第七章直線回歸相關(guān)分析課件

直線相關(guān)與回歸分析.復(fù)習(xí)1、方差分析的用途。2、方差分析的基本思路3、方差分析的出發(fā)點(diǎn)4、方差分析的步驟5、單因素方差分析中SST、SSt、SSe的含義及三者的關(guān)系。.第九章第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)回歸與相關(guān)的概念直線回歸直線相關(guān)本章節(jié)內(nèi)容.第一節(jié)：回歸與相關(guān)的概念

前面各章我們討論的問題，都只涉及到一個(gè)變量，如體重、日增重、產(chǎn)仔數(shù)、體溫、血糖濃度、產(chǎn)奶量、產(chǎn)毛量或孵化率、發(fā)病率等。但是，由于客觀事物在發(fā)展過程中相互聯(lián)系、相互影響，因而在生物學(xué)研究中常常要研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上變量間的關(guān)系。

.

一、確定的函數(shù)關(guān)系：變量間存在著完全確定性的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以用精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示。

二、不完全確定的函數(shù)關(guān)系：變量間不存在完全的確定性關(guān)系，不能用精確的數(shù)學(xué)公式來表示，統(tǒng)計(jì)學(xué)中把這些變量間的關(guān)系稱為協(xié)變關(guān)系(相關(guān)關(guān)系)，把存在協(xié)變關(guān)系的變量稱為協(xié)變量(相關(guān)變量)。

研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上變量間的關(guān)系有兩類：

.相關(guān)變量因果關(guān)系平行關(guān)系一個(gè)變量的變化受另一個(gè)變量或幾個(gè)變量的制約。兩個(gè)以上變量之間互為因果或共同受到另外因素的影響。.1、回歸分析（regressionanalysis）研究呈因果關(guān)系的相關(guān)變量間的關(guān)系。表示原因的變量稱為自變量，表示結(jié)果的變量稱為依變量。一因一果，一元回歸分析一個(gè)自變量與一個(gè)依變量的回歸分析，分為直線回歸分析與曲線回歸分析兩種。多因一果，多元回歸分析多個(gè)自變量與一個(gè)依變量的回歸分析，分為多元線性回歸分析與多元非線性回歸分析兩種。.回歸分析的任務(wù)：

揭示出呈因果關(guān)系的相關(guān)變量間的聯(lián)系形式，建立它們之間的回歸方程，利用所建立的回歸方程，由自變量（原因）來預(yù)測(cè)、控制依變量（結(jié)果）。

回歸分析主要包括：找出回歸方程；檢驗(yàn)回歸方程是否顯著；通過回歸方程來預(yù)測(cè)或控制另一變量。.2、相關(guān)分析(correlationanalysis)

研究呈平行關(guān)系的相關(guān)變量之間的關(guān)系。簡(jiǎn)單相關(guān)分析：對(duì)兩個(gè)變量間的直線關(guān)系進(jìn)行相關(guān)分析，也稱為直線相關(guān)分析。復(fù)相關(guān)分析：對(duì)多個(gè)變量進(jìn)行相關(guān)分析時(shí)，研究一個(gè)變量與多個(gè)變量間的線性相關(guān)；偏相關(guān)分析：

研究其余變量保持不變的情況下兩個(gè)變量間的線性相關(guān)。 ..第二節(jié)：直線回歸

LinearRegression一、直線回歸方程的建立二、直線回歸的數(shù)學(xué)模型和基本假定三、直線回歸的假設(shè)檢驗(yàn)四、直線回歸的區(qū)間估計(jì).一、直線回歸方程的建立通過試驗(yàn)或調(diào)查獲得兩個(gè)變量的n對(duì)觀測(cè)值：（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn）。為了直觀地看出x和y間的變化趨勢(shì)，可將每一對(duì)觀測(cè)值在平面直角坐標(biāo)系描點(diǎn)，作出散點(diǎn)圖。1、散點(diǎn)圖：x與y的關(guān)系散點(diǎn)圖.兩個(gè)變量間關(guān)系的性質(zhì)（正向協(xié)同變化或負(fù)向協(xié)同變化）和程度（關(guān)系是否密切）兩個(gè)變量間關(guān)系的類型（直線型或曲線型）是否有異常觀測(cè)值的干擾

