形三邊關(guān)系】：

1、如圖、在△ABC中，AC=BC=2,/ACB=90°,P為BC邊上一定點(diǎn)，(不與點(diǎn)B,C重合)，Q為AB邊

上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)BP=a,(0<a<2),請(qǐng)寫出CQ+PQ的最小值？并說明理由。

答案:^4+a2

解析：找Q點(diǎn)有兩種方法：圖2是作P點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P',連接cp'交AB于Q點(diǎn)；圖3是作C關(guān)

于AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接C'P,交AB于點(diǎn)Q。

在圖2中，放yBP，中，CP'=>/CB2+BP,2=V4+a2

/.CQ+PQ=V4+a2

2、在AABC中，ZA=15°,AB是定長，點(diǎn)D,E分別在AB,AC上運(yùn)動(dòng)，連接BE,ED,若BE+ED的值最

小值是2,求AB的長。

圖1

答案：AB=4

解析：作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B',過B'作B'D±AB,交AC于E。連接AB'

由對(duì)稱性可知AB=AB',DB'=DE+BE性,/BAB'=30°

AB=AB'=---=4

sin30°

3、如圖，平行四邊形ABCD中，NBAD=60°,AB=6,BC=2,P為CD邊上的一動(dòng)點(diǎn),

則*爭。的最小值?

答案；：3右

解析：過作BH_LAD的延長線與H點(diǎn)。?.,AB〃DC；./HDC=NA=60°,

.,.BH=sin60°X6=3^

HP=sin60°xDP=—xDP,

2

BH=HP+BP=—OP+PS=3V3

2

4、BM=6.P西】如圖，在正方形ABCD中，AB=8,AC與BD交于0點(diǎn)，N是0A的中點(diǎn)，點(diǎn)M在BC上，且

B\I=6.P為對(duì)角線上一點(diǎn)，貝UPM-PN的最大值是____.

圖1

答案：2

解析：找N關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)N',連接MN'交BD于P點(diǎn)。

根據(jù)題意易得;AN=ON=ON'=N'C=2V2

CNCM2V2

=-,ZNCM=NACB

BC'8尤8

.“NCMiACB,

NMIAB,PM_LBC

PM=tan45°xMB=6

NNCM=CN'M=ZPN'N=ZPNC=45°

NP==PN'=4

PM-PN=6-4=2

【幾何中面積最值】：本質(zhì)是各種圖形的面積公式，方法：轉(zhuǎn)化成1、總面積等于部分面積和;

2、轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題。

1、如圖，RtZ\ABC中，ZB=90°,AB=4,BC=3,動(dòng)點(diǎn)P從A以2個(gè)單位每秒的速度向B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q

以1個(gè)單位速度每秒從B向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)間為多少時(shí)，四邊形APQC的面積最??？

答案：1

解析：此題所求面積是總面積（不變）-apeQ的面積。要使此面積最小，只有三角形的面積

最大。

設(shè)時(shí)間為，，&BPQ=^SPxBQ=-r2+2z

2

當(dāng)仁一=1時(shí)，面積最大，此時(shí)四邊形4PQC的面積最小。

2x(-1)

2,如圖，平行四邊形ABCD中，AB=4,BC=3,ZBAD=120°,E為BC上一動(dòng)點(diǎn)，（不與B重合），

作EF_LAB與點(diǎn)F,設(shè)BE=x,ADEF的面積為S,當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，$有最大面積，最大值為多

少？

答案：E與C重合時(shí)（x=3）,最大值為34

解析：由題可知，s與x是函數(shù)關(guān)系，故延長FE,DC交于點(diǎn)G

.".FG1DGVZBAD-12O0,由三角函數(shù)可求得EF,DG的長。

S=-EFXDG=-—X2+^-X

288

其中0<xM3

11V3

..Yb_k_H牝

?X-----7=-，-----Y0

2a"行］28

2x-

I8J

.,.當(dāng)x=3時(shí)s的值最大，最大值=3VJ

3、如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，ZA=60°,M是AD的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將AAMN

