水資源系統(tǒng)分析學習課件

第三講

水資源系統(tǒng)優(yōu)化問題

（線性規(guī)劃）6/6/20231課程內容回顧線性規(guī)劃的基本概念水資源規(guī)劃中的幾個優(yōu)化應用實例線性規(guī)劃問題的求解介紹6/6/202321、線性規(guī)劃的基本形式線性規(guī)劃廣泛用于水資源的開發(fā)利用規(guī)劃，工程的設計和施工，水資源系統(tǒng)的管理。線性規(guī)劃模型的特點是在滿足一組已知約束條件下，使決策目標達到最優(yōu)。

6/6/202331、線性規(guī)劃的基本形式線性規(guī)劃模型的基本數學形式為：

6/6/20234其它形式：1）求和形式2）矩陣形式3）集合形式4）標準形式一般形式與標準形式之間的轉化6/6/202351、線性規(guī)劃的基本形式線性規(guī)劃模型的基本數學形式為：式中xj為決策變量，cj、aij、bi-為已知常數。cj為目標函數的系數，又稱價值系數；bi為資源約束常數；aij為技術系數。括號中表示取三種約束不等式中一種，對一個具體問題來說它將是唯一的。

6/6/202361、線性規(guī)劃的基本形式線性規(guī)劃模型的基本結構包括有：①決策變量xi，它反映了所研究問題需要控制的因素。②目標函數，它反映了決策者對所研究問題的追求。③約束條件，它是實現(xiàn)追求目標的限制條件。6/6/202371、線性規(guī)劃的基本形式線性規(guī)劃模型具有哪些特點？①線性規(guī)劃的目標函數和約束方程必須是線性函數。②決策變數是連續(xù)分布的，它的解xI可以是整數、分數或小數。③目標函數的單一性。④線性規(guī)劃模型是確定型的，即模型的參數和系數cj、aij、bi都是已知的，確定的。6/6/20238建立優(yōu)化模型的步驟為：1）根據研究問題的性質決定決策變量；2）根據問題的目標，列出與決策變量有關的目標函數；3）根據問題的限制條件，列出與決策變量有關的約束條件。6/6/20239幾個概念1）可行解與可行域：在標準lps中，滿足約束條件和非負條件的解稱為可行解，可行解的集合稱為可行域。2）基.基變量與基解：對于LPS的約束方程AX=b的秩r（A）=m，B是A的m階可逆子陣，則稱B是LP的一個基。其中B的任一列向量Pj稱為向量機，對應的決策變量xj稱為變量基，變量基之外的決策變量稱為非變量基。6/6/2023103)基可行解與可行基：滿足非負條件的基解稱為基可行解；基可行解對應的基B即為可行基。4)最優(yōu)解6/6/202311簡單線性規(guī)劃的求解—圖解法求解模型：6/6/2023128、簡單線性規(guī)劃的求解—圖解法圖解法基本原理介紹（1）求滿足約束條件的可行解區(qū)。以變量x1，x2為坐標軸，作2x1+3x2=100和4x1+2x2=120的直線，找出滿足約束條件的可行解域，如圖中的陰影區(qū)域即為解的可行域。（2）令目標函數，顯然目標函數z是隨著d值而變化的一組平行線。變量d值，使z在可行域內平行移動求出z的最大值，即可行域的凸點C，z=200，x1=20，x2=20。C點即為最優(yōu)解。6/6/2023138、簡單線性規(guī)劃的求解—圖解法圖解法基本原理介紹E=6x1+4x2=2004x1+2x2=120E=2x1+3x2=1006/6/2023148、簡單線性規(guī)劃的求解—圖解法從上述求解過程，可得到以下幾點：（1）線性規(guī)劃所有可行解組成的集合的凸集，沒有凹入和孔洞部分，是一個實心域，如圖的陰影部分。（2）如果線性規(guī)劃問題有最優(yōu)解存在，它只能在可行域的凸點上找到，如圖中的A、B、C、D點。每一個凸點都對應一組解，稱之為基礎可行解。使目標函數值最大（或最小）的基礎可行解稱為線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。（3）若可行域為有界，則線性規(guī)劃問題一定有最優(yōu)解，且必定在某頂點處得到；若可行域為無界，則不一定有最優(yōu)解存在。當目標函數可能在多于一個頂點處達到最大值時，則該線性規(guī)劃問題有無窮多個最優(yōu)解。6/6/202315幾個概念1）可行解與可行域：在標準lps中，滿足約束條件和非負條件的解稱為可行解，可行解的集合稱為可行域。2）基.基變量與基解：對于LPS的約束方程AX=b的秩r（A）=m，B是A的m階可逆子陣，則稱B是LP的一個基。其中B的任一列向量Pj稱為向量機，對應的決策變量xj稱為變量基，變量基之外的決策變量稱為非變量基。6/6/2023163)基可行解與可行基：滿足非負條件的基解稱為基可行解；基可行解對應的基B即為可行基。4)最優(yōu)解6/6/2023172、應用一：供水合理分配問題設有甲、乙兩個水廠同時向某城市A、B、C三區(qū)供水。6/6/2023182、應用一：供水的合理分配問題甲水廠的日供水量為28萬立方米/日，乙水廠的日供水量為35萬立方米/日；三個區(qū)的日需水量分別為A≥10萬立方米/日，B≥15萬立方米/日，C≥20萬立方米/日。各輸水單位水費分別為c11=1.2，c12=1.5，c13=1.1，c21=1.1，c22=1.3，c23=1.4。試作出在滿足對三個區(qū)供水的情況下，輸水費用最小的方案。