散點(diǎn)圖直觀地、定性地表示了兩個(gè)變量之間的關(guān)系。為了探討它們之間的規(guī)律性，還必須根據(jù)觀測(cè)值將其內(nèi)在關(guān)系定量地表達(dá)出來。

從散點(diǎn)圖可以看出：.X每一個(gè)取值都有Y的一個(gè)正態(tài)分布與之對(duì)應(yīng)。根據(jù)回歸的定義：

由于依變量y的實(shí)際觀測(cè)值總是帶有隨機(jī)誤差，因而依變量y的實(shí)際觀測(cè)值yi可用自變量x的實(shí)際觀測(cè)值xi表示為：（i=1,2,…,n）（6-1）

式中：α，β為未知參數(shù)，

i為相互獨(dú)立，且服從N（0，）的隨機(jī)變量。這就是直線回歸的數(shù)學(xué)模型。2、直線回歸的數(shù)學(xué)模型.總體線性回歸模型的圖示YX觀察值觀察值.總體線性回歸模型因變量自變量參數(shù)隨機(jī)誤差y條件平均數(shù).為了描述X與Y間的數(shù)量關(guān)系，必須找出一個(gè)能代表Y的值與χi對(duì)應(yīng)，這個(gè)代表值只能是當(dāng)X=χi時(shí)，Y的平均數(shù)μy/X=χi。μy/X=χi稱為Y的條件平均數(shù)。如何估計(jì)μy/X=χi是直線回歸所要解決的問題。.根據(jù)回歸方程所畫出的直線稱為回歸線，b是直線的斜率，稱為回歸系數(shù)。多次重復(fù)的平均值所做的直線估計(jì)總體最理想實(shí)際應(yīng)用中并不設(shè)置重復(fù)，而是直接用n對(duì)觀察值估計(jì)總體回歸線。怎樣通過實(shí)際觀測(cè)值得到總體回歸α

和β的最好點(diǎn)估計(jì)值a和b？.下一張

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設(shè)回歸直線方程為:（6-2）其中，是α的估計(jì)值，b是β的估計(jì)值。最小二乘估計(jì)法參數(shù)α，β的估計(jì).建立樣本線性回歸方程的方法

最小二乘法實(shí)際觀察值與樣本回歸線上的點(diǎn)的距離的平方和最小xye1e2e3e4最小

原則：回歸直線是指所有直線中最接近散點(diǎn)圖全部散點(diǎn)的直線，即最好的直線是使總的估計(jì)誤差達(dá)到最小的直線。.最小最小二乘法(methodofleastsquare)a、b應(yīng)使回歸估計(jì)值與實(shí)際觀測(cè)值的誤差平方和最小，即：最小這種使估計(jì)誤差平方之和達(dá)最小的參數(shù)估計(jì)方法稱為最小二乘法。.令Q對(duì)a、b的一階偏導(dǎo)數(shù)等于0，即：

整理得關(guān)于a、b的正規(guī)方程組:

解正規(guī)方程組，得：

.自變量x的離均差與依變量y的離均差的乘積和。

a叫做樣本回歸截距，是總體回歸截距的最小二乘估計(jì)值也是無(wú)偏估計(jì)值，是回歸直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，當(dāng)x=0時(shí)，

y=a；

簡(jiǎn)稱乘積和，記作SPxy或Ssxy

。

簡(jiǎn)稱SSX

。b叫做樣本回歸系數(shù)，表示x改變一個(gè)單位，y平均改變的數(shù)量；b的符號(hào)反映了x影響y的性質(zhì)，b的絕對(duì)值大小反映了x影響y的程度;.為最小值基本性質(zhì).變量1變量2收集數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖溫度天數(shù)XY平均溫度（℃）歷期天數(shù)（d）

