高考數(shù)學(xué)“三個(gè)二次”的轉(zhuǎn)課件

專(zhuān)題2不等式與線(xiàn)性規(guī)劃第

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練“三個(gè)二次”的轉(zhuǎn)

化與應(yīng)用“二次函數(shù)、二次方程、二次不等式”是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，在高考中雖然一般不直接考查，但它是解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具.如函數(shù)圖象問(wèn)題、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的問(wèn)題、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題等.“三個(gè)二次”經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化，相輔相成，是一個(gè)有機(jī)的整體.如果能很好地掌握三者之間的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用方法，會(huì)有利于解決上述有關(guān)問(wèn)題，提升運(yùn)算能力.題型分析高考展望體驗(yàn)高考高考必會(huì)題型高考題型精練欄目索引體驗(yàn)高考1.(2015·陜西改編)對(duì)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a為非零整數(shù))，四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的結(jié)論是________.①－1是f(x)的零點(diǎn)；②1是f(x)的極值點(diǎn)；③3是f(x)的極值；④點(diǎn)(2,8)在曲線(xiàn)y＝f(x)上.12345√解析解析①正確等價(jià)于a－b＋c＝0，

(ⅰ)②正確等價(jià)于b＝－2a，

(ⅱ)12345④正確等價(jià)于4a＋2b＋c＝8. (ⅳ)下面分情況驗(yàn)證，解析

1234512345解析答案12345解析記h(x)＝－f(2－x)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)與h(x)的圖象如圖，解析12345

12345解析答案解析

要使原函數(shù)有意義，需且僅需3－2x－x2≥0.解得－3≤x≤1.故函數(shù)定義域?yàn)閇－3,1].[－3,1]12345解析答案解析

如圖，當(dāng)x≤m時(shí)，f(x)＝|x|；當(dāng)x>m時(shí)，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)為增函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)b，使方程f(x)＝b有三個(gè)不同的根，則m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.(3，＋∞)123455.(2015·浙江)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，記M(a，b)是|f(x)|在區(qū)間[－1,1]上的最大值.(1)證明：當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a，b)≥2；解析答案12345所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}.當(dāng)a≥2時(shí)，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.當(dāng)a≤－2時(shí)，由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，

得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.綜上，當(dāng)|a|≥2時(shí)，M(a，b)≥2.12345(2)當(dāng)a，b滿(mǎn)足M(a，b)≤2時(shí)，求|a|＋|b|的最大值.解析答案解由M(a，b)≤2得|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝|f(－1)|≤2，故|a＋b|≤3，|a－b|≤3.返回當(dāng)a＝2，b＝－1時(shí)，|a|＋|b|＝3，且|x2＋2x－1|在[－1,1]上的最大值為2.即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值為3.高考必會(huì)題型題型一函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化解析答案點(diǎn)評(píng)方程f(x)－a＝0在[－3,4]上有10個(gè)根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象和直線(xiàn)y＝a在[－3,4]上有10個(gè)交點(diǎn).由于函數(shù)f(x)的周期為3，點(diǎn)評(píng)二次函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題或二次函數(shù)圖象與直線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般都需轉(zhuǎn)化為二次方程根的存在性及根的分布來(lái)解決，解決的方法是列出判別式和有關(guān)函數(shù)值的不等式(組)，或用數(shù)形結(jié)合的方法解決.點(diǎn)評(píng)

解析答案7題型二函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化例2

已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng).若對(duì)任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)＜0恒成立，則當(dāng)x＞3時(shí)，x2＋y2的取值范圍是________.解析點(diǎn)評(píng)答案(13,49)解析由函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng)可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).所以不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)＜0，可化為f(x2－6x＋21)＜－f(y2－8y)＝f(－y2＋8y).又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上為增函數(shù)，故必有x2－6x＋21＜－y2＋8y，即x2－6x＋21＋y2－8y＜0，配方，得(x－3)2＋(y－4)2＜4.點(diǎn)評(píng)解析它表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的半圓的內(nèi)部.而x2＋y2表示該區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方.由圖可知，x2＋y2的最小值在點(diǎn)A處取得，但因?yàn)樵擖c(diǎn)在邊界的分界線(xiàn)上，不屬于可行域，故x2＋y2＞32＋22＝13，而最大值為圓心(3,4)到原點(diǎn)的距離與半徑之和的平方，但因?yàn)樵擖c(diǎn)在圓的邊界上，不屬于可行域，故x2＋y2＜(5＋2)2＝49，故13＜x2＋y2＜49.點(diǎn)評(píng)不等式是解決函數(shù)定義域、值域、參數(shù)范圍等問(wèn)題的有效工具，將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式解決是解答此類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)思路.而二次不等式的解的確定又要借助二次函數(shù)圖象，所以二者關(guān)系密切.函數(shù)單調(diào)性的確定是抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式的關(guān)鍵.點(diǎn)評(píng)變式訓(xùn)練2已知f(x)＝x2－2ax＋2，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍.解析答案解設(shè)F(x)＝x2－2ax＋2－a，則問(wèn)題的條件變?yōu)楫?dāng)x∈[－1，＋∞)時(shí)，F(xiàn)(x)≥0恒成立.∵當(dāng)Δ＝(－2a)2－4(2－a)＝4(a＋2)·(a－1)≤0，即－2≤a≤1時(shí)，F(xiàn)(x)≥0恒成立.解析答案故a的取值范圍是[－3,1].題型三方程與不等式的轉(zhuǎn)化例3關(guān)于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在區(qū)間[0,2]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解析答案點(diǎn)評(píng)解方法一設(shè)f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，①若f(x)＝0在區(qū)間[0,2]上有一解，∵f(0)＝1＞0，則應(yīng)有f(2)＜0，又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，解析答案點(diǎn)評(píng)由①②可知m的取值范圍是(－∞，－1].解析答案點(diǎn)評(píng)方法二顯然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，∴1－m≥2，∴m≤－1，故m的取值范圍是(－∞，－1].點(diǎn)評(píng)“三個(gè)二次”是一個(gè)整體，不可分割.有關(guān)“三個(gè)二次”問(wèn)題的解決辦法通常是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想來(lái)將其轉(zhuǎn)化，其中用到的方法主要有數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想，其最基本的理念可以說(shuō)是嚴(yán)格按照一元二次不等式的解決步驟來(lái)處理.點(diǎn)評(píng)變式訓(xùn)練3