6/6/2023192、應用一：供水的合理分配問題建立的數學模型如下：設甲水廠向三個區(qū)日供水量為x11、x12、x13，乙水廠向三個區(qū)日供水量為x21、x22、x23。求供水量佳方案應選輸水費用最小為目標函數，即6/6/2023202、應用一：供水合理分配問題建立的數學模型如下：需水約束供水約束6/6/2023212、應用一：供水合理分配問題標準數學表達為：目標函數：約束方程：式中：qj——j用戶的需水量；cij——由i水廠向j用戶的單位輸水費用；Qj——i水廠的供水能力6/6/2023223、應用二：水庫調度問題設某市有二個年調節(jié)水庫，求二庫聯(lián)合供水的最佳調度方案。6/6/2023233、應用二：水庫調度問題在水庫優(yōu)化調度中，其目標函數可選用效益最大或水資源利用程度最高等目標。本例選用水資源利用程度最高為目標，即要求聯(lián)合調度方案以供水量最大，棄水量最小為目標函數。6/6/2023243、應用二：水庫調度問題約束條件：（1）滿足水量平衡約束（2）設水庫的蒸發(fā)滲漏損失與水庫蓄水量滿足某一線性關系，則有（3）水庫的供水量應滿足用戶需水量要求，即6/6/2023253、應用二：水庫調度問題約束條件：（4）滿足水量平衡約束（5）決策變量非負：（6）起始水位：6/6/2023263、應用二：水庫調度問題變量說明：

——t時段水庫蓄水量；

——已知起調水位的相應蓄水量；

——t時段水庫蒸發(fā)滲漏損失量；

——t時段水庫棄水量；

——t時段水庫供水量；

——t時段水庫蓄水量下限和上限約束；

——t時段用戶需水量下限約束；

——t時段用戶需水量上限約束；

——蒸發(fā)滲漏損失的關系系數；

——目標函數的獎罰系數；T ——聯(lián)合調度的時段總數。

T6/6/2023274、應用三：城市需水預測問題城市水資源規(guī)劃中應和城市中的經濟發(fā)展計劃聯(lián)系起來，建立受供水約束的投入產出的線性規(guī)劃模型，以預測各經濟部門的需水量。6/6/2023284、應用三：城市需水預測問題模型的目標函數是以城市總產值增加極大為目標，即6/6/2023294、應用三：城市需水預測問題模型的約束條件有：（1）設在期間t，LY（t）為最終需求的下限向量；UY（t）為最終需求的上限向量，則（2）城市供水能力的約束6/6/2023304、應用三：城市需水預測問題變量說明：為n部門的產出；

為投入產出的技術系數矩陣；為部門i的凈產值系數；為各部門最終需求上限向量；為各部門最終需求下限向量；為各部門用水系數向量；

q(t)為t時期城市可供水總量；

n為城市經濟部門總數；

T為規(guī)劃年限，現(xiàn)年t=O，末年t=T；

r為貼現(xiàn)率；

I為單位矩陣。6/6/2023315、實例四：流域規(guī)劃問題水電站水庫

（點5）城市A（點6）城市B（點8）洪水堤防水庫（點2）水文站（點1）灌區(qū)（點4）水文站（點9）水庫（點7）引水（點3）6/6/202332如圖所示的流域中，有兩個水文站（點1和點9），兩個城市（點6和點8），三個蓄水水庫（點2,5和點7），一個自流灌區(qū)（點4），和一個水電站（點5）。試建立考慮城市和農業(yè)供水，以及下游防洪條件的河流流域規(guī)劃模型。