11.830.114.717.315.616.716.813.617.111.918.810.719.58.320.46.7.XY平均溫度（℃）歷期天數(shù)（d）

11.830.114.717.315.616.716.813.617.111.918.810.719.58.320.46.7..以上計(jì)算也可在回歸計(jì)算表中進(jìn)行。序號(hào)kXiYiXi2XiYiYi212∑回歸方程計(jì)算表1（一級(jí)數(shù)據(jù)）.∑Xi=

∑Yi=

n=

X=Y=∑Xi2=∑XiYi=∑Yi2=（∑Xi）2/n=（∑Xi∑Yi）/n=（∑Yi）2/n=SSx=SPxy=SSy=b=SPxy/SSx＝a=y-bx＝回歸方程計(jì)算表2（二級(jí)數(shù)據(jù)）注：x，y分別為X，Y的平均數(shù).01020304010121416182022溫度天數(shù)（天）（℃）11.8-----20.4b的生物學(xué)意義：當(dāng)溫度提高一個(gè)單位時(shí)，歷期縮短2.5317天。a的生物學(xué)意義：當(dāng)溫度為0時(shí)，歷期是57.04天。根據(jù)直線回歸方程可作出回歸直線，見圖。從圖看出，并不是所有的散點(diǎn)都恰好落在回歸直線上，這說明用去估計(jì)y是有偏差的。.二、直線回歸的假設(shè)檢驗(yàn)有意義指導(dǎo)實(shí)踐？是否真正存在線性關(guān)系回歸關(guān)系是否顯著.（一）對(duì)回歸方程的F檢驗(yàn)1、直線回歸的變異來源yy-y實(shí)際值與估計(jì)值之差，剩余或殘差。y-y估計(jì)值與均值之差，它與回歸系數(shù)的大小有關(guān)。y=a+bxy-yy-y(x,y).依變量

y的平方和，總平方和，記SST或SS總?；貧w平方和USSR離回歸平方和QSSE.y的離均差，反映了y的總變異程度，稱為y的總平方和。說明未考慮x與y的回歸關(guān)系時(shí)y的變異。

它反映在y的總變異中由于x與y的直線關(guān)系，而使y變異減小的部分，在總平方和中可以用x解釋的部分。

SSR（U）值大，說明回歸效果好。為由x變異引起y變異的平方和，稱回歸平方和(regressionsumofsquares)USSR.誤差因素引起的平方和，反映了除去x與y的直線回歸關(guān)系以外的其余因素使y引起變化的大小。反映x對(duì)y的線性影響之外的一切因素對(duì)y的變異的作用，也就是在總平方和中無(wú)法用x解釋的部分。離回歸平方，誤差平方和，殘差（剩余）平方和(residualsumofsquares)SSEQ在散點(diǎn)圖上，各實(shí)測(cè)點(diǎn)離回歸直線越近，SSE

（Q）值越小，說明直線回歸的估計(jì)誤差越小。..直線回歸分析中，回歸自由度等于自變量的個(gè)數(shù)，只涉及到1個(gè)自變量df回歸＝1df總＝n-1df離回歸＝n-2.Q/n-2離回歸標(biāo)準(zhǔn)差回歸估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤剩余標(biāo)準(zhǔn)差離回歸方差.兩個(gè)變量是否存在線性關(guān)系，可采用F檢驗(yàn)法進(jìn)行?？傮w回歸截踞總體回歸系數(shù)隨機(jī)誤差若x與y間不存在直線關(guān)系，則總體回歸系數(shù)β=0;若x與y間存在直線關(guān)系，則總體回歸系數(shù)β≠0.假設(shè)H0:兩變量間無(wú)線性關(guān)系HA:兩變量間有線性關(guān)系在無(wú)效假設(shè)存在下，回歸方差與離回歸方差的比值服從F分布。df1=1df2=n-22、F顯著性檢驗(yàn).H0:黏蟲孵化歷期平均溫度x與歷期天數(shù)y之間不存在線性關(guān)系HA:兩變量間有線性關(guān)系變異來源dfSSs2FF0.05F0.01