沿MN所在的直線翻折得到△△'MN,連接A'C,則A'C的長度的最小值是多少？

解析：核心方法：求一條線段的最值問題一般是將這條線段轉(zhuǎn)化到頂點(diǎn)所在線段線段上，線段

共線，最小值用減法，最大值用加法。

此題要求A'C的最小值，故把A'C轉(zhuǎn)化到線段CM上,用CM-MA'.過M作MHLCD的延長線與H點(diǎn)。

VZA=60°Z1=.60°,,Z2=30

是中點(diǎn)，...AM=MD=1,...HD=l/2,""=當(dāng)

HC=-

2

MC=\IMH2+HC2=V7

由翻折性質(zhì)可知：AM=MA=\

：.AC=V7-1

【圓中的最值問題】1、圓中最大弦是直徑，2、圓外點(diǎn)與圓上點(diǎn)的最短距血和最長距離，3、

動(dòng)點(diǎn)定角對(duì)定線段作輔助圓。

1、在aABC中，ZA=60°,a=2,求aABC的面積的最大值？

答案：內(nèi)

解析：ZA=60°（定角）對(duì)的邊a=2（定線段），點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，作輔助圓--------以a為弦，圓周

角為60°作圓，要使三角形面積最大，底邊不變，高必須最大，故4ABC為等邊時(shí)a邊上的高最

大。有等邊三角形的面積=彳“。得出答案。

2、如圖，RSABC中,ABXBC,AB=6,BC=4,P是AABC內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足NPAB=NPBC,求線

段CP的長的最小值？

解析：由題意可知NAPB=90°（定角），所對(duì)的邊AB=6（定線段），P是動(dòng)點(diǎn)，，作以AB為直徑

的。。，CP的最小值轉(zhuǎn)化成圓外點(diǎn)與圓上點(diǎn)的最短距離，就是圓外點(diǎn)P與圓心0連線交。。于P點(diǎn)。

.?.0B=6+2=3,BC=4,，0C=5,0P=0B=3,

：.CP=2

3、在RtZkABC中,NACB=90°,AC=8,BC=3,點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,交以CD為直徑的圓與

點(diǎn)E，求線段BE的長度的最小值。

c

c

01

圖

圖12

答案：1

解析：圖2由題意易知/CEA=90°（定角），所對(duì)的邊AC=8（定線段），E點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，...以三點(diǎn)

C,E,A作圓,

BE=B0j

ZACB=90°

CO|=g/C=gx8=4=EO],3c=3

BO】=5,

BE=BOj-EO1=5-4=1

4、如圖，△ABC為等邊三角形，AB=2,若P為AABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足NPAB=/ACP,求線段PB長

度的最小值？

圖2

2拒

答案：3

解析：圖2,由題意易知：NAPC=120"（定角），AC=AB=2（定線段），點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，

P

述

...過三點(diǎn)A,C,P作圓，易知AOPA為等邊三角形，由垂徑定理知0A=AE+sin60°==3=0P

4Ji

4=2+COS30°=—

3

.PRnRcp4行2百2VI

??rr>=OB-Or=-----------------=--------

333

【解析幾何中的最值問題】：1、二次函數(shù)圖像的最值；解題方法：在區(qū)間取兩端；

2、函數(shù)圖像與幾何圖形中的最問題：

值

解題的核心：用解剖法各個(gè)擊破（題中告訴啥就干啥）

1、已知二次函數(shù)y=x?—2x+2在tWxWt+1時(shí)有最小值是t,求t的值？

答案：1或2

解析1：有題意可知：對(duì)稱軸x=l,開口向上，

當(dāng)*丸+1時(shí)，函數(shù)有最小值t.

可得方程：t=(t+l)2—2(t+1)+2此方程無解

當(dāng)對(duì)稱軸x=l在t與t+1之間時(shí)，最小值t=l;

當(dāng)x在對(duì)稱軸的右邊時(shí)，y隨x的增大而增大，止匕時(shí)x=t有最小值t,即t=t?-2t+2

解得：t=l或2

綜合上述：t的值為1或2.

解析2：在區(qū)間取兩端。

當(dāng)x=t是函數(shù)值最小為t,代入得t=t2