5、實例四：流域規(guī)劃問題6/6/2023331、目標函數：各用水部門的凈效益之和最大；凈效益可以認為是總效益減去損失和費用。損失可能是由于實際供水小于規(guī)定指標供水量產生的，費用包括投資回收，工程維護和管理等項費用。凈效益表達如下：5、實例四：流域規(guī)劃問題6/6/202334

——部門I在點s處每年的指標配水量Ts的凈效益；

——部門I在點s處，在時段t內指標配水量虧缺的損失；

——部門I在點s處，在時段t內超過指標配水量的效益；

——部門I在點s處的水資源工程容量的年費用。5、實例四：流域規(guī)劃問題6/6/2023352、約束條件：按照各點的工程和用水約束，逐點進行描述點2—水庫與引水，對于時段t:

5、實例四：流域規(guī)劃問題6/6/202336點3—引水，對于時段t:點4—灌區(qū)配水，對于時段t:

5、實例四：流域規(guī)劃問題6/6/202337點5—水庫和發(fā)電，對于時段t:

5、實例四：流域規(guī)劃問題6/6/202338點6—城市A供水，對于時段t:

5、實例四：流域規(guī)劃問題6/6/202339點7—水庫，對于時段t:

5、實例四：流域規(guī)劃問題6/6/202340點8—城市B，對于時段t:

5、實例四：流域規(guī)劃問題6/6/2023413、模型的解上述模型為非線性；首先進行線性化（分段線性近似）；計算機求解；

5、實例四：流域規(guī)劃問題6/6/202342第三章整數規(guī)劃在第2章所研究的線性規(guī)劃問題巾，一般規(guī)定決策變量為非負實數。在實際工作中會遇到一些問題，涉及到人員和設備的調配、投資項日的選擇、工程的開發(fā)次序等，要求全部或部分決策變量為非負整數。如果日標函數和約束條件都是線性的，求其最優(yōu)整數解的方法稱為整數線性規(guī)劃(integerlinearprogramming，ILP)，簡稱為整數規(guī)劃(IP)。整數規(guī)劃是數學規(guī)劃的一個分枝。

6/6/202343根據決策變量是否全部要求為整數，可將整數規(guī)劃分為如下兩類。

(1)混合整數規(guī)劃(mixed，MIP)：部分決策變量要求為整數；

(2)純整數規(guī)劃(pureIP，PIP)或完全整數規(guī)劃(allIP,AIP)：所有決策變量均要求為整數。

在整數規(guī)劃中，有些問題要求變量只能取0或1，稱之為0—1規(guī)劃；而后邊要介紹的指派問題則是0—1規(guī)劃的特例。6/6/202344例1一運輸公司利用卡車運輸甲、乙兩種貨物，卡車的運輸能力為體積12m^3，重量9t，每箱貨物的體積、重量、利潤列于表3—1。如何安排運輸方案，使利潤最大?

6/6/202345例21程選址問題。在一流域規(guī)劃中，初步確定的水庫壩址有5個(D1，D2，…，D5)。根據流域發(fā)展規(guī)劃，在干流3個壩址(D1，D2，D3)中最多選擇兩個，枝流兩個壩3xh(D4，D5)中最少選擇1個。水庫Dj(j＝1，2，…，5)的投資為Cj，凈效益為Bj。在工程投資總額不超過C的情況下，如何選擇壩址使流域水庫工程的凈效益最大?