回歸1353.6628353.662889.89**5.9913.74

離回歸623.60603.9343

總變異7377.2688.檢驗(yàn)線性回歸系數(shù)的顯著性，采用t檢驗(yàn)法進(jìn)行。(二）t檢驗(yàn)b的方差：.df=n-2假設(shè)H0:β=0

HA:β≠0檢驗(yàn)樣本回歸系數(shù)b是否來自β=0的雙變量總體，以推斷線性回歸的顯著性。

說明樣本回歸系數(shù)的變異程度不僅取決于誤差方差的大小，也取決于自變量X的變異程度。如果自變量X的變異程度大，即取值分散一些，則b的變異就會(huì)小一些，b就會(huì)穩(wěn)定一些，回歸方程所估計(jì)出的值就會(huì)精確一些。..否定H0:β=0，接受HA:β≠0，認(rèn)為黏蟲孵化歷期平均溫度與歷期天數(shù)間有真實(shí)直線回歸關(guān)系。.同一概率值F（一尾）值（df1=1,df2=n-2）t值（兩尾）（df=n-2）.

依變量對(duì)自變量的回歸關(guān)系是通過回歸系數(shù)來體現(xiàn)的，截距的大小對(duì)回歸關(guān)系沒有影響。當(dāng)截距為0時(shí)，表示回歸直線通過原點(diǎn)（0，0）。有時(shí)需要檢驗(yàn)回歸直線是否通過原點(diǎn)，就要對(duì)是否為0進(jìn)行檢驗(yàn)，可以利用t檢驗(yàn)，為此需要先求出的期望和方差：(三）對(duì)截距的檢驗(yàn)df=n-2假設(shè)H0:=0HA:≠0.與0的差異是極顯著的，也就是說沒有通過原點(diǎn)。.

特別要指出的是：利用直線回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)或控制時(shí)，一般只適用于原來研究的范圍，不能隨意把范圍擴(kuò)大，因?yàn)樵谘芯康姆秶鷥?nèi)兩變量是直線關(guān)系，這并不能保證在這研究范圍之外仍然是直線關(guān)系。若需要擴(kuò)大預(yù)測(cè)和控制范圍，則要有充分的理論依據(jù)或進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)依據(jù)。利用直線回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)或控制，一般只能內(nèi)插，不要輕易外延。.第三節(jié)：直線相關(guān)LinearCorrelation一、相關(guān)系數(shù)和決定系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)三、相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì).一、相關(guān)系數(shù)xy線性關(guān)系了解x和y相關(guān)以及相關(guān)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù).相關(guān)類型正相關(guān)負(fù)相關(guān)零相關(guān).IIIIIIIVIIIIIIIVIIIIIIIV.IIIIIIIV正相關(guān).IIIIIIIV正相關(guān)IIIIIIIV負(fù)相關(guān).IIIIIIIV零相關(guān).直線相關(guān)的兩個(gè)變量的相關(guān)程度和性質(zhì)乘積和互變量（1)單位問題（2)x與y本身的變異會(huì)影響x與y之間的相關(guān)性？ｎ這個(gè)統(tǒng)計(jì)量也稱為樣本協(xié)變量（covairance）,表示Cov(x,y)。.rr可以用來比較不同雙變量的相關(guān)程度和性質(zhì)。.樣本總體.兩個(gè)變量在相關(guān)系數(shù)計(jì)算中的地位是平等的，沒有自變量和依變量之分相關(guān)回歸區(qū)別聯(lián)系..用y可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)y值x與y完全相關(guān)。完全正相關(guān)完全負(fù)相關(guān)散點(diǎn)圖上所有點(diǎn)必在一條直線上。.回歸一點(diǎn)作用也沒有，即用x的線性函數(shù)完全不能預(yù)測(cè)y值的變化。x與y之間不存在直線相關(guān)關(guān)系，這時(shí)散點(diǎn)圖分布紊亂，沒有直線的趨勢(shì)，但可能存在非線性關(guān)系。IIIIIIIV.x的線性函數(shù)對(duì)預(yù)測(cè)y值的變化有一定作用，但不能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，說明y還受其他因素（包括隨機(jī)誤差）的影響。.相關(guān)系數(shù)(r)和決定系數(shù)(r2)