若關(guān)于x的方程x2＋ax－4＝0在區(qū)間[2,4]上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.返回解析

如果方程有實(shí)數(shù)根，注意到兩個(gè)根之積為－4＜0，可知兩根必定一正一負(fù)，因此在[2,4]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)f(x)＝x2＋ax－4，則必有f(2)f(4)≤0，所以2a(12＋4a)≤0，即a∈[－3,0].[－3,0]解析答案高考題型精練123451.方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的個(gè)數(shù)是________.6789101112解析答案解析

(數(shù)形結(jié)合法)∵a＞0，∴a2＋1＞1.而y＝|x2－2x|的圖象如圖，∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn).22.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋4(0＜a＜3)，若x1＜x2，x1＋x2＝1－a，則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系為_(kāi)__________.123456789101112解析答案解析f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝－1，又∵x1＋x2＝1－a，∴x1離對(duì)稱(chēng)軸的距離小于x2離對(duì)稱(chēng)軸的距離.又∵a＞0，∴f(x1)＜f(x2).f(x1)＜f(x2)123456789101112解析答案解析由f(x＋1)＝－f(x)，可得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為2，求h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－5,4]內(nèi)的零點(diǎn)，即求f(x)＝g(x)在區(qū)間[－5,4]上圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫(huà)出函數(shù)f(x)與g(x)的圖象，如圖，由圖可知兩圖象在[－5,4]之間有7個(gè)交點(diǎn),所以所求函數(shù)有7個(gè)零點(diǎn).7個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.4.若關(guān)于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1，x2滿(mǎn)足－1≤x1＜0＜x2＜2，則k的取值范圍是________.123456789101112解析答案解析構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x2＋2kx－1，∵關(guān)于x的方程x2＋2kx－1＝0的兩根x1，x2滿(mǎn)足－1≤x1＜0＜x2＜2，5.如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A(－3,0)，對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正確的是________.123456789101112解析因?yàn)閳D象與x軸交于兩點(diǎn)，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正確；結(jié)合圖象，當(dāng)x＝－1時(shí)，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯(cuò)誤；由對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1知，b＝2a.又函數(shù)圖象開(kāi)口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正確.解析√√123456789101112答案解析123456789101112如圖所示，直線(xiàn)y＝mx的圖象是繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的動(dòng)直線(xiàn)，當(dāng)斜率m≤0時(shí)，直線(xiàn)y＝mx與函數(shù)f(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)；故要使直線(xiàn)y＝mx與函數(shù)f(x)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，解析123456789101112即方程x2－2mx＋2＝0的判別式Δ＝4m2－4×2＞0，且m＞0，123456789101112解析答案7.若函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是－2和3，則不等式af(－2x)＞0的解集是____________.解析∵f(x)＝x2＋ax＋b的兩個(gè)零點(diǎn)是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的兩根，∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，8.已知奇函數(shù)f(x)在定義域[－2,2]上單調(diào)遞減，則滿(mǎn)足f(1－m)＋f(1－m2)＜0的實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.123456789101112解析答案解析

由f(1－m)＋f(1－m2)＜0，得f(1－m)＜－f(1－m2).又f(x)為奇函數(shù)，∴f(1－m)＜f(m2－1).又∵f(x)在[－2,2]上單調(diào)遞減，[－1,1)∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－1,1).1234567891011129.已知函數(shù)y＝f(x)的周期為2，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)＝x2，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝|lgx|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.解析在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出y＝f(x)和y＝|lgx|的圖象，如圖，結(jié)合圖象知，共有10個(gè)交點(diǎn).10解析答案12345678910111210.若關(guān)于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中整數(shù)恰好有3個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.解析因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于(－a＋4)x2－4x＋1＜0，其中(－a＋4)x2－4x＋1＝0中的Δ＝4a＞0，且有4－a＞0，故0＜a＜4，則一定有{1,2,3}為所求的整數(shù)解集，解析答案11.已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解方法一設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的兩根分別為x1，x2(x1＜x2)，則(x1－1)(x2