解一個壩址有被選用和不選用兩種情況，可以用0—1變量來表示，

6/6/2023466/6/202347例3、在水資源系統(tǒng)擴展規(guī)劃中的應用動態(tài)擴展模型常用于兩類問題：工程建設問題容量擴大問題

6/6/2023486、實例3：在水資源系統(tǒng)擴展規(guī)劃中的應用（整數規(guī)劃）1、工程建設問題工程建設問題主要回答如何安排流域工程建設的順序。常采用整數規(guī)劃的方法。

6/6/2023491、工程建設問題參數設定

6、實例3：在水資源系統(tǒng)擴展規(guī)劃中的應用（整數規(guī)劃）6/6/2023501、工程建設問題決策變量目標函數

6、實例3：在水資源系統(tǒng)擴展規(guī)劃中的應用（整數規(guī)劃）6/6/2023511、工程建設問題資金約束建造次數約束

6、實例3：在水資源系統(tǒng)擴展規(guī)劃中的應用（整數規(guī)劃）6/6/2023521、工程建設問題連續(xù)性約束

6、實例3：在水資源系統(tǒng)擴展規(guī)劃中的應用（整數規(guī)劃）6/6/2023531、工程建設問題庫容約束

6、實例3：在水資源系統(tǒng)擴展規(guī)劃中的應用（整數規(guī)劃）6/6/2023542、容量擴大問題水資源工程一般需要分期建設，規(guī)模和容量需要逐步擴大。在擴容問題中，成本和容量是變量。目標函數也是總的凈效益最大。一般設定成本和容量為線性關系

6、實例3：在水資源系統(tǒng)擴展規(guī)劃中的應用（整數規(guī)劃）6/6/2023552、容量擴大問題預算約束為：

6、實例3：在水資源系統(tǒng)擴展規(guī)劃中的應用（整數規(guī)劃）6/6/2023562、容量擴大問題庫容約束為：

6、實例3：在水資源系統(tǒng)擴展規(guī)劃中的應用（整數規(guī)劃）6/6/202357整數規(guī)劃的求解問題從可行域來看，LP可行域為一凸集，可行解一般有無窮多個且連續(xù)分布；而IP可行域是LP可行域的子集，其中AIP的可行域是LP可行域內的整數點，可行解一般為有限個且離散分布。而對于IP來說，最優(yōu)解不一定在其松弛LP可行域的邊界上取得，求解比IP要復雜。

對IP的求解可以考慮以下幾種方法。

6/6/202358

(1)圖解法對于二維IP模型可采用圖解法求解，模型(3—1)的圖解法求解如圖3—1所示?？梢钥闯?，模型(3—1)的松弛LP模型的可行域為OABC，LP在可行域頂點B(2．25，3．75)處取得最大值ZLP＝825；IP在A(0，5)處取得最大值ZIP＝800。LP與IP模型的最大值之差△Z＝25，這一利潤的減少是由于增加整數約束所產生的。6/6/202359(2)枚舉法

由于AIP的可行解為有限個，如果能計算并比較所有可行解的目標函數，則可以確定最優(yōu)解（3）圓整法將IP去掉整數約束而松弛為LP，求出lp的最優(yōu)解，然后在lp的最優(yōu)解附件選擇一個整數解作為ip的最優(yōu)解。6/6/202360（4）分枝定界法如果lp的最優(yōu)解為整數，則該最優(yōu)解也是Ip

的最優(yōu)解，否則lp的最優(yōu)解是ip最優(yōu)解的上限。取Lp中不滿足整數約束的一個變量，以其鄰近的整數為界，講lp可行域分為包含整數點的兩部分分別求解，進一步確定Ip目標函數的上限和下限。主要步驟包括：1）松弛；2）分枝；3）定界；4）比較與剪枝6/6/2023610-1規(guī)劃1.過濾隱枚舉法2.分枝隱枚舉法6/6/2023623、模型求解：非線性關系的分段線性近似。求解整數規(guī)劃可以采用分枝定界法。