的區(qū)別(1)除去r=1和0的情況外，r2<r，這樣可以防止對(duì)相關(guān)系數(shù)所表示的相關(guān)程度作夸張的解釋。（2）r可正可負(fù)，r2取正，r2一般只用于表示相關(guān)程度而不表示相關(guān)性質(zhì)。.溫度天數(shù)黏蟲孵化歷期平均溫度與歷期天數(shù)成負(fù)相關(guān)。x和y的變異有93.74％可用二者之間的線性關(guān)系來解釋。.H0:ρ=0

HA:ρ≠0r是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，反映線性關(guān)系強(qiáng)弱的指標(biāo)。而由于可能存在抽樣誤差，并不能直接說明總體線性相關(guān)關(guān)系是否確實(shí)存在。對(duì)于相關(guān)系數(shù)r作顯著性檢驗(yàn)的無(wú)效假設(shè)為ρ=0，即測(cè)定r來自ρ=0總體的概率，也就是判斷r所代表的總體是否存在直線相關(guān)?？傮w相關(guān)系數(shù)ρ=0二、相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn).（一）假設(shè)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)方法有：F檢驗(yàn)t檢驗(yàn)利用相關(guān)系數(shù)臨界值表1、F檢驗(yàn)從兩個(gè)變量中任選出一個(gè)變量，求出它的平方和并將其剖分為相關(guān)平方和與非相關(guān)平方和。如選擇變量y，其平方和及其剖分為：式中：等式右邊的第1項(xiàng)為相關(guān)平方和；第2項(xiàng)為非相關(guān)平方和。.綜上所述，可歸納成方差分析表(analysisofvariancetable)S非相關(guān)2n-2SS非相關(guān)非相關(guān)n-1SS總總和S相關(guān)21SS相關(guān)相關(guān)F均方自由度平方和變異來源F＝S相關(guān)2S非相關(guān)23.9623.6非相關(guān)7SS總總和353.71353.7相關(guān)F均方自由度平方和變異來源F＝90.7﹡﹡F0.05F0.0113.745.99.F值的計(jì)算實(shí)際上可以不考慮，因?yàn)榉帜负头肿佣加兴?，可以約掉。如果選擇x并對(duì)其平方和進(jìn)行剖分，結(jié)果一樣的。.（１）假設(shè)（2）水平（3）檢驗(yàn)（4）推斷H0:ρ=0；HA:ρ≠0選取顯著水平α＝0.01否定H0，接受HA；推斷r極顯著，黏蟲孵化歷期溫度與歷期天數(shù)之間存在著極顯著的直線相關(guān)關(guān)系。2、t檢驗(yàn).3、利用相關(guān)系數(shù)臨界表檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)可不計(jì)算t值，直接從附表12查出df=n-2時(shí)r的臨界值。