6、實例3：在水資源系統(tǒng)擴展規(guī)劃中的應用（整數規(guī)劃）6/6/202363目標規(guī)劃是多目標問題的一種解決方法。問題：

7、實例六：在供水規(guī)劃中的應用（目標規(guī)劃）6/6/202364需水量和供水費用如下：

7、實例六：在供水規(guī)劃中的應用（目標規(guī)劃）6/6/202365變量：

7、實例六：在供水規(guī)劃中的應用（目標規(guī)劃）6/6/202366約束條件：（1）供水約束

7、實例六：在供水規(guī)劃中的應用（目標規(guī)劃）6/6/202367約束條件：（2）需水量約束

7、實例六：在供水規(guī)劃中的應用（目標規(guī)劃）6/6/202368約束條件：（3）水源2向城鎮(zhèn)1供水約束

7、實例六：在供水規(guī)劃中的應用（目標規(guī)劃）6/6/202369約束條件：（4）城鎮(zhèn)最低供水量約束

7、實例六：在供水規(guī)劃中的應用（目標規(guī)劃）6/6/202370約束條件：（5）輸入可靠性約束

7、實例六：在供水規(guī)劃中的應用（目標規(guī)劃）6/6/202371約束條件：（6）協(xié)調供水平衡條件約束

7、實例六：在供水規(guī)劃中的應用（目標規(guī)劃）6/6/202372約束條件：（7）輸水費用最小條件約束

7、實例六：在供水規(guī)劃中的應用（目標規(guī)劃）6/6/202373目標函數：根據目標的重要性，設定P1,P2,P3,P4,P5,P6,六個等級，各目標之間的關系是P1>>>P2>>>……>>>P6,即只有滿足前一個目標之后，才能考慮滿足后一個目標。

7、實例六：在供水規(guī)劃中的應用（目標規(guī)劃）6/6/202374目標函數：

7、實例六：在供水規(guī)劃中的應用（目標規(guī)劃）6/6/202375目標函數：綜上所述，目標函數為：

7、實例六：在供水規(guī)劃中的應用（目標規(guī)劃）6/6/2023768、簡單線性規(guī)劃的求解—圖解法線性規(guī)劃問題求解的基本數學方法是什么？線性規(guī)劃的基本解法有圖解法和單純形法兩種。圖解法一般只適用于解2~3個變量的問題，實用價值不大。單純形法是一種解變量較多的常用解法，變量較少時可用手解，但在解決實際問題時，一般都可以借助于已有的程序用計算機求解。6/6/202377幾個概念1）可行解與可行域：在標準lps中，滿足約束條件和非負條件的解稱為可行解，可行解的集合稱為可行域。2）基.基變量與基解：對于LPS的約束方程AX=b的秩r（A）=m，B是A的m階可逆子陣，則稱B是LP的一個基。其中B的任一列向量Pj稱為向量機，對應的決策變量xj稱為變量基，變量基之外的決策變量稱為非變量基。6/6/2023783)基可行解與可行基：滿足非負條件的基解稱為基可行解；基可行解對應的基B即為可行基。4）凸集.定點：設K是n維歐式空間的一個點集，若k中任意2點P1，P2連線上的一切點可以表示成P=AP1+（1-a)P2(0<a<1),則稱K為凸集。凸集K中一點P不能由任意兩點表示時，則稱p點為k的一個頂點。6/6/202379（圖解法）線性規(guī)劃的基本定理5）凸集及頂點3個基本定理6）非基變量檢驗數（教材P32）：是LP最優(yōu)判斷的主要依據。6/6/2023808、簡單線性規(guī)劃的求解—圖解法從上述求解過程，可得到以下幾點：（1）線性規(guī)劃所有可行解組成的集合的凸集，沒有凹入和孔洞部分，是一個實心域，如圖的陰影部分。（2）如果線性規(guī)劃問題有最優(yōu)解存在，它只能在可行域的凸點上找到，如圖中的A、B、C、D點。每一個凸點都對應一組解，稱之為基礎可行解。使目標函數值最大（或最?。┑幕A可行解稱為線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。（3）若可行域為有界，則線性規(guī)劃問題一定有最優(yōu)解，且必定在某頂點處得到；若可行域為無界，則不一定有最優(yōu)解存在。當目標函數可能在多于一個頂點處達到最大值時，則該線性規(guī)劃問題有無窮多個最優(yōu)解。6/6/2023818、簡單線性規(guī)劃的求解—圖解法靈敏度分析模型參數cj、aij、bi的變化對最優(yōu)解的影響分析稱之為靈敏度分析。6/6/2023828、簡單線性規(guī)劃的求解—圖解法從圖可以看出，目標函數的斜率m介于直線ED與BF的斜率之間，即mED<m<mBF，當目標函數的系數cj發(fā)生變化時，其斜率m也將發(fā)生變化。若m<mEP，則最優(yōu)解將從C點轉至D點；若m>mBF，則最優(yōu)解是不變的，仍是C點。6/6/202383價值系數C的變化對LP的影響當C有一變化量△C時：1）非基變量檢驗數將發(fā)生變化，即影響最有條件；2）對基解沒有影響6/6/202384目標函數系數變化后會引起檢驗數的變化，一種情況是變化的系數對應基基變量，另一種情況是變化的系數對應的非基變量，下面分別說明這兩種情況。情況1：非基變量所對應目標函數系數變化設cj為非基變量所對應的目標函數系數，它對應的檢驗數為：

σj=(cj+△cj)－CBB-1Pj≤0由上式即可確定系數變化范圍。情況2：基變量所對應目標函數系數變化6/6/2023858、簡單線性規(guī)劃的求解—圖解法系數aij和約束方程常數項bi值的變化，將引起可行域范圍的變化，如圖。此時可能產生兩種變化：一是最優(yōu)解的凸點不變，仍為C點，但最優(yōu)解值發(fā)生了變化；另一是最優(yōu)解的凸點也發(fā)生了變化。6/6/202386約束矩陣A的變化對LP的影響當A有一變化量△A時：1）非基變量檢驗數將發(fā)生變化，即影響最有條件；2）對基解有影響6/6/202387資源向量b的變化對lp的影響當b有一變化量△b時：1）非基變量檢驗數將不發(fā)生變化，即不影響最有條件；2）對基解有影響，影響了解的可行性。6/6/202388設：b=(b1,b2,…，bm)T現(xiàn)其中某元素br變化為br+△b：則：

X=B-1b=B-1b+B-1△b

如果：B-1b+B-1△b≥0則所得到的最優(yōu)解仍是問題的最優(yōu)解。6/6/202389增加決策變量對LP解的影響增加變量相當于同時改變該非基變量的價值系數和約束系數。增加變量只影響lp的最優(yōu)性，一般最優(yōu)解不變。6/6/202390增加約束條件對lp的影響增加約束條件一般會增加基變量的個數，能影響原最優(yōu)解的可行性。如果原最優(yōu)解能滿足新的約束條件，則新的約束條件是多余的，最優(yōu)解不變；如果不能滿足，則需要加入新的約束條件，繼續(xù)求解。6/6/202391二.單純形法單純形法的基本思路：對給定的LP模型，從某個基可行解開始，按照一定的規(guī)則轉換到另一個可行基解（頂點），使新頂點的目標函數值優(yōu)于原目標函數值，經過有限次迭代直至目標函數達到最優(yōu)。6/6/202392應用單純形法需要解決3個關鍵問題：1）初始基可行解（頂點）的確定；2）基可行解的轉換規(guī)則；3）最優(yōu)性判斷條件6/6/202393單純形法求解模型的過程如下：1）講lp模型轉化為標準型2）確定初始可行基3）求得初始基可行解后進入迭代過程；6/6/2023949、對偶模型與影子價格每一個線性規(guī)劃模型都有一個對偶模型原模型為：則對偶模型為6/6/2023959、對偶模型與影子價格對偶模型的意義：原模型的解可以通過求解對偶模型得到。對偶變量反映了原模型變量的影子價格。6/6/20239610、線性規(guī)劃問題的計算機求解求解復雜的線性規(guī)劃問題，由于變量數目較多，一般多采用數學規(guī)劃程序包求解。適用于微機上線性規(guī)劃計算軟件有GAMS、LINDO等。GAMS軟件（GeneralAlgebraicModelingSystem）是由世界銀行組織開發(fā)的數學規(guī)劃軟件，它既可以用于數學規(guī)劃問題，也可以用于求解數學模擬問題；既可以用于線性規(guī)劃也可用于非線性規(guī)劃和混合規(guī)劃是應用較廣的一個軟件。6/6/20239710、線性規(guī)劃問題的計算機求解GAMS軟件求解界面（早期的dos版本）：6/6/20239811、課堂小結線性規(guī)劃的基本形式幾個應用實例線性規(guī)劃問題的求解6/6/202399第四章非線性規(guī)劃及其應用在線性規(guī)劃的數學模型中，當目標函數或約束條件不完全是線性方程時，其最優(yōu)化問題稱為非線性最優(yōu)化問題(NLP)。尤其當目標函數是二次型函數（凸函數），特別地稱為二次規(guī)劃。6/6/2023100一般來說，非線性關系是普遍存在的，線性關系是非線性關系的一種特殊情況或在一定條件下的近似。因此用NLP模型來描述一些實際問題能更準確地反映變量間的關系。近幾十年來，NLP發(fā)展迅速，目前已成為一種重要的優(yōu)化方法，在生產實踐中得到了廣泛應用。本章主要介紹非線性規(guī)劃的數學模型、不同類型非線性規(guī)劃的常川求解方法及其應用。

6/6/2023101非線性規(guī)劃的數學模型

6/6/20231026/6/2023103例4-3曲線擬合問題?；貧w分析模型是