臨界值特點(diǎn)：當(dāng)樣本對(duì)子數(shù)很少時(shí)，樣本相關(guān)系數(shù)很大時(shí)才會(huì)顯著；而當(dāng)對(duì)子數(shù)大到100時(shí)，只要達(dá)到0.1946就顯著。.r經(jīng)顯著性檢驗(yàn)的結(jié)果呈不顯著時(shí)，便推斷兩變數(shù)間不存在相關(guān)關(guān)系，這時(shí)不能用r代表其相關(guān)密切程度。.三、相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)r值經(jīng)假設(shè)檢驗(yàn)達(dá)到顯著水平，需要由r估計(jì)總體相關(guān)系數(shù)ρ所在的區(qū)間。ρy(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)(xn,yn)X.ρ＝0兩變量無(wú)直線相關(guān)關(guān)系ρ≠0兩變量有直線相關(guān)關(guān)系.正態(tài)分布..黏蟲孵化歷期溫度與歷期天數(shù)的總體相關(guān)系數(shù)ρ的95％的置信區(qū)間為（-0.9944，-0.8294）。.相關(guān)與回歸的聯(lián)系回歸方程的顯著性回歸系數(shù)的顯著性相關(guān)系數(shù)的顯著性一致xy.三者同時(shí)顯著或不顯著。r與b的符號(hào)一致，由兩變量離均差乘積之和的符號(hào)決定。相關(guān)與回歸的聯(lián)系.r：+,兩變量間的相互關(guān)系是同向變化的。b：+,x增（減）一個(gè)單位，y平均值增（減）b個(gè)單位。相關(guān)與回歸的聯(lián)系.用回歸解釋相關(guān)。相關(guān)與回歸的聯(lián)系.y關(guān)于x的直線回歸系數(shù)x關(guān)于y的直線回歸系數(shù)xy.回歸相關(guān)x是可以精確測(cè)量和嚴(yán)格控制的變量。y服從正態(tài)分布。x服從正態(tài)分布。y服從正態(tài)分布。I型回歸II型回歸相關(guān)與回歸的區(qū)別資料要求xy.兩變量間依存變化的數(shù)量關(guān)系兩變量間相關(guān)關(guān)系回歸相關(guān)相關(guān)與回歸的區(qū)別應(yīng)用xy單向xyxy雙向.回歸系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的正負(fù)號(hào)都由兩變量離均差積之和的符號(hào)決定，所以同一資料的b與其r的符號(hào)相同?；貧w系數(shù)有單位，形式為（應(yīng)變量單位/自變量單位），相關(guān)系數(shù)沒有單位。相關(guān)系數(shù)的范圍在-1～+1之間，而回歸系數(shù)沒有這種限制。.有些資料用相關(guān)表示較適宜，比如兄弟與姐妹間的身長(zhǎng)關(guān)系、人的身長(zhǎng)與前臂長(zhǎng)之間的關(guān)系等資料。有些資料用相關(guān)和回歸都適宜，此時(shí)須視研究需要而定。就一般計(jì)算程序來說，是先求出相關(guān)系數(shù)r并對(duì)其進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，如果r顯著并有進(jìn)行回歸分析之必要，再建立回歸方程。.注意問題作相關(guān)與回歸分析要有實(shí)際意義。不要把毫無(wú)關(guān)聯(lián)的兩個(gè)事物或現(xiàn)象用來作相關(guān)或回歸分析。****如兒童身高的增長(zhǎng)與小樹的增長(zhǎng)，作相關(guān)分析是沒有實(shí)際意義的，如果計(jì)算由兒童身高推算小樹高的回歸方程則更無(wú)實(shí)際意義。也許算得的r、b是顯著的，也是沒有意義的。

.相關(guān)分析只是以相關(guān)系數(shù)來描述兩個(gè)變量間相互關(guān)系的密切程度和方向，并不能闡明兩事物或現(xiàn)象間存在聯(lián)系的本質(zhì)。對(duì)相關(guān)分析的作用要正確理解。****注意問題相關(guān)并不一定就是因果關(guān)系，切不可單純依靠相關(guān)系數(shù)或回歸系數(shù)的顯著性“證明”因果關(guān)系之存在。要證明兩事物間的因果關(guān)系，必須憑籍專業(yè)知識(shí)從理論上加以闡明。但是，當(dāng)事物間的因果關(guān)系未被認(rèn)識(shí)前，相關(guān)分析可為理論研究提供線索。.注意問題適合相關(guān)和回歸分析的資料通常有兩種一個(gè)變量X是選定的，另一個(gè)變Y是從正態(tài)分布的總體中隨機(jī)抽取的。****1回歸分析.注意問題由一個(gè)變量推算另一個(gè)變量說明兩變量間的相互關(guān)系兩變量X、Y（或X1、X2）都是從正態(tài)分布的總體中隨機(jī)抽取的，即是正態(tài)雙變量中的隨機(jī)樣本。2回歸分析相關(guān)分析.注意問題在回歸分析中，由X推算Y與由Y推算X的回歸方程是不同的，不可混淆。

必須正確選定自變量與應(yīng)變量。一般說，事物的原因作自變量X，當(dāng)事物的因果關(guān)系不很明確時(shí)，選誤差較小的即個(gè)體變異小的變量作自變量X，以推算應(yīng)變量Y。.注意問題回歸方程的適用范圍有其限度，一般僅適用于自變量X的原數(shù)據(jù)范圍內(nèi)，而不能任意外推。因?yàn)槲覀儾⒉恢涝谶@些觀察值的范圍之外，兩變量間是否也呈同樣的直線關(guān)系。

.一、直線回歸方程的建立通過試驗(yàn)或調(diào)查獲得兩個(gè)變量的n對(duì)觀測(cè)值：（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn）。為了直觀地看出x和y間的變化趨勢(shì)，可將每一對(duì)觀測(cè)值在平面直角坐標(biāo)系描點(diǎn)，作出散點(diǎn)圖。1、散點(diǎn)圖：1234564321正向直線關(guān)系1234564321負(fù)向直線關(guān)系1234564321曲線關(guān)系.三、直線回歸的區(qū)間估計(jì)a和b的置信區(qū)間（一）μy/x

的置信區(qū)間和單個(gè)y的預(yù)測(cè)區(qū)間（二）μy/x

和單個(gè)y觀測(cè)值置信區(qū)間圖示（三）.(一）a和b的置信區(qū)間.(一）a和b的置信區(qū)間df=2總體回歸截距α的置信區(qū)間.(一）a和b的置信區(qū)間總體回歸系數(shù)β

的置信區(qū)間..95%的樣本回歸截距落在該區(qū)間內(nèi)95%的樣本回歸系數(shù)落在該區(qū)間內(nèi).(二）μy/x

的置信區(qū)間和單個(gè)y的預(yù)測(cè)區(qū)間不包含隨機(jī)誤差由回歸方程預(yù)測(cè)x為某一定值時(shí)y的觀測(cè)值所在區(qū)間，則y觀測(cè)值不僅受到y(tǒng)和b的影響，也受到隨機(jī)誤差的影響。.y總體的平均數(shù)單個(gè)y值所在的區(qū)間x點(diǎn)估計(jì)(二）μy/x

的置信區(qū)間和單個(gè)y的預(yù)測(cè)區(qū)間.df=n-2y總體的平均數(shù)單個(gè)y值所在的區(qū)間xy總體的平均數(shù)..黏蟲孵化歷期平均溫度為15℃時(shí)，歷期天數(shù)為多少天（取95％置信概率）？.df=n-2y總體的平均數(shù)x單個(gè)y值所在的區(qū)間單個(gè)y值所在的區(qū)間..某年的歷期平均溫度為15℃時(shí)，該年的歷期天數(shù)為多少天（取95％置信概率）？.(二）μy/x

的置信區(qū)間和單個(gè)y的預(yù)測(cè)區(qū)間.(三）μy/x

和單個(gè)y觀測(cè)值置信區(qū)間圖示.正比反比愈靠近x，對(duì)y總體平均值或單個(gè)y的估計(jì)值就愈精確，而增大樣本含量，擴(kuò)大x的取值范圍亦可提高精確度。.四、回歸方程的擬合度——決定系數(shù)

回歸方程是根據(jù)使估計(jì)誤差平方和最小的原理（最小二乘法）建立的，但不同的資料所得到的回歸方程的擬合程度仍然有好壞